安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

合肥一中2023～2024学年度高二下学期期末联考 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位． 2．答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效． 4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知命题，命题，则（ ） A．命题、命题都是真命题 B．命题的否定、命题都是真命题 C．命题、命题的否定都是真命题 D．命题的否定、命题的否定都是真命题 2．给定两个随机变量和的5组数据如下表所示，利用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则（ ） 1 2 3 4 5 2 4 4 7 8 A．时的残差为－1 B．时的残差为1 C．时的残差为－0.9 D．时的残差为0.9 3．若质点运动的位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系是，那么该质点在时的瞬时速度和从到这两秒内的平均速度分别为（ ） A． B． C． D． 4．子曰：“工欲善其事，必先利其器．”这句名言最早出自于《论语·卫灵公》．此名言中的“利其器”是“善其事”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．对于实数，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．在二项式的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项（未知数的指数为奇数的项）都互不相邻的概率为（ ） A． B． C． D． 7．现有10名学生参加某项测试，可能有学生不合格，从中抽取3名学生成绩查看，记这3名学生中不合格人数为，已知，则本次测试的不合格率为（ ） A． B． C． D． 8．已知，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选择对的得部分分，有选错的得0分．） 9．下列说法中正确的是（ ） A．若，且，则 B．设，若，则 C．已知随机变量的方差为，则 D．若，则当时概率最大 10．已知且，下列等式正确的有（ ） A． B． C． D． 11．设函数，则下列说法正确的是（ ） A．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 B．若函数有3个零点，则实数的取值范围是 C．设函数的3个零点分别是，则的取值范围是 D．存在实数，使函数在内有最小值 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．全集，则______. 13．已知，函数有两个不同极值点，则______. 14．从一列数中抽取两项，剩余的项分成三组，每组中数的个数均大于零且是3的倍数，则有______种不同的取法．（答案用表示） 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明证明、过程或演算步骤．） 15．（13分） （1）解关于的不等式：． （2）关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 16．（15分）为了研究合肥市某高中学生是否喜欢篮球和学生性别的关联性，调查了该中学所有学生，得到如下等高堆积条形图： 从所有学生中获取容量为100的样本，由样本数据整理得到如下列联表： 男生 女生 合计 喜欢 35 15 50 不喜欢 25 25 50 合计 60 40 100 （1）根据样本数据，依据的独立性检验，能否认为该中学学生是否喜欢篮球和学生性别有关联?与所有学生的等高堆积条形图得到的结论是否一致？试解释其中原因． （2）将样本列联表中所有数据扩大为原来的2倍，依据的独立性检验，与原样本数据得到的结论是否一致？试解释其中原因 参考公式：其中）． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17．（15分）对于一个函数和一个点，定义，若存在，使是的最小值，则称点是函数到点的“最近点”． （1）对于和点，求点，使得点是到点的“最近点”． （2）对于，请判断是否存在一个点，它是到点的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直，若存在，求出点；若不存在，说明理由． 18．（17分）某商场回馈消费者，举办活动，规则如下：每5位消费者组成一组，每人从三个字母中随机抽取一个，抽取相同字母最少的人每人获得300元奖励．（例如：5人中2人选，2人选，1人选，则选择的人获奖；5人中3人选，1人选，1人选，则选择和的人均获奖；如中有一个或两个字母没人选择，则无人获奖） （1）若甲和乙在同一组，求甲获奖的前提下，乙获奖的概率； （2）设每组5人中获奖人数为随机变量，求的分布列和数学期望； （3）商家提供方案2：将三个字母改为和两个字母，其余规则不变，获奖的每个人奖励200元．作为消费者，站在每组5人获取总奖金的数学期望的角度分析，你是否选择方案2? 19．（17分）函数． （1）求函数的单调区间； （2）已知函数，当函数的切线的斜率为负数时，求在轴上的截距的取值范围； （3）设，若是函数在上的极值点，求证：． 合肥一中2023～2024学年度高二下学期期末联考 数学参考答案 一．单选题 1．【答案】D 【解析】对于命题，当时，，故是假命题，则的否定为真命题，对于命题，故是假命题，的否定是真命题，综上可得，的否定和的否定都是真命题．故选D． 2．【答案】A 【解析】由已知， 因为点在回归直线上，所以， 所以时残差为．故选：A． 3．【答案】D 【解析】， 所以．即该质点在时的瞬时速度为； 从到这两秒内的平均速度为；故选：D． 4．【答案】B 【解析】由题意“工欲善其事，必先利其器．”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良．从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具；反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿． 故选：B． 5．【答案】D 【解析】对于选项A，若时，，则A错误． 对于选项B，若，当，则，则B错误． 对于选项C，若取，则，故错误． 对于选项D，因为函数在上单调递增，故D正确． 故选：D． 6．【答案】A 【解析】在二项式展开式中，二项式系数的和为，所以． 则即，通项公式为，故展开式共有7项，当时，展开式为奇次项，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项都互不相邻，即把其它的3个偶次项先任意排，再把这4个奇次项插入其中的4个空中，方法共有种， 故奇次项都互不相邻的概率为，故选：A． 7．【答案】C 【解析】设10名学生中有名不合格，从中抽取3人，其中不合格人数为，由，得，化简得，解得，即本次测试的不合格率为． 故选：C． 8．【答案】B 【解析】因为，当且仅当时等号成立． ，由对勾函数性质，所以， 则，同理 则， 故的取值范围是． 故选：B． 二、多选题 9．【答案】ABD 【解析】对于选项A，若，则A正确． 对于选项B，设，则，解得，则正确． 对于选项C，，故C错误． 对于选项D，因为，则； 因为，若， 则当时，，当时，， 即，所以当时概率最大，故D正确． 故选：ABD． 10．【答案】BD 【解析】对于选项A，，则A错误． 对于选项B，，所以，则B正确． 对于选项C， ，故C错误． 对于选项D，考虑二项式展开式的前的系数是，又因为的前的系数可看成，故D正确． 故选：BD． 11．【答案】BC 【解析】对于选项A，若函数在上单调递增，则，即，即，则A错误． 对于选项，令，当时，，若函数有3个零点，则需有一个零点，则； 当时，得，若函数有3个零点，则需有两个不等的负实根，则，解得． 故若函数有3个零点，则的取值范围是，则B正确． 对于选项C，设函数的3个零点分别是，则，得 ，令则，则 在上单调递减， 当趋近于时，趋近于负无穷大，则函数的取值范围为 即的取值范围是，故C正确． 对于选项，当时，函数是开口向下的二次函数，故函数只能在两边端点处取得最小值；当时，函数单调递增，故；要使函数在内有最小值，即，即，故无解，所以不存在，故错误． 故选：BC． 三、填空题 12．【答案】 解析：，所以 13．【答案】4． 解析：由三次函数对称性可知．答案：4． （24年全国1卷18题第2问思路） 另解：解得 所以 14．答案：． 解析：设三组中的数的个数分别为 则，所以 隔板法可得． （24年全国1卷19题第3问思路） 四、解答题 15．解析：（1）因为解得． 当时，不等式解集为；当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． （2）易知在上有解，所以． 因为，所以． 所以．答案： 16．解析：（1）零假设为：是否喜欢篮球和学生性别没有关联． ． 根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即该高中学生是否喜欢篮球和学生性别没有关联． 不一致．原因是根据全面调查数据作判断，其结论是确定且准确的．而根据样本数据作判断，会因为随机性导致样本数据不具代表性，从而不能得出与全面调查一致的结论 （2）将样本列联表中所有数据扩大为原来的2倍，经计算： ． 根据独立性检验，可以推断该高中学生是否喜欢篮球和学生性别有关联 与原样本数据得到的结论不一致，样本变大为原来的2倍，相当于样本量变大为原来的2倍，导致推断结论发生了变化． 17．解析：（1），当且仅当时，等号成立，所以当时，点是到点的“最近点”； （2）； 所以； 记，则在上单调递增， 因为，所以在单调递减，在单调递增， 所以，即点是到点的“最近点”． 切点为，则在点处的切线的斜率为1， 所以直线与在点处的切线垂直，当且仅当取时，它是到点的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直． 18．解析：（1）设甲获奖为事件，乙获奖为事件B． ． （2）的可能取值为 ；． 所以的分布列为： 0 1 的数学期望．… （3）选择方案1获取奖金总额的数学期望为． 设选择方案2获奖人数为的可能取值为0，1，2． 则；；； 方案2获奖人数的数学期望． 选择方案2获取奖金总额的数学期望为． 因为．所以选择方案2． 19．解析：（1）的定义域为 ．得到． 所以在单调递增，在和单调递减． （2）因为，所以． 设切点坐标为，则切线方程为． 因为曲线的切线的斜率为负数，所以，解得或． 在切线方程中，令，得， 解得．… 令，则， 可得． 即在轴上的截距的取值范围为． （3）因为．则． 当时，．故在上单调递减． 当时，令 则， 所以在上单调递减，因为， 所以在上有唯一零点．即在上有唯一零点． 当时，，即， 当时，，即，所以时取最大值． 所以， 即得证． 学科网（北京）股份有限公司 $$