山东省济南市平阴县2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试卷

山东省济南市平阴县2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷(解析版) 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分) 1.(4分)下列数学经典图形中,是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 2.(4分)已知a<b,则下列不等式一定成立的是( ) A. B.﹣2a<﹣2b C.a﹣2>b﹣2 D.a+2>b+2 3.(4分)若分式的值为0,则x的值是( ) A.x=1 B.x=﹣1 C. D. 4.(4分)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根是x=1,则a+b+c的值是( ) A.0 B.﹣1 C.1 D.不能确定 5.(4分)如图,边长为a、b的长方形周长为20,面积为16,则a2b+ab2的值为( ) A.160 B.180 C.320 D.480 6.(4分)下列判断错误的是( ) A.邻边相等的四边形是菱形 B.有一角为直角的平行四边形是矩形 C.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 D.矩形的对角线互相平分且相等 7.(4分)“方胜”是中国古代妇女的一种发饰,其图案由两个全等正方形相叠组成,寓意是同心吉祥.如图,将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A'B'C'D',形成一个“方胜”图案,则点D,B′之间的距离为( ) A.2cm B. C. D. 8.(4分)如图,直线y=x+b和y=kx+4与x轴分别相交于点A(﹣4,0),点B(2,0),则解集为( ) A.﹣4<x<2 B.x<﹣4 C.x>2 D.x<﹣4或x>2 9.(4分)如图,正方形ABCD中,AB=1,点E、F分别在边BC、CD上,∠EAF=45 ,连接AE、EF、AF,下列结论:①BE+DF=EF;②AE平分∠BEF;③ CEF的周长为2;④S CEF=S ABE+S ADF,其中正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 10.(4分)定义:有两个相邻的内角是直角,并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形,相等两邻边的夹角称为邻等角.例如:如图①,在四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90 且DC=BC,那么四边形ABCD就是邻等四边形. 问题解决:如图②,在6 5的方格纸中,A,B,C三点均在格点上,若四边形ABCD是邻等四边形(点D在格点上),则所有符合条件的点D共有( )个. A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分) 11.(4分)分解因式:xy﹣y2= . 12.(4分)如图①是我国古建筑墙上采用的八角形空窗,其轮廓是一个正八边形,窗外之境如同镶嵌于一个画框之中.如图②是八角形空窗的示意图,它的一个外角∠1= . 13.(4分)若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 . 14.(4分)若关于x的分式方程有增根,则m的值是 . 15.(4分)如图,在矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作EF⊥BD,交AD于点E、交BC于F,连接BE、DF.若AB=3,AD=4.则四边形BFDE的面积 . 16.(4分)如图,已知线段AB=12,点C是线段AB上一动点,将点A绕点C顺时针旋转60 得到点D,连接AD、CD;以CD为边在CD的右侧做矩形CDEF,连接DF,点M是DF的中点,连接BM,则线段BM的最小值是 . 三、解答题:(共10小题,满分86分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(6分)解不等式组:,并写出它的正整数解. 18.(6分)先化简,再求值:(1+),再从﹣2,﹣1,0,2四个数中选一个合适的数作为a的值代入求值. 19.(8分)解下列方程: (1)x2+12x+27=0; (3). 20.(6分)已知:如图,点O为 ABCD对角线AC的中点,过点O的直线与AD,BC分别相交于点E,F.求证:DE=BF. 21.(8分)仔细阅读下面例题,解答问题: 例题:已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值. 解:设另一个因式为(x+n),则x2﹣4x+m=(x+3)(x+n), 即x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n, ∴, 解得. 故另一个因式为(x﹣7),m的值为﹣21. 仿照上面的方法解答下面问题: (1)已知二次三项式x2+3x﹣c有一个因式是(x﹣5),则c= ; (2)已知二次三项式2x2﹣6x﹣k有一个因式是(x﹣5),求另一个因式以及k的值. 22.(8分)如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE. (1)求证:BD=EC; (2)若∠E=50 ,求∠BAO的大小. 23.(10分) ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,其中每个小正方形的边长为1个单位长度. (1)平移 ABC,点A的对应点A1的坐标为(1,﹣5),画出平移后对应的 A1B1C1,并直接写出点B1的坐标; (2) ABC绕点C逆时针方向旋转90 得到 A2B2C,按要求作出图形; (3)如果 A2B2C通过旋转可以得到 A1B1C1,请直接写出旋转中心P的坐标. 24.(10分)端午节是中国传统节日,人们有吃粽子的习俗.今年端午节来临之际,某商场预测A粽子能够畅销.根据预测,每千克A粽子节前的进价比节后多2元,节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克.根据以上信息,解答下列问题: (1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元? (2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克,且总费用不超过4600元,并按照节前每千克20元,节后每千克16元全部售出,那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大?最大利润是多少? 25.(12分)阅读材料: 材料1:关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根x1,x2和系数a、b、c,有如下关系:x1+x2=﹣,x1x2=. 材料2:已知一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个实数根分别为m,n,求m2n+mn2的值. 解:∵m,n是一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个实数根. ∴m+n=1,mn=﹣1. 则m2n+mn2=mn(m+n)=﹣1 1=﹣1. 根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列问题. (1)应用:一元二次方程2x2+3x﹣1=0的两个实数根为x1,x2,则x1+x2= ,x1x2= . (2)类比:已知一元二次方程2x2+3x﹣1=0的两个实数根为m、n,求m2+n2的值; (3)提升:已知实数s,t满足2s2+3s﹣1=0,2t2+3t﹣1=0,且s≠t. 求:①4s2+7s+t; ②﹣的值. 26.(12分)综合与实践. 【初步探究】某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中,将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE,按如图1的方式摆放,∠ACB=∠ECD=90 ,随后保持 ABC不动,将 CDE绕点C按逆时针方向旋转 (0 < <90 ),连接AE,BD,延长BD交AE于点F,交AC于点G,连接CF.该数学兴趣小组进行如下探究,请你帮忙解答: (1)如图2,当ED∥BC时: ①则 = ; ②判断BD与AE的位置关系,并说明理由. 【深入探究】 (2)如图3,当点E,F重合时,请直接写出AF,BF,CF之间的数量关系: ; 【拓展延伸】 (3)如图4,在等边 ABC中,AD⊥BC于点D,点E在线段AD上(不与A重合),以AE为边在AD的左侧构造等边 AEF,将 AEF绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度.如图5,M为EF的中点,N为BE的中点.请说明 MND为等腰三角形. 参考答案与试题解析 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分) 1.(4分)下列数学经典图形中,是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 【分析】根据中心对称图形的概念解答即可. 【解答】解:A、图形是中心对称图形,符合题意; B、图形不是中心对称图形,不符合题意; C、图形不是中心对称图形,不符合题意; D、图形不是中心对称图形,不符合题意. 故选:A. 【点评】本题考查的是中心对称图形,熟知把一个图形绕某一点旋转180 ,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键. 2.(4分)已知a<b,则下列不等式一定成立的是( ) A. B.﹣2a<﹣2b C.a﹣2>b﹣2 D.a+2>b+2 【分析】根据a<b,运用不等式的基本性质,逐项判断即可. 【解答】解:A、在不等式a<b的两边同时乘以,不等式仍然成立,即,故本选项符合题意; B、在不等式a<b的两边同时乘以﹣2,不等号方向改变,即﹣2a>﹣2b,故本选项不符合题意; C、在不等式a<b的两边同时减去2,不等式仍然成立,即a﹣2<b﹣2,故本选项不符合题意; D、在不等式a<b的两边同时加上2,不等式仍然成立,即a+2<b+2,故本选项不符合题意. 故选:A. 【点评】此题主要考查了不等式的基本性质:(1)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变;(3)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子,不等号的方向不变. 3.(4分)若分式的值为0,则x的值是( ) A.x=1 B.x=﹣1 C. D. 【分析】根据“分式的值为0的条件为分式的分子等于0,分母不等于0”,即可求解. 【解答】解:∵分式的值为0, ∴x+1=0且2x﹣1≠0, ∴x=﹣1. 故选:B. 【点评】本题主要考查了分式的值为0的条件,熟知分式值为0的条件是分子为0,分母不为0是解题的关键. 4.(4分)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根是x=1,则a+b+c的值是( ) A.0 B.﹣1 C.1 D.不能确定 【分析】把x=1代入方程计算求出a+b+c的值. 【解答】解:把x=1代入方程得:a+b+c=0, 故选:A. 【点评】此题考查了一元二次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值. 5.(4分)如图,边长为a、b的长方形周长为20,面积为16,则a2b+ab2的值为( ) A.160 B.180 C.320 D.480 【分析】由题意可得:ab=16,a+b=10,然后把所求的式子利用提公因式法进行分解,即可解答. 【解答】解:由题意得: 2(a+b)=20,ab=16, ∴a+b=10, ∴a2b+ab2=ab(a+b) =16 10 =160, 故选:A. 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法,熟练掌握因式分解﹣提公因式法是解题的关键. 6.(4分)下列判断错误的是( ) A.邻边相等的四边形是菱形 B.有一角为直角的平行四边形是矩形 C.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 D.矩形的对角线互相平分且相等 【分析】根据正方形的性质和判定解答. 【解答】解:A、邻边相等的平行四边形是菱形,错误,符合题意; B、有一角为直角的平行四边形是矩形,正确,不符合题意; C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形,正确,不符合题意; D、矩形的对角线互相平分且相等,正确,不符合题意; 故选:A. 【点评】考查正方形的判定,通过这道题可以掌握正方形对角线,边和角的性质以及正方形和矩形,菱形的关系. 7.(4分)“方胜”是中国古代妇女的一种发饰,其图案由两个全等正方形相叠组成,寓意是同心吉祥.如图,将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A'B'C'D',形成一个“方胜”图案,则点D,B′之间的距离为( ) A.2cm B. C. D. 【分析】根据正方形的性质、勾股定理求出BD,根据平移的概念求出BB′,计算即可. 【解答】解:∵四边形ABCD为边长为2cm的正方形, ∴BD==2(cm), 由平移的性质可知,BB′=1cm, ∴B′D=(2﹣1)cm, 故选:D. 【点评】本题考查的是利用平移设计图案,平移的性质、正方形的性质,根据平移的概念求出BB′是解题的关键. 8.(4分)如图,直线y=x+b和y=kx+4与x轴分别相交于点A(﹣4,0),点B(2,0),则解集为( ) A.﹣4<x<2 B.x<﹣4 C.x>2 D.x<﹣4或x>2 【分析】结合图象,写出两个函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可. 【解答】解:∵当x>﹣4时,y=x+b>0, 当x<2时,y=kx+4>0, ∴解集为﹣4<x<2, 故选:A. 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识,解题的关键是能够结合图象作出判断. 9.(4分)如图,正方形ABCD中,AB=1,点E、F分别在边BC、CD上,∠EAF=45 ,连接AE、EF、AF,下列结论:①BE+DF=EF;②AE平分∠BEF;③ CEF的周长为2;④S CEF=S ABE+S ADF,其中正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【分析】①延长CB到G,使BG=DF,连接AG,则EG=BE+DF,先证 ABG和 ADF全等得∠2=∠1,AG=AF,由此可证∠EAG=∠EAF=45 ,进而再证 AEG和 AEF全等得EG=EF,据此可对结论①进行判断; ②由 AEG≌ AEF得∠GEA=∠FEA,据此可对结论②进行判断; ③根据BE+DF=EF得CE+CF+EF=BC+CD=2,据此可对结论③进行判断; ④设DF=a,BE=b,则CF=1﹣a,CE=1﹣b,EF=a+b,由勾股定理得EF2=CE2+CF2,即ab=1﹣a﹣b,则S ABE+S ADF=(a+b),而S CEF=(1﹣a)(1﹣b)=1﹣(a+b),据此可对结论④进行判断,综上所述即可得出答案. 【解答】解:①延长CB到G,使BG=DF,连接AG,如下图所示: 则EG=BE+BG=BE+DF, ∵四边形ABC为正方形,AB=1, ∴∠ABC=∠C=∠D=∠DAB=90 ,AB=BC=CD=AD=1, ∴∠ABG=∠D=90 , 在 ABG和 ADF中, , ∴ ABG≌ ADF(SAS), ∴∠2=∠1,AG=AF, ∵∠DAB=90 ,∠EAF=45 , ∴∠1+∠3=∠DAB﹣∠EAF=90 ﹣45 =45 , ∴∠2+∠2=45 , ∴∠EAG=∠EAF=45 , 在 AEG和 AEF中, , ∴ AEG≌ AEF(SAS), ∴EG=EF=BE+DF, 故结论①正确; ②∵ AEG≌ AEF, ∴∠GEA=∠FEA, 即AE平分∠BEF, 故结论②正确; ③∵BE+DF=EF, ∴CE+CF+EF=CE+CF+BE+DF=BC+CD=2, 即 CEF的周长为2, 故结论③正确; ④设DF=a,BE=b,则CF=1﹣a,CE=1﹣b,EF=BE+DF=a+b, 在Rt CEF中,由勾股定理得:EF2=CE2+CF2, 即(a+b)2=(1﹣a)2+(1﹣b)2, 整理得:ab=1﹣a﹣b, ∵S ABE=BE•AB=b,S ADF=DF•AD=a, ∴S ABE+S ADF=(a+b), 又∵S CEF=CE•CF=(1﹣a)(1﹣b)=(1﹣a﹣b+ab), 将ab=1﹣a﹣b代入上式得:S CEF=1﹣(a+b), ∴S CEF≠S ABE+S ADF, 故结论④不正确, 综上所述:正确的结论是①②③. 故选:C. 【点评】此题主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,勾股定理,熟练掌握全等三角形的判定和性质,勾股定理是解决问题的关键. 10.(4分)定义:有两个相邻的内角是直角,并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形,相等两邻边的夹角称为邻等角.例如:如图①,在四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90 且DC=BC,那么四边形ABCD就是邻等四边形. 问题解决:如图②,在6 5的方格纸中,A,B,C三点均在格点上,若四边形ABCD是邻等四边形(点D在格点上),则所有符合条件的点D共有( )个. A.2 B.3 C.4 D.5 【分析】根据“邻等四边形”以及网格点的意义在网格中找出条件的点D的位置即可. 【解答】解:如图,根据“邻等四边形”以及网格点的意义可知, 所有符合条件的点D共有3个,即图形中的D1,D2,D3, 故选:B. 【点评】本题考查多边形,理解“邻等四边形”的定义是正确解答的关键. 二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分) 11.(4分)分解因式:xy﹣y2= y(x﹣y) . 【分析】直接提取公因式y,进而得出答案. 【解答】解:xy﹣y2=y(x﹣y). 故答案为:y(x﹣y). 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键. 12.(4分)如图①是我国古建筑墙上采用的八角形空窗,其轮廓是一个正八边形,窗外之境如同镶嵌于一个画框之中.如图②是八角形空窗的示意图,它的一个外角∠1= 45 . 【分析】由多边形的外角和定理直接可求出结论. 【解答】解:∵正八边形的外角和为360 , ∴每一个外角为360 8=45 . 故答案为:45 . 【点评】本题考查了多边形外角和定理,平面镶嵌等知识点,掌握外角和定理是解题的关键. 13.(4分)若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 k<1 . 【分析】根据根的判别式的意义得到(﹣2)2﹣4k>0,然后解不等式即可. 【解答】解:根据题意得 =(﹣2)2﹣4 k>0, 解得k<1. 故答案为:k<1. 【点评】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与 =b2﹣4ac有如下关系,当 >0时,方程有两个不相等的实数根;当 =0时,方程有两个相等的实数根;当 <0时,方程无实数根.上面的结论反过来也成立. 14.(4分)若关于x的分式方程有增根,则m的值是 1 . 【分析】先把分式方程去分母变为整式方程,然后把x=2代入计算,即可求出m的值. 【解答】解:∵, 去分母,得:1﹣x=﹣m﹣2(x﹣2); ∵分式方程有增根, ∴x=2, 把x=2代入1﹣x=﹣m﹣2(x﹣2), 则1﹣2=﹣m﹣2(2﹣2), 解得:m=1; 故答案为:1. 【点评】此题考查了分式方程的增根,增根确定后可按如下步骤进行:①化分式方程为整式方程;②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值. 15.(4分)如图,在矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作EF⊥BD,交AD于点E、交BC于F,连接BE、DF.若AB=3,AD=4.则四边形BFDE的面积 . 【分析】首先判定四边形BFDE是平行四边形,然后根据对 角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定即可;由EF垂直平分BD,得到EB=ED,由AD﹣ED=AE,在直角三角形ABE中,设AE=x,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即可求解. 【解答】解;四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,AD=BC, ∴∠EDO=∠OBF, ∵O是BD中点, ∴BO=DO, ∵∠EOD=∠BOF, 在 DEO和 BFO中, ∴ DEO≌ BFO(ASA), ∴ED=BF, ∴四边形EBFD是平行四边形, 又∵EF⊥BD, ∴四边形EBFD是菱形; ∴ED=EB, 设AE=x,则ED=EB=4﹣x, 在Rt ABE中,BE2﹣AB2=AE2, 即(4﹣x)2=x2+32, 解得, ∴, ∴, ∴四边形BFDE的面积=. 故答案为:. 【点评】本题考查矩形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,解题的关键是掌握相关知识的灵活运用. 16.(4分)如图,已知线段AB=12,点C是线段AB上一动点,将点A绕点C顺时针旋转60 得到点D,连接AD、CD;以CD为边在CD的右侧做矩形CDEF,连接DF,点M是DF的中点,连接BM,则线段BM的最小值是 6 . 【分析】连接CM,EM,过点A,M作射线AM,过点B作BN⊥射线AM于N,由矩形性质得点C,M,E在同一条直线上,则DM=CM=FM=EM,再由旋转的性质得 ACD为等边三角形,则AD=AC,∠DAC=60 ,进而可依据“SSS”判定 ADM和 ACM全等,则∠DAM=∠CAM=∠DAC=30 ,进而得当点C在线段AB上运动时,点M始终在∠DAC的平分线上运动,然后根据“垂线段最短”得:当BM⊥AM时,BM为最小,最小值为线段BM的长,最后在Rt ABN中根据直角三角形的性质求出BN即可. 【解答】解:连接CM,EM,过点A,M作射线AM,过点B作BN⊥射线AM于N,如下图所示: ∵四边形CDEF为矩形,点M为对角线DF的中点, ∴点C,M,E在同一条直线上, ∴DM=CM=FM=EM, 由旋转的性质得:CA=CD,∠ACD=60 , ∴ ACD为等边三角形, ∴AD=AC,∠DAC=60 , 在 ADM和 ACM中, AD=AC,AM=AM,DM=CM, ∴ ADM≌ ACM(SSS), ∴∠DAM=∠CAM=∠DAC=30 , 即射线为∠DAC的平分线, ∴当点C在线段AB上运动时,点M始终在∠DAC的平分线上运动, 根据“垂线段最短”得:当BM⊥AM时,BM为最小,最小值为线段BM的长, 在Rt ABN中,∠CAM=30 ,AB=12, ∴BN=AB=6, ∴BM的最小值为6. 故答案为:6. 【点评】此题主要考查了图形的旋转及其性质,矩形的性质,垂线段的性质,全等三角形的判定和性质,理解图形的旋转及其性质,矩形的性质,垂线段的性质,熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键. 三、解答题:(共10小题,满分86分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(6分)解不等式组:,并写出它的正整数解. 【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集,再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集,最后求出不等式组的整数解即可. 【解答】解:, 解不等式①,得x≤5, 解不等式②,得x>2, 所以不等式组的解集是2<x≤5, 所以不等式组的整数解是3,4,5. 【点评】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解,能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键. 18.(6分)先化简,再求值:(1+),再从﹣2,﹣1,0,2四个数中选一个合适的数作为a的值代入求值. 【分析】先进行通分,再把除法转化成乘法,然后进行约分,再选一个适当的值代入即可. 【解答】解: = =a+2; 把a=0代入上式得: 原式=0+2=2. 【点评】此题考查了分式的化简求值,解题的关键是把分式化到最简,然后代值计算. 19.(8分)解下列方程: (1)x2+12x+27=0; (3). 【分析】(1)利用因式分解法把方程转化为x+3=0或x+9=0,然后解一次方程即可; (2)先移项得到3x(x﹣1)+2(x﹣1)=0,再利用因式分解法把方程转化为x﹣1=0或3x+2=0,然后解一次方程即可. 【解答】解:(1)(x+3)(x+9)=0, x+3=0或x+9=0, 所以x1=﹣3,x2=﹣9; (2)两边乘(x+1)(x﹣1)得, x+1=1, ∴x=0, 经检验x=0是分式方程的解. 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法. 20.(6分)已知:如图,点O为 ABCD对角线AC的中点,过点O的直线与AD,BC分别相交于点E,F.求证:DE=BF. 【分析】根据平行四边形的性质得到AD=BC,AD∥BC,进而推出∠EAO=∠FCO,∠OEA=∠OFC,结合AO=CO,利用AAS证明 AOE≌ COF,根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可. 【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,AD∥BC, ∴∠EAO=∠FCO,∠OEA=∠OFC, ∵点O为对角线AC的中点, ∴AO=CO, 在 AOE和 COF中, , ∴ AOE≌ COF(AAS), ∴AE=CF, ∴AD﹣AE=BC﹣CF, ∴DE=BF. 【点评】此题考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,熟记平行四边形的性质是解题的关键. 21.(8分)仔细阅读下面例题,解答问题: 例题:已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值. 解:设另一个因式为(x+n),则x2﹣4x+m=(x+3)(x+n), 即x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n, ∴, 解得. 故另一个因式为(x﹣7),m的值为﹣21. 仿照上面的方法解答下面问题: (1)已知二次三项式x2+3x﹣c有一个因式是(x﹣5),则c= 40 ; (2)已知二次三项式2x2﹣6x﹣k有一个因式是(x﹣5),求另一个因式以及k的值. 【分析】(1)仿照范例进行解答即可; (2)设另一个因式为(2x+n),则:2x2﹣6x﹣k=(x﹣5)(2x+n),对应列出方程组解答即可. 【解答】解:(1)设另一个因式为(x+n),则x2+3x﹣c=(x﹣5)(x+n)=x2+(n﹣5)x﹣5n, ∴,解得, ∴c=40, 故答案为:40. (2)设另一个因式为(2x+n),则:2x2﹣6x﹣k=(x﹣5)(2x+n), 即:2x2﹣6x﹣k=2x2+(n﹣10)x﹣5n, ∴, 解得. 故另一个因式为(2x+4),k的值为20. 【点评】此题主要考查了因式分解的意义,以及十字相乘法在因式分解中的应用,要熟练掌握. 22.(8分)如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE. (1)求证:BD=EC; (2)若∠E=50 ,求∠BAO的大小. 【分析】(1)根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD,AB∥CD,然后证明得到BE=CD,BE∥CD,从而证明四边形BECD是平行四边形,再根据平行四边形的对边相等即可得证; (2)根据两直线平行,同位角相等求出∠ABO的度数,再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD,然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解. 【解答】(1)证明:∵菱形ABCD, ∴AB=CD,AB∥CD, 又∵BE=AB, ∴BE=CD,BE∥CD, ∴四边形BECD是平行四边形, ∴BD=EC; (2)解:∵平行四边形BECD, ∴BD∥CE, ∴∠ABO=∠E=50 , 又∵菱形ABCD, ∴AC⊥BD, ∴∠BAO=90 ﹣∠ABO=40 . 【点评】本题主要考查了菱形的性质,平行四边形的判定与性质,熟练掌握菱形的对边平行且相等,菱形的对角线互相垂直是解本题的关键. 23.(10分) ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,其中每个小正方形的边长为1个单位长度. (1)平移 ABC,点A的对应点A1的坐标为(1,﹣5),画出平移后对应的 A1B1C1,并直接写出点B1的坐标; (2) ABC绕点C逆时针方向旋转90 得到 A2B2C,按要求作出图形; (3)如果 A2B2C通过旋转可以得到 A1B1C1,请直接写出旋转中心P的坐标. 【分析】(1)利用平移规律得出对应点位置,进而得出答案; (2)利用旋转的性质得出对应点坐标进而得出答案; (3)利用旋转图形的性质,得到对应点,对应点连线的交点即为旋转中心. 【解答】解:(1)如图所示, A1B1C1即为所求;B1坐标为(2,﹣2); (2)如图所示, AA2B2C即为所求. (3)如图所示,点P即为所求,P的坐标为(﹣1,﹣5). 【点评】本题考查作图﹣平移变换、旋转变换,熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键. 24.(10分)端午节是中国传统节日,人们有吃粽子的习俗.今年端午节来临之际,某商场预测A粽子能够畅销.根据预测,每千克A粽子节前的进价比节后多2元,节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克.根据以上信息,解答下列问题: (1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元? (2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克,且总费用不超过4600元,并按照节前每千克20元,节后每千克16元全部售出,那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大?最大利润是多少? 【分析】(1)设该商场节后每千克A粽子的进价为x元,根据节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克,列分式方程,求解即可; (2)设该商场节前购进m千克A粽子,总利润为w元,根据该商场在节前和节后共购进A粽子400千克,且总费用不超过4600元,列一元一次不等式,求出m的取值范围,再表示出w与m的函数关系式,根据一次函数的增减性即可确定如何进货才能获得最大利润,并求出最大利润即可. 【解答】解:(1)设该商场节后每千克A粽子的进价为x元, 根据题意,得, 解得x=10或x=﹣12(舍去), 经检验,x=10是原分式方程的根,且符合题意, 答:该商场节后每千克A粽子的进价是10元; (2)设该商场节前购进m千克A粽子,总利润为w元, 根据题意,得12m+10(400﹣m)≤4600, 解得m≤300, w=(20﹣12)m+(16﹣10)(400﹣m)=2m+2400, ∵2>0, ∴w随着m增大而增大, 当m=300时,w取得最大值,最大利润为2 300+2400=3000(元), 答:该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大,最大利润是3000元. 【点评】本题考查了分式方程的应用,一元一次不等式的应用,一次函数的应用,理解题意并根据题意建立相应关系式是解题的关键. 25.(12分)阅读材料: 材料1:关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根x1,x2和系数a、b、c,有如下关系:x1+x2=﹣,x1x2=. 材料2:已知一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个实数根分别为m,n,求m2n+mn2的值. 解:∵m,n是一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个实数根. ∴m+n=1,mn=﹣1. 则m2n+mn2=mn(m+n)=﹣1 1=﹣1. 根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列问题. (1)应用:一元二次方程2x2+3x﹣1=0的两个实数根为x1,x2,则x1+x2= ﹣ ,x1x2= ﹣ . (2)类比:已知一元二次方程2x2+3x﹣1=0的两个实数根为m、n,求m2+n2的值; (3)提升:已知实数s,t满足2s2+3s﹣1=0,2t2+3t﹣1=0,且s≠t. 求:①4s2+7s+t; ②﹣的值. 【分析】(1)利用根与系数的关系,即可得出x1+x2及x1x2的值; (2)利用根与系数的关系,可得出m+n=﹣,mn=﹣,将其代入m2+n2=(m+n)2﹣2mn中,即可求出结论; (3)由实数s、t满足2s2+3s﹣1=0,2t2+3t﹣1=0,且s≠t,可得出s,t是一元二次方程2x2+3x﹣1=0的两个实数根,利用根与系数的关系,可得出s+t=﹣,st=﹣,①代入所求代数式计算即可;②(t﹣s)2=(t+s)2﹣4st,可求出s﹣t的值,再将其代入=中,即可求出结论. 【解答】解:(1)∵一元二次方程2x2+3x﹣1=0的两个根为x1,x2, ∴x1+x2=﹣,x1x2=﹣; 故答案为:﹣,﹣; (2)∵一元二次方程2x2+3x﹣1=0的两根分别为m,n, ∴m+n=﹣,mn=﹣, ∴m2+n2=(m+n)2﹣2mn=+1=; (3)①∵实数s,t满足2s2+3s﹣1=0,2t2+3t﹣1=0,且s≠t, ∴s,t是一元二次方程2x2+3x﹣1=0的两个实数根, ∴2s2+3s=1,s+t=﹣, ∴4s2+7s+t=4s2+6s+s+t=2(2s2+3s)+(s+t)=2+(﹣)=; ②∵实数s,t满足2s2+3s﹣1=0,2t2+3t﹣1=0,且s≠t, ∴s,t是一元二次方程2x2+3x﹣1=0的两个实数根, ∴s+t=﹣,st=﹣, ∵(t﹣s)2=(t+s)2﹣4st=(﹣)2﹣4 (﹣)=, ∴t﹣s= , ∴=== . 【点评】本题考查根与系数的关系,牢记“两根之和等于﹣,两根之积等于”是解题的关键. 26.(12分)综合与实践. 【初步探究】某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中,将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE,按如图1的方式摆放,∠ACB=∠ECD=90 ,随后保持 ABC不动,将 CDE绕点C按逆时针方向旋转 (0 < <90 ),连接AE,BD,延长BD交AE于点F,交AC于点G,连接CF.该数学兴趣小组进行如下探究,请你帮忙解答: (1)如图2,当ED∥BC时: ①则 = 45 ; ②判断BD与AE的位置关系,并说明理由. 【深入探究】 (2)如图3,当点E,F重合时,请直接写出AF,BF,CF之间的数量关系: BF=AF+CF ; 【拓展延伸】 (3)如图4,在等边 ABC中,AD⊥BC于点D,点E在线段AD上(不与A重合),以AE为边在AD的左侧构造等边 AEF,将 AEF绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度.如图5,M为EF的中点,N为BE的中点.请说明 MND为等腰三角形. 【分析】(1)①根据等腰直角三角形的性质得到∠CDE=45 ,根据平行线的性质即可得到结论; ②根据余角的性质得到∠ECA=∠BCD,根据全等三角形的性质得到∠EAC=∠DBC,求得∠AFG=90 ,得到BD⊥AE; (2)根据等腰直角三角形的性质得到∠DCE=∠ACB,AC=BC,CD=CE,DF=CF,根据全等三角形的性质得到AF=BD,由BF=DF+BD,得到BF=AF+CF; (3)连接BF,CE,延长CE交MN于P,交BF于O,根据等边三角形的性质得到BD=CD,根据三角形中位线定理得到MN=BF,DN=EC,根据全等三角形的性质得到BF=EC,根据等腰三角形的判定定理得到结论. 【解答】解:(1)①∵ CED是等腰直角三角形, ∴∠CDE=45 , ∵ED∥BC, ∴∠BCD=∠CDE=45 ,即 =45 , 故答案为:45; ②BD⊥AE, 理由:∵∠BCA=∠ECD=90 , ∴∠BCA﹣∠DCA=∠ECD﹣∠DCA, ∴∠ECA=∠BCD, ∵EC=CD,AC=CB, ∴ AEC≌ BDC(SAS), ∴∠EAC=∠DBC, ∵∠ACB=90 , ∴∠BGC+∠GBC=90 , ∴∠AGF+∠EAC=90 , ∴∠AFG=90 , ∴BD⊥AE; (2)BF=AF+CF, 理由如下: ∵ ABC和 CDE是等腰直角三角形, ∴∠DCE=∠ACB,AC=BC,CD=CE,DF=CF, ∴∠ACE=∠BCD, ∴ ACE≌ BCD(SAS), ∴AF=BD, ∵BF=DF+BD, ∴BF=AF+CF; 故答案为:BF=AF+CF; (3)连接BF,CE,延长CE交MN于P,交BF于O, ∵ ABC是等边三角形, ∴AB=AC, ∵AD⊥BC, ∴BD=CD, ∵M为EF的中点,N为BE的中点, ∴MN,ND分别是 BEF, BCE的中位线, ∴MN=BF,DN=EC, ∵∠FAE=∠BAC=60 , ∴∠FAE+∠EAB=∠BAC+∠EAB, ∴∠FAB=∠EAC, ∵AF=AE,AB=AC, ∴ ACE≌ ABF(SAS), ∴BF=EC, ∴MN=DN, ∴ MND为等腰三角形. 【点评】本题是几何变换的综合题,考查了全等三角形的判定和性质,三角形中位线定理,等腰直角三角形,旋转的性质,正确地作出辅助线是解题的关键. 学科网(北京)股份有限公司 $$