精品解析：北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年高一下学期统练四数学试题

高一下数学统练4 2024年7月 姓名：__________班级：__________考号：__________ 一､单选题（共10题，每题4分，共40分） 1. 已知向量满足，则（ ） A. B. 0 C. 5 D. 7 2. 是圆心为的单位圆上两个动点，当面积最大时，则下列判断错误的是（ ） A. B. 弧的长为 C. 扇形的面积为 D. 等边三角形 3. 如图，圆的半径为，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则在上的图像大致为（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若函数的最大值为，则的值不可能为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“为第一或第三象限角”（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6 关于函数，给出下列三个命题： ①是周期函数；②曲线关于直线对称； ③在区间上恰有3个零点.④最小值为-2 其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 在中，，则（ ） A. 为直角 B. 为钝角 C. 为直角 D. 为钝角 8. 在中，是中点，则的取值范围是 A. B. C. D. 9. 已知，则下列说法错误的是（ ） A. 若在内单调，则 B. 若在内无零点，则 C. 若的最小正周期为，则 D. 若时，直线是函数图象的一条对称轴 10. 在中，，，点在边上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､填空题（共5题，每题5分，共25分） 11. 若.的虚部__________. 12 已知中，，则__________. 13. 在中，，满足此条件有两解，则边长度的取值范围为__________. 14. 已知，则＝___________________ 15. 设的内角所对边的长分别为 ①若，则； ②若.则； ③若，则一定为等腰直角三角形； ④若，则一定为钝角三角形； ⑤若，则一定为锐角三角形. 则上述命题中正确的是__________.（写出所有正确命题的编号） 三､解答题（共3道答题，共35分） 16. 在平面直角坐标系中，为原点， （1）在直线上的投影是，求 （2）若四边形是以为底的直角梯形，求点 17. 在中， （1）求； （2）若为边上一点，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 已知函数图象上所有点向右平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称. （1）求的值； （2）设，若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一下数学统练4 2024年7月 姓名：__________班级：__________考号：__________ 一､单选题（共10题，每题4分，共40分） 1. 已知向量满足，则（ ） A. B. 0 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，进而利用向量数量积公式求出答案. 【详解】因为，所以， 故. 故选：C 2. 是圆心为的单位圆上两个动点，当面积最大时，则下列判断错误的是（ ） A. B. 弧的长为 C. 扇形的面积为 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】求出面积取最大值时，再逐项分析判断即得. 【详解】面积，当且仅当， 对于A，，A正确； 对于B，弧的长为，B正确； 对于C，扇形的面积为，C正确； 对于D，是等腰三角形，不是等边三角形，D错误. 故选：D 3. 如图，圆的半径为，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则在上的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过作于，由题意得到，，由求出，即可得出函数解析式，从而可判断结果. 【详解】 如图：过作于，则由题意可得：，， 在中，， 所以， ∴. 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角函数的应用，以及判断三角函数的图像，属于常考题型. 4. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若函数的最大值为，则的值不可能为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象的平移变换得到，然后根据和差公式和辅助角公式整理得到，最后根据三角函数的性质求的范围即可. 【详解】由题意得， 则 ，， 因为，所以，所以. 故选：D. 5. “”是“为第一或第三象限角”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系化简，根据三角函数在各象限的符号，结合充分条件、必要条件即可得解. 【详解】因为时，则， 所以为第一或第三象限角， 反之，当为第一或第三象限角时，，所以， 综上，“”是“为第一或第三象限角”的充分必要条件， 故选：C 6. 关于函数，给出下列三个命题： ①是周期函数；②曲线关于直线对称； ③在区间上恰有3个零点.④最小值为-2 其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据周期的定义和对称性的定义，判断①②，根据三角函数恒等变换，将零点问题转化为方程的实数根问题，判断③，函数化简为关于的二次函数求最值，判断④. 【详解】①， 即，所以是周期函数，故①正确； ②，即， 所以函数关于对称，故②正确； ③，即，得或， ，所以或或，所以函数有3个零点，故③正确； ④，， 当时，取得最小值，故④正确. 故选：D 7. 在中，，则（ ） A. 直角 B. 为钝角 C. 为直角 D. 为钝角 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理边化角得，结合余弦定理和化解，可求出. 【详解】由，即，， 又，所以，化简得， 则，故在中，， 故选：C 8. 在中，是的中点，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据向量运算得到 设BC=x, ,代入上式得到结果为. 故答案为：A。 点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用；向量的点积运算。解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。 9. 已知，则下列说法错误的是（ ） A. 若在内单调，则 B. 若在内无零点，则 C. 若的最小正周期为，则 D. 若时，直线是函数图象的一条对称轴 【答案】C 【解析】 【分析】化简函数的解析式为，结合三角函数的性质，逐项判定，即可求解. 详解】由题意，函数， 对于A中，由，可得， 要使得在内单调，则满足，解得， 因为，所以，所以A正确； 对于B中，由，可得， 要使得在内无零点，则，解得， 因为，所以，所以B正确； 对于C中，函数的最小正周期为，可得，解得，所以C不正确； 对于D中，若，则函数， 当时，，此时， 则直线是函数图象的一条对称轴，所以D正确. 故选：C. 【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法： 1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式； 2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中注意角的范围的判定，防止错解. 10. 在中，，，点在边上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以的中点为原点，过垂直于的直线为轴，为轴，建立平面直角坐标系，再利用向量数量积的坐标运算以及向量模的坐标表示即可求解. 【详解】以的中点为原点，过垂直于的直线为轴，为轴， 建立平面直角坐标系，如图： 则，， 设，，， ，， 则由，得， 化简， 所以， 由，因为，所以， 所以， 所以的取值范围为. 故选：A 【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 二､填空题（共5题，每题5分，共25分） 11. 若.的虚部__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再判断其虚部. 【详解】因为，所以， 所以的虚部为. 故答案为： 12. 已知中，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】运用余弦定理得到方程，再解方程即可. 【详解】运用余弦定理得到，即，解得. 故答案为：. 13. 在中，，满足此条件有两解，则边长度的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形有两解，应满足，化简即可求解. 【详解】有两解，，. 故答案为：. 14. 已知，则＝___________________ 【答案】## 【解析】 【分析】原式两边平方化简得，再巧用“1”，化简整理得，解得的值，再利用二倍角公式即可解得. 【详解】已知等式两边平方得： ， 变形得： ， 整理得：， 即， 解得： 或， 当时, 当时, . 故答案为： . 15. 设的内角所对边的长分别为 ①若，则； ②若.则； ③若，则一定为等腰直角三角形； ④若，则一定为钝角三角形； ⑤若，则一定为锐角三角形. 则上述命题中正确的是__________.（写出所有正确命题的编号） 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】根据三角形的性质，正弦定理判断①；根据余弦函数的单调性判断②；根据正弦定理边化角，以及三角函数恒等变换，判断③；利用同角三角函数化简不等式，再结合余弦定理，即可判断④，根据两角和的正切公式，化简判断⑤. 【详解】对于命题①②，在中，有， 在区间单调递减，. 因此命题①②正确. 对于命题③，有， 得，即， 即或， 则或 所以是等腰三角形或直角三角形，命题③错误. 对于命题④，根据条件，有， 因此角C为钝角，命题④正确. 对于命题⑤，根据三角恒等式， 有， ， 所以小于0的个数为偶数个， 因为最多有一个钝角，所以锐角三角形. 于是命题⑤正确. 故选：①②④⑤ 三､解答题（共3道答题，共35分） 16. 在平面直角坐标系中，为原点， （1）在直线上的投影是，求 （2）若四边形是以为底的直角梯形，求点 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先用向量坐标和运算表示向量，，再根据，结合向量数量积的运算，即可求解； （2）根据几何图形，转化为向量平行和垂直，再利用坐标运算，即可求解. 【小问1详解】 设， ， 【小问2详解】 四边形是以为底的直角梯形，且， ，， 设， ，得或（舍）. 17. 在中， （1）求； （2）若为边上一点，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）若选条件①，则；若选条件③，则. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理计算即可得； （2）若选条件①，由正弦定理可计算出，结合三角形内角和与面积公式即可得面积；若选条件③，由余弦定理结合条件可计算出、，由面积公式计算即可得；不能选条件②，计算出到的距离，故该三角形不唯一，不符合题意. 【小问1详解】 ，故； 小问2详解】 若选条件①：， 由，，，故，即， ， 此时三角形唯一确定，符合要求， . 若选条件③：的周长为, 由，故， 则，化简得， 即有，解得，故， 此时三角形唯一确定，符合要求， . 不能选条件②，理由如下： 若选条件②：， 由，，，设点到直线的距离为， 则，即， 此时，， 故该三角形不唯一，故②不符合要求. 18. 已知函数的图象上所有点向右平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称. （1）求的值； （2）设，若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出平移后所得函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性，结合的取值范围可求得的值； （2）利用三角恒等变换化简得出，由可得，结合题意可得出关于的不等式，解之即可. 【小问1详解】 解：将函数的图象上所有点向右平移个单位长度， 可得到函数， 由题意可知，函数为奇函数，则， 可得，又因为，则. 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 则， 因为，则， 由，可得， 因为在区间上有且只有一个零点，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$