精品解析：辽宁省沈阳市联合体2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

2023—2024学年度（下）联合体高二期末检测 数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效. 4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设数列的前项和为，则“是等差数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的定义域为，对任意都有，当时，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量，若，，则（ ） A. 15 B. C. D. 6. 某工厂生产零件的尺寸指标，若尺寸指标在内的零件为优等品，从该厂生产的零件中随机抽取10000件，则抽取到的优等品的件数约为（ ） （参考数据：若，则，，） A. 6827 B. 8186 C. 8400 D. 9545 7. 已知函数的图象如图所示，经过点，.则函数的解析式可能是（ ） A. . B. C. D. 8. 林业部门规定：树龄500年以上的古树为一级，树龄300~500年之间的古树为二级，树龄100~299年的古树为三级，树龄低于100年不称为古树．林业工作者为研究树木年龄，多用年轮推测法，先用树木测量生长锥在树干上打孔，抽取一段树干计算年轮个数，由经验知树干截面近似圆形，年轮宽度依次构成等差数列．现为了评估某棵大树的级别，特测量数据如下：树干周长为3.14米，靠近树芯的第5个年轮宽度为0.4cm，靠近树皮的第5个年轮宽度为0.2cm，则估计该大树属于（ ） A. 一级 B. 二级 C. 三级 D. 不是古树 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分） 9. 如图，函数的导函数的图象经过点，和，对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递增 C. 在处取得极小值 D. 在处取得极小值 10. 已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值4 B. 有最小值 C. 有最小值 D. 的最小值为 11. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 的图象关于对称 D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若命题“，”为假命题，则的取值范围是______. 13. 端午节期间，小王、小李、小张和小刘四人分别计划去游玩，现有三个出游的景点：沈阳故宫、张学良旧居、辽宁大剧院，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去沈阳故宫的条件下有人去辽宁大剧院的概率为______. 14. 已知数列各项均为，在其第项和第项之间插入个，得到新数列，记新数列的前项和为，则______，______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）令，证明：. 16. 甲､乙两人准备进行台球比赛，比赛规定：一局中赢球的一方作为下一局的开球方.若甲开球，则本局甲赢的概率为，若乙开球，则本局甲赢的概率为，每局比赛的结果相互独立，且没有平局，经抽签决定，第1局由甲开球. （1）求第3局甲开球的概率； （2）设前4局中，甲开球的次数为，求的分布列及期望. 17. 已知数列满足，，数列满足，． （1）求证：为等差数列，并求通项公式； （2）若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围． 18. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）当时，求在上的最小值； （3）当时，若在上存在零点，求的取值范围. 19. 函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. （1）判断下列函数是否具有性质，并说明理由. ①； ②. （2）已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.（用含字母的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度（下）联合体高二期末检测 数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效. 4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的值域化简集合A，解不等式化简集合B，再利用交集的定义求解即得. 【详解】集合，， 所以. 故选：B 2. 设数列的前项和为，则“是等差数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列求和性质及定义结合充分、必要条件的定义判定选项即可. 【详解】因为是等差数列， 所以，充分性得证； 反之，，只需， 得不到是等差数列，不满足必要性， 所以“是等差数列”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知函数的定义域为，对任意都有，当时，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据周期性把转化成计算即可. 【详解】因为函数的定义域为，对任意都有， 所以， 故选：C. 4. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对求导，再令即可求解. 【详解】因为， 所以. 令，则，解得. 故选：. 5. 已知随机变量，若，，则（ ） A. 15 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由随机变量的期望和方差公式解方程组计算即可. 【详解】因为，， 所以， 即，所以， 所以． 故选：A． 6. 某工厂生产零件的尺寸指标，若尺寸指标在内的零件为优等品，从该厂生产的零件中随机抽取10000件，则抽取到的优等品的件数约为（ ） （参考数据：若，则，，） A. 6827 B. 8186 C. 8400 D. 9545 【答案】B 【解析】 【分析】先应用正态分布的性质及概率，再应用概率求出优等品的件数. 【详解】由题意可得， 即优等品的概率为0.8186，所以从该厂生产的零件中随机抽取10000件， 抽取到的优等品的件数约为（件）. 故选：B. 7. 已知函数的图象如图所示，经过点，.则函数的解析式可能是（ ） A. . B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，通过奇偶性判断即可；对于BC，通过导数判断单调性即可；对于D，有，不符合题意. 【详解】对于A，，其定义域为， 有，函数为偶函数，不符合题意，故A错误； 对于B，，有，， 当时，，其导数， 在区间上，，函数为减函数， 在区间上，，函数为增函数，符合题意，故B正确； 对于C，，有，， 当时，，其导数， 在区间上，，函数为减函数， 在区间上，，函数为增函数，不符合题意，故C错误； 对于D，，有，不符合题意，故D错误. 故选：B. 8. 林业部门规定：树龄500年以上的古树为一级，树龄300~500年之间的古树为二级，树龄100~299年的古树为三级，树龄低于100年不称为古树．林业工作者为研究树木年龄，多用年轮推测法，先用树木测量生长锥在树干上打孔，抽取一段树干计算年轮个数，由经验知树干截面近似圆形，年轮宽度依次构成等差数列．现为了评估某棵大树的级别，特测量数据如下：树干周长为3.14米，靠近树芯的第5个年轮宽度为0.4cm，靠近树皮的第5个年轮宽度为0.2cm，则估计该大树属于（ ） A. 一级 B. 二级 C. 三级 D. 不是古树 【答案】C 【解析】 【分析】由条件抽象出等差数列的基本量，再结合等差数列的前项和，求. 【详解】设树干的截面圆的半径为，树干周长， ，从内向外数：，，，∴年，所以为三级. 故选:C 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分） 9. 如图，函数的导函数的图象经过点，和，对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递增 C. 在处取得极小值 D. 在处取得极小值 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导函数图象的正负得出函数的单调性进而得出函数的极值即可判断各个选项. 【详解】由导函数图象可知， 当或时，； 当或时，， 所以在和上单调递减， 在和上单调递增，故选项A错误，B正确； 所以在和处取得极小值，在处取得极大值，故C错误，D正确. 故选：BD. 10. 已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值4 B. 有最小值 C. 有最小值 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断各选项. 【详解】A选项：由，得，当且仅当，即，时取等号，故A选项正确； B选项：，当且仅当，即，时取等号，故B选项正确； C选项：由，得， 所以， 当且仅当，即，时取等号，故C选项错误； D选项：由A的分析知且，时取等号， 所以，当且仅当，即，时取等号，故D选项正确； 故选：ABD． 11. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 的图象关于对称 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和题设条件，推得是周期为4的周期函数，结合周期函数的性质求值，利用单调性比较大小，逐项判定即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以 ,即函数关于对称，C正确; 由函数关于对称可知, 又因为为偶函数，所以 ，即函数关于对称， 则, 所以,即, 所以,所以是周期为4的周期函数， 所以,又, 所以,所以,所以,B正确; 是偶函数，A错误; 对任意的,且,都有,不妨设, 则,由单调性的定义可得函数在上单调递增， 又由函数关于对称，所以在上单调递增 又,, 所以,得，D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数，解题关键是合理利用抽象函数的单调性，奇偶性周期性分析题意，然后逐个选项分析即可． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若命题“，”为假命题，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，命题的否定为真命题，再结合一元二次不等式恒成立求得的取值范围. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”真命题， 所以， 解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 13. 端午节期间，小王、小李、小张和小刘四人分别计划去游玩，现有三个出游的景点：沈阳故宫、张学良旧居、辽宁大剧院，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去沈阳故宫的条件下有人去辽宁大剧院的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】先应用古典概型求出概率，再应用条件概率求解即可. 【详解】设至少有两人去沈阳故宫为事件A 至少有两人去沈阳故宫的情况有三种：两人去、三人去、四人去， 其概率为， 设至少有两人去沈阳故宫且有人去辽宁大剧院为事件B 至少有两人去沈阳故宫且有人去辽宁大剧院的概率为， 所以在至少有两人去沈阳故宫的条件下有人去辽宁大剧院的概率为. 故答案为：. 14. 已知数列各项均为，在其第项和第项之间插入个，得到新数列，记新数列的前项和为，则______，______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将数列各项排成三角数阵，确定的位置，可得出的值，确定数列的前项中，项的值为、的项数，即可求得的值. 【详解】由题意，将数列各项按如下数阵排列： 其中第行有项，则该数阵中第行最后一项对应数列中的对应的第 项， 因为，且， 所以，位于数阵的第行第项，故， 数列的前项中，项的值为的共项，项的值为的项共项， 因此，. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列求和与求某项的问题，解题的关键就是确定各项的位置，以及数列中各项的值，对于这种有规律性的数列问题，可以将其转化为三角数阵，确定相应项的位置即可. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）令，证明：. 【答案】（1）（）；（） （2）证明：由（1）知， 所以. 当时，成立； 当时，， 故成立. 综上所述，（）均成立. 【解析】 【分析】（1）先根据计算得出通项公式,结合对数运算得出即可； （2）应用等差数列先求出,再应用裂项相消求和即可证明. 【小问1详解】 当时，； 当时，，又， 两式相减，得， 化简得. 因为，所以数列是首项为4，公比为16的等比数列， 所以（）， 所以（）. 【小问2详解】 略 16. 甲､乙两人准备进行台球比赛，比赛规定：一局中赢球的一方作为下一局的开球方.若甲开球，则本局甲赢的概率为，若乙开球，则本局甲赢的概率为，每局比赛的结果相互独立，且没有平局，经抽签决定，第1局由甲开球. （1）求第3局甲开球的概率； （2）设前4局中，甲开球的次数为，求的分布列及期望. 【答案】（1） （2）分布列： 1 2 3 4 【解析】 【分析】（1）设第局甲胜为事件，则第3局甲开球为事件，结合条件概率公式计算即可. （2）由的取值，根据对应的事件，求相应的概率，得分布列，由公式求解期望. 【小问1详解】 设第局甲胜为事件，则第局乙胜为事件，其中 则“第3局甲开球”为事件， . 【小问2详解】 依题意， ， ， ， ， 的分布列为 1 2 3 4 则. 17. 已知数列满足，，数列满足，． （1）求证：为等差数列，并求通项公式； （2）若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）证明为常数即可证明为等差数列，根据等差数列通项公式即可求的通项公式，进而求出的通项公式； （2）根据累乘法求出，再求出，根据的通项公式特征，采用裂项法求其前项和，求单调性并求其范围即可求出的范围． 【小问1详解】 因为，，两边同时除以可得： ，从而，， 所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以， 则； 【小问2详解】 由，， 所以，则， 所以， 所以 则， 因为中的每一项，所以为递增数列， 所以，因为， 所以，即实数的取值范围为. 18. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）当时，求在上的最小值； （3）当时，若在上存在零点，求的取值范围. 【答案】（1），没有极小值 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导函数求函数的极值； （2）利用导函数求函数的最值； （3）求函数的导数，构造新的函数，根据函数的导数，对进行分类，结合函数的单调性、零点存在定理和极值即可求解的取值范围. 【小问1详解】 当时，，定义域是，则， 令，得，变化时，，的变化情况如下表： ＋ 0 － 所以，没有极小值. 【小问2详解】 当时，，， 则. 令，， 则， 则在上是增函数，则， 所以，即在上是增函数， 则. 故当时，在上的最小值是； 【小问3详解】 ，， . 令，，， 当时，，则在上是减函数，则. ①当时，，则在上是减函数，，不合题意； ②当时，，，，则存在，使， 即，变化时，，的变化情况如下表： ＋ 0 － 极大值 则， 因为在上有零点， 所以，解得. 所以，的取值范围是. 19. 函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. （1）判断下列函数是否具有性质，并说明理由. ①； ②. （2）已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.（用含字母的式子表示） 【答案】（1）①具有性质，理由见解析；②不具有性质，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据性质的定义对函数与函数进行判断，从而确定正确答案. （2）性质的定义列不等式，结合对数函数、指数函数的知识求解的取值范围. 【小问1详解】 ①对任意，， 所以具有性质. ②对任意，得， 取，则，所以不具有性质. 【小问2详解】 由于，函数的定义域为， . 若函数具有性质，则对于任意实数， 有， 即，即. 由于函数在上递增，得， 即. 当时，得，对任意实数恒成立； 当时，易得，由，得， 得，得， 由题意得对任意实数恒成立， 所以解得. 当时，易得，由，得， 得，得. 由题意得对任意实数恒成立， 所以解得. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：（1）的关键是对于性质的定义的理解和应用； （2）的关键是通过性质的定义列不等式，然后对参数分类讨论求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $