精品解析：江苏省宿迁市泗洪县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

八年级数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查方式适合用普查的是（ ） A. 检测一批LED灯的使用寿命 B. 检测一批家用汽车的抗撞击能力 C. 测试2024神舟十八号载人飞船的零部件质量情况 D. 中央电视台《2024年第九季诗词大会》的收视率 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 没有水分，种子发芽 B. 太阳从东方升起 C. 射击运动员射击一次，命中靶心 D. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 4. 下列各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则可能是（ ） A. B. C. D. 3 6. 如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ①②④ 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连结DC交AB于点F，则△ACF与△BDF周长之和为（ ） A. 48 B. 50 C. 55 D. 60 8. 如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（ ） A. B. C. D. 1 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 要使根式有意义，则x应满足条件是______． 10. 反比例函数的图像在第__________象限． 11. 一个袋中装有2个红球、3个黑球、5个白球，每个球除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，那么摸出______球的可能性最大． 12. 如图，在中，是的中点，若，则______． 13. 某人在做掷硬币试验，投掷次，正面朝上有次，若正面朝上的频率，随着次数的增加，的值接近__________． 14. 若三角形的三边长分别为、、，则三角形的面积是______． 15. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝130°，DE⊥AB于点E，则∠BDE＝________° 16. 在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则______（填“”“<”或“”）． 17. 已知关于的方程的解是负数，则的取值范围是______． 18. 如图，在中，，，以为边在外作正方形，、交于点，则线段的最大值为_______． 三、解答题（本大题共4题，每题8分，共32分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 为了解某校七年级学生的跳高水平，随机抽取该年级60名学生进行跳高测试，并把测试成绩分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）． 某校七年级60名学生跳高测试成绩的频数表： 组别（m） 频数 1.09～1.19 8 1.19～1.29 16 1.29～1.39 a 1.39～1.49 12 （1）求a的值； （2）把频数分布直方图补充完整； （3）求跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的学生数占参加测试学生数的百分比． 四、解答题（本大题共4题，每题10分，共40分） 23. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．求证：四边形OCED是矩形． 24. 某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型笔记本的单价比乙种类型的要便宜元，且用元购买的甲种类型的数量与用元购买的乙种类型的数量一样，求甲乙两种类型笔记本的单价． 25. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示． （1）这个反比例函数的解析式是______； （2）若使用时电阻，则电流是______； （3）如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么用电器的可变电阻至少是多少？ 26. 如图，四边形是矩形． （1）尺规作图：作以为对角线，且点、分别在、上的菱形；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）若，求菱形边长． 五、解答题（本大题共2题，每题12分，共24分） 27. 一次函数和反比例函数的图像相交于，，与轴交于点，连接，． （1）______，______； （2）观察图像，直接写出的解集______； （3）求面积． 28. 【知识背景】 若分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，，所以是的“友好分式”． 【知识应用】 （1）分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为，则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”______； ②若是的“友好分式”，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断即可． 【详解】解：A．图形是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．图形是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．图形是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．图形是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列调查方式适合用普查的是（ ） A. 检测一批LED灯的使用寿命 B. 检测一批家用汽车的抗撞击能力 C. 测试2024神舟十八号载人飞船的零部件质量情况 D. 中央电视台《2024年第九季诗词大会》的收视率 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查调查分类，涉及抽样调查和全面调查定义与区别，一般地，具有破坏性、涉及面广，无法普查、普查意义或价值不大的采取抽样调查；对于精度要求较高的调查、事关重大的采取普查，逐项判定即可得到答案，熟记普查与抽查的特征与区别是解决问题的关键． 【详解】解：A、检测一批LED灯的使用寿命，具有破坏性，适合抽查，不符合题意； B、检测一批家用汽车的抗撞击能力，具有破坏性，适合抽查，不符合题意； C、测试2024神舟十八号载人飞船的零部件质量情况，每一个环节都事关重大，适合普查，符合题意； D、中央电视台《2024年第九季诗词大会》的收视率，涉及面广，无法普查，适合抽查，不符合题意； 故选：C． 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 没有水分，种子发芽 B. 太阳从东方升起 C. 射击运动员射击一次，命中靶心 D. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，必然事件，不可能事件的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据事件发生的可能性大小逐项判断即可． 【详解】解：A、没有水分，种子发芽，是不可能事件，不符合题意； B、太阳从东方升起，是必然事件，符合题意； C、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意； D、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，不符合题意； 故选：B． 4. 下列各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟记最简二次根式的特征．根据最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因式和因数，进行判断即可． 【详解】解：A、，故不是最简二次根式， B、，故不是最简二次根式， C、，故不是最简二次根式， D、 是最简二次根式， 故选：D． 5. 若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则可能是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，即可确定答案． 【详解】解：A、，故分式值不变，符合题意； B、，故分式值变化了，不符合题意； C、，故分式值变化了，不符合题意； D、，故分式值变化了，不符合题意； 故选：A． 6. 如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．①根据平行四边形的判定方法即可判断；②观察图形即可判断；③根据平行四边形的面积公式即可判断；④根据平行四边形性质即可判断． 【详解】解：①根据题意两组对边的长度分别相等，所以四边形是平行四边形，故①正确； ②向右拉动框架，观察图形可知的长度变大，故②错误； ③因为平行四边形的底不变，高变小了，所以面积变小，故③错误； ④因为平行四边形的四条边长度不变，所以周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故选：C． 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连结DC交AB于点F，则△ACF与△BDF周长之和为（ ） A 48 B. 50 C. 55 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理可求出AB=17，由旋转的性质可得∠CBD=60°，BC=BD，可得△BCD是等边三角形，根据△ACF与△BDF的周长之和=BD+CD+AB+AC即可得答案． 【详解】∵AC=8，BC=15，∠ACB=90°， ∴AB==17， ∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE， ∴∠CBD=60°，BC=BD， ∴△BCD是等边三角形， ∴CD=BC=15， ∴△ACF与△BDF的周长之和=AC+CF+DF+AF+BF+BD=AC+CD+AB+BD=55． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质及勾股定理，正确找出旋转角及对应边是解题关键． 8. 如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示，根据函数图像交点的对称性判断四边形是平行四边形，由平行四边形性质及平面直角坐标系中三角形面积求法，确定，再求出直线与轴交于点，通过联立求出纵坐标，代入方程求解即可得到答案． 【详解】解：连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示： 根据直线、与双曲线交点的对称性可得四边形是平行四边形， ， 直线与轴交于点， 当时，，即， 与双曲线分别相交于点， 联立，即，则，由，解得， ，即，解得， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及平行四边形的判定与性质，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积求法是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 要使根式有意义，则x应满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件“被开方数大于等于0”求解即可． 【详解】根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 10. 反比例函数的图像在第__________象限． 【答案】一、三 【解析】 【分析】根据反比例函数中2＞0判断出此函数所在的象限即可. 【详解】∵此函数中k=2＞0， ∴此函数的图象在一、三象限， 故答案一、三 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线，当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限． 11. 一个袋中装有2个红球、3个黑球、5个白球，每个球除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，那么摸出______球的可能性最大． 【答案】白 【解析】 【分析】本题考查的是可能性大小的判断，根据概率公式分别计算出摸出红球、黑球、白球的可能性，再进行比较即可． 【详解】解：根据题意，一个袋中装有2个红球、3个黑球、5个白球，共10个； 根据概率的计算公式有：摸到红球的可能性为； 摸到黑球的可能性为； 摸到白球的可能性为． 从袋中任意摸出一个球，那么摸出白球的可能性最大． 故答案为：白． 12. 如图，在中，是的中点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及三角形的中位线的性质．由平行四边形的性质可得出，再根据三角形的中位线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴． 故答案为：3． 13. 某人在做掷硬币试验，投掷次，正面朝上有次，若正面朝上的频率，随着次数的增加，的值接近__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小，尽管每进行一连串（n次）实验，所得的频率可以各不相同，但只要n相当大，频率与概率是会非常接近的． 【详解】解：随着次数的增加，的值接近． 故答案为：． 【点睛】本题考查了模拟实验，熟练掌握模拟实验的频率与概率的关系是解题关键． 14. 若三角形的三边长分别为、、，则三角形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，勾股定理，根据题意画出示意图，设，过点C作，构造直角三角形，由勾股定理求出三角形的高，即可求解． 【详解】解：如图，设，过点C作， 设，则， 在中，，则， 在中，，则， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝130°，DE⊥AB于点E，则∠BDE＝________° 【答案】25 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，再根据垂直的定义即可得到∠BDE． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴ ∵DE⊥AB ∴∠BDE＝90°-=25° 故答案为：25． 【点睛】此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知菱形的对角线平分每组内角． 16. 在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则______（填“”“<”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数值的大小，根据反比例函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，且， ∴双曲线过二，四象限， ∵， ∴点在第二象限，点在第四象限， ∴； 故答案为：． 17. 已知关于的方程的解是负数，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解，分式方程有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先将分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解是负数，确定出m的范围，但是必须保证分母不为零即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 解得：， 分式方程的解是负数， ，且， 解得：且， 故答案为：且． 18. 如图，在中，，，以为边在外作正方形，、交于点，则线段的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过O作OF⊥AO且使OF=AO，连接AF、CF，可知△AOF是等腰直角三角形，进而可得AF=AO，根据正方形的性质可得OB=OC，∠BOC=90°，进而可得∠AOB=∠COF，进而可得△AOB≌△COF，即可证明AB=CF，当点A、C、F三点不共线时，根据三角形的三边关系可得AC+CF>AF，当点A、C、F三点共线时可得AC+CF=AC+AB=AF=6，即可得AF的最大值，由AF=AO即可得答案． 【详解】如图，过O作OF⊥AO且使OF=AO，连接AF、CF， ∴∠AOF=90°，△AOF是等腰直角三角形， ∴AF=AO， ∵四边形BCDE是正方形， ∴OB=OC，∠BOC=90°， ∵∠BOC=∠AOF=90°， ∴∠AOB+∠AOC=∠COF+∠AOC， ∴∠AOB=∠COF， 又∵OB=OC，AO=OF， ∴△AOB≌△COF， ∴CF=AB=4， 当点A、C、F三点不共线时，AC+CF>AF， 当点A、C、F三点共线时，AC+CF=AC+AB=AF=6， ∴AF≤AC+CF=6， ∴AF的最大值是6， ∴AF=AO=6， ∴AO=． 故答案为： 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理及性质是解题关键． 三、解答题（本大题共4题，每题8分，共32分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的乘法解析计算即可求解； （2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解方程： 【答案】. 【解析】 【分析】方程两边同时乘以2(x-1)，把分式方程转化为整式方程求解即可. 【详解】解：方程两边同时乘以2(x-1)，得 ， 去括号，得 ， 移项，合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， 经检验，是原方程的根， 所以原方程的解为. 【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练确定最简公分母是解题的关键，解后要验根是注意事项，不能漏落. 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则是解题的关键． 先运用分式加法法则计算括号内的，再运用分式除法法则计算即可化简，然后把值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 22. 为了解某校七年级学生的跳高水平，随机抽取该年级60名学生进行跳高测试，并把测试成绩分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）． 某校七年级60名学生跳高测试成绩的频数表： 组别（m） 频数 1.09～1.19 8 1.19～1.29 16 1.29～1.39 a 1.39～1.49 12 （1）求a的值； （2）把频数分布直方图补充完整； （3）求跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的学生数占参加测试学生数的百分比． 【答案】（1）24；（2）见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据总人数和其他组别的成绩即可求得； （2）根据（1）中求得的数据即可画出图像； （3）根据跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的学生数和总人数即可求得所占的百分比． 详解】（1）； （2） （3）. 【点睛】此题考查了扇形统计图和直方图，解题的关键是能正确分析题目中的数据． 四、解答题（本大题共4题，每题10分，共40分） 23. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．求证：四边形OCED是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由于矩形是特殊的平行四边形，因此，要证明四边形OCED是矩形，先证明它是一个平行四边形．题目条件“过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线”即说明四边形OCED是平行四边形，再由题目条件“在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O”即说明，进而说明平行四边形OCED是矩形． 【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠COD=90°． ∵CE∥OD，DE∥OC， ∴四边形OCED是平行四边形， 又∠COD=90°， ∴平行四边形OCED是矩形． 【点睛】考查菱形的性质以及矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 24. 某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型笔记本的单价比乙种类型的要便宜元，且用元购买的甲种类型的数量与用元购买的乙种类型的数量一样，求甲乙两种类型笔记本的单价． 【答案】甲类型笔记本的单价为元，乙类型笔记本的单价为元 【解析】 【分析】设甲类型笔记本的单价为元，则乙类型笔记本的单价为元，根据用元购买的甲种类型的数量与用元购买的乙种类型的数量一样列出方程，从而可解决问题． 【详解】解：设甲类型笔记本的单价为元，则乙类型笔记本的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲类型笔记本的单价为元，乙类型笔记本的单价为元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解答本题的关键． 25. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示． （1）这个反比例函数的解析式是______； （2）若使用时电阻，则电流是______； （3）如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么用电器的可变电阻至少是多少？ 【答案】（1）； （2）0.3； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）所求解析式中求解即可； （3）先求出当A时，，再由I随R的增大而减小，可知要使电流不能超过10A，则电阻要不低于． 【小问1详解】 解：设反比例函数式， ∵把代入反比例函数式， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当，； 【小问3详解】 解：将代入，得，解得． 根据反比例函数的性质，， ∴在第一象限内，I随着R增大而减小． 所以用电器的可变电阻至少是． 26. 如图，四边形是矩形． （1）尺规作图：作以为对角线，且点、分别在、上的菱形；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）若，求菱形的边长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点E，于点F，则四边形即为所作菱形． （2）由菱形的性质，设菱形的边长为x，则．在中，由勾股定理即可解出x，即可求出菱形的边长． 【小问1详解】 解：如图所示，菱形为所求；   【小问2详解】 解：设菱形的边长为x，则． 四边形是矩形， 在中， ，即， 解得． 菱形的边长为． 【点睛】本题考查尺规作图-作线段垂直平分线，菱形的性质，矩形的性质以及勾股定理．掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理是解答本题的关键． 五、解答题（本大题共2题，每题12分，共24分） 27. 一次函数和反比例函数的图像相交于，，与轴交于点，连接，． （1）______，______； （2）观察图像，直接写出的解集______； （3）求的面积． 【答案】（1），6； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、图像法解不等式、求三角形面积等等，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）把代入即可求出k的值， 得出反比例函数解析式为，把代入即可求出m的值； （2）根据点A和点B的坐标，结合函数图象，找出一次函数高于反比例函数图象时自变量的取值范围即可； （3）先用待定系数法求出一次函数的解析式为，进而得出，最后根据即可解答． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得：， ∴反比例函数解析式为， 把代入得：， 故答案为：，6； 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∴， 由图可知，当或时，， ∴当或时，； 【小问3详解】 解：把，，代入，得 ， 解得． 一次函数的解析式为． 当时，， 解得． ， ． 28. 【知识背景】 若分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，，所以是的“友好分式”． 【知识应用】 （1）分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为，则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”______； ②若是的“友好分式”，求的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）①；②． 【解析】 【分析】本题是创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键． （1）根据友好分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论，类比形式求解即可． 【详解】解：（1）∵, ∴与是“友好分式” 故答案为：是； （1）设的“友好分式”为N，则， ， ； （3）①设的“关联分式”为，则， ∴， ∴． 规律是：将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”. 故答案为：； ②将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”. 据此可得， 整理得 ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$