等差数列课件-2025届高三数学一轮复习

必备知识·逐点夯实 第二节　等差数列 第七章 数列 核心考点·分类突破 【课标解读】 【课程标准】 1.理解等差数列的概念并掌握其通项公式与前n项和公式. 2.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题. 3.体会等差数列与一次函数的关系. 【核心素养】 数学建模、数学运算、逻辑推理 【命题说明】 考向 考法 高考命题常以等差数列为载体,考查基本量的运算、求和及性质的应用.等差数列前n项和的性质是高考的热点,常以选择题的形式出现. 预测 2025年高考将会从以下两个角度来考查:(1)等差数列及其前n项和的基本运算与性质;(2)等差数列的综合应用,可能与等比数列、函数、方程、不等式相结合考查. 必备知识·逐点夯实 知识梳理·归纳 1.等差数列的有关概念 定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于____________, 那么这个数列就叫做等差数列,即-an=d(n∈N*,d为常数) 通项 公式 设{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,则通项公式为an=_________ 等差 中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, ___叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,2A=____ 同一个常数 a1+(n-1)d A a+b 2.等差数列的前n项和公式 微点拨 (1)等差数列前n项和公式可变形为 Sn=n2+(a1-)n.当d≠0时,它是关于n的二次函数,表示为Sn=An2+Bn(A,B为常数); (2)a1>0,d<0,则Sn存在最大值. a1<0,d>0,则Sn存在最小值. 已知条件 前n项和公式 a1,an,n Sn= a1,d,n Sn=___________ na1+d 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广:an=am+________(n,m∈N*). (2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则____________. (3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,,,…(k,m∈N*)是公差为____的 等差数列. (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,-Sm,-,…也是等差数列. (5)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列; (6)若{an}是等差数列,则{}也成等差数列,其首项与{an}首项相同,公差是{an} 公差的. (n-m)d ak+al=am+an md 常用结论 1.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p. 2.在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值. 3.等差数列{an}的单调性:当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列;当d=0时,{an}是常数列. 4.数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数). 基础诊断·自测 1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(　　) 提示:(1)第2项起每一项与它的前一项的差应是同一个常数; (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.(　　) 类型 辨析 易错 高考 题号 1 3 2,4 × √ (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(　　) 提示: (3)如果数列为0,0,0,0,则其通项公式不是一次函数. (4)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.(　　) × √ 2.(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5=(　　) A.25 B.22 C.20 D.15 【解析】选C.等差数列{an}中,a2+a6=2a4=10, 所以a4=5,a4a8=5a8=45,故a8=9, 则d==1,a1=a4-3d=5-3=2, 则S5=5a1+d=10+10=20. 3.(转化条件不等价致误)一个等差数列的首项为,从第10项起每项都比1大,则这个等差数列的公差d的取值范围是(　　) A.(,+∞) B.(-∞,) C.(,) D.,] 【解析】选D.由题意可得 即所以<d≤. 4.(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d=　　　　.  【解析】因为2S3=3S2+6,所以2(a1+a2+a3)=3(a1+a2)+6,化简得3d=6,解得d=2. 2 核心考点·分类突破 考点一等差数列的基本量运算 1.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a3+a5=4,S15=60,则a20=(　　) A.4　 B.6　 C.10　 D.12 【解析】选C.由题意得a4==2,S15=15a8=60,则a8=4,所以a20=a4+4(a8-a4) =2+4×(4-2)=10. 2.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=(　　) A.-12　 B.-10　 C.10　 D.12 【解析】选B.设等差数列{an}的公差为d,则3(3a1+3d)=2a1+d+4a1+6d,即d=-a1.又a1=2,所以d=-3,所以a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10. 3.设Sn是等差数列{an}的前n项和,a4=11,且S3,S5,a22成等差数列,则S10=(　　) A.145　 B.150　 C.155　 D.160 【解析】选C.设等差数列{an}的公差为d,因为a4=11,所以S3==3a2= 3(11-2d),S5=5a3=5(11-d),a22=11+18d, 因为S3,S5,a22成等差数列,所以3(11-2d)+11+18d=10(11-d),所以d=3,a1=a4-3d= 11-9=2,所以S10=10a1+45d=20+135=155. 4.已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn+1=Sn+an+3,a4+a5=23,则S8=(　　) A.72　 B.88　 C.92　 D.98 【解析】选C.因为Sn+1=Sn+an+3,所以Sn+1-Sn=an+3=an+1,所以an+1-an=3,所以{an}是公差d=3的等差数列,又a4+a5=23,即2a1+7d=23,解得a1=1,所以S8=8a1+d=92. 5.在等差数列{an}中,已知a2=5,am=7,am+3=10,则数列{an}的前m项和为(　　) A.12　 B.22　 C.23　 D.25 【解析】选B.数列{an}是等差数列,设公差为d,am+3=am+3d=7+3d=10,解得d=1,又a2=5,所以a1=4,所以am=4+(m-1)×1=7,解得m=4,所以数列{an}的前m项和为S4===22. 解题技法 等差数列基本量运算的常见类型及解题策略 (1)求公差d或项数n:在求解时,一般要运用方程思想; (2)求通项:a1和d是等差数列的两个基本元素; (3)求特定项:利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解; (4)求前n项和:利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解. [例1](选择性必修第二册P25习题4.2T7(1))已知Sn是等差数列{an}的前n项和.证明是等差数列. 【证明】设等差数列{an}首项为a1,公差为d,因为Sn=na1+d=n2+(a1-)n,所以=n+(a1-),所以-=n+(a1-)-=(n≥2),所以是以a1为首项,为公差的等差数列. 考点二 等差数列的判定与证明 教考衔接 教材情境·研习·典题类 真题体验 (2023·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:{为等差数列,则(　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【解析】选C.(解法一)甲:为等差数列,设其首项为a1,公差为d, 则Sn=na1+d, 所以=n+(a1-),所以-=n+(a1-)-[(n-1)+ (a1-)]=, 因此为等差数列,则甲是乙的充分条件; 反之,乙:为等差数列, 即-==为常数,设为t, 即=t,则Sn=nan+1-t·n(n+1), 则Sn-1=(n-1)an-t·n(n-1)(n≥2), 两式相减得:an=nan+1-(n-1)an-2tn,即an+1-an=2t,对n=1也成立, 因此为等差数列,则甲是乙的必要条件,所以甲是乙的充要条件,C正确. (解法二)甲:为等差数列,设数列的首项为a1,公差为d,则Sn=na1+d, 则=a1+d=n+a1-, 因此为等差数列,即甲是乙的充分条件; 反之,乙:为等差数列, 即-=D,=S1+(n-1)D, 即Sn=nS1+n(n-1)D, Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D, 当n≥2时,两式相减得:Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D, 当n=1时,上式成立,于是an=a1+2(n-1)D,又an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D为常数,因此为等差数列,则甲是乙的必要条件,所以甲是乙的充要条件. [溯源点评]本题是教材习题的变式,融入了简易逻辑知识,考查学生的基本功,即逻辑推理、数学运算等核心素养. 解题技法 等差数列的判定与证明的常用方法 提醒:若要判定一个数列不是等差数列,则只需找出三项an,an+1,an+2,使得这三项不满足2an+1=an+an+2即可. 主要 方法 定义法 对任意n∈N*,an+1-an是同一常数⇔{an}为等差数列. 等差中项法 2an+1=an+an+2⇔{an}为等差数列. 常用 结论 通项公式法 an=pn+q(p,q为常数)⇔{an}是等差数列. 前n项和 公式法 Sn=An2+Bn(A,B为常数)⇔{an}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义 对点训练 已知数列{an}满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n. (1)求a2,a3; 【解析】(1)由已知,得a2-2a1=4, 则a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6. 由2a3-3a2=12,得2a3=12+3a2, 所以a3=15. 已知数列{an}满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n. (2)证明:数列{}是等差数列,并求{an}的通项公式. 【解析】(2)由已知nan+1-(n+1)an=2n(n+1), 得=2, 即-=2, 所以数列{}是首项为=1,公差d=2的等差数列. 则=1+2(n-1)=2n-1,所以an=2n2-n. 【加练备选】 　　已知数列{an}满足a1=,an+1+=1.设bn=,证明{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式. 【解析】因为bn+1-bn=-=-=-=-=1, 所以数列{bn}是以1为公差的等差数列.又b1=3,所以bn=3+n-1=n+2,所以an=. 考点三等差数列的性质 考情提示 等差数列的性质作为计算、推理的工具,在高考考查等差数列知识过程中无处不在,涉及条件的转化,式子的变形,数值的运算等. 角度1　等差中项的应用与推广 [例2](1)已知数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,则a3+a4=(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】选B.因为2an=an-1+an+1(n≥2),所以是等差数列. 由等差数列的性质可得a2+a4+a6=3a4=12,a1+a3+a5=3a3=9, 所以a4=4,a3=3,所以a3+a4=3+4=7. (2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S9=18,=30(n>9),若Sn=336,则n的值为(　　) A.18 B.19 C.20 D.21 【解析】选D.因为{an}是等差数列, 所以S9=9a5=18,a5=2,Sn===×32=16n=336,解得n=21. 角度2　等差数列求和 [例3](1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于(　　) A.63 B.45 C.36 D.27 【解析】选B.由{an}是等差数列,得S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),得到S9-S6=2S6-3S3=45. (2)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则=　　　　.  【解析】因为数列,为等差数列,且前n项和分别为An和Bn, 则=,且==, 又=, 所以===, 所以==×=. 角度3　等差数列求最值 [例4](一题多法)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=13,S3=S11,当Sn最大时,n的值是(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】选C.方法一 (邻项变号法):由S3=S11,得a4+a5+…+a11=0,根据等差数列的性质,可得a7+a8=0.根据首项等于13可推知这个数列为递减数列,从而得到a7>0,a8<0,故n=7时Sn最大. 方法二 (函数法):由S3=S11,可得3a1+3d=11a1+55d,把a1=13代入,得d=-2, 故Sn=13n-n(n-1)=-n2+14n.根据二次函数的性质,知当n=7时Sn最大. 方法三 (图象法):根据a1=13,S3=S11,知这个数列的公差不等于零,且这个数列的和是先递增后递减.根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数,以及二次函数图象的对称性,可得只有当n==7时,Sn取得最大值. 解题技法 等差数列前n项和最值的求法 (1)函数法:利用等差数列前n项和的函数解析式Sn=an2+bn,通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解; (2)邻项变号法 ①当a1>0,d<0时,满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm; ②当a1<0,d>0时,满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm. 对点训练 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5=7,S10=21,则S15=(　　) A.35　 B.42　 C.49　 D.63 【解析】选B.在等差数列{an}中,S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,即7,14,S15-21成等差数列,所以7+(S15-21)=2×14,解得S15=42. 2.(2023·重庆模拟)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2 020,-=6,则S2 023=(　　) A.2 023　 B.-2 023 C.4 046　 D.-4 046 【解析】选C.因为{}为等差数列,设公差为d', 则-=6d'=6,所以d'=1, 首项为=-2 020, 所以=-2 020+(2 023-1)×1=2, 所以S2 023=2 023×2=4 046. 3.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8 时Sn取得最大值, 则d的取值范围为　　　　　　　　.  【解析】由题意,当且仅当n=8时Sn有最大值, 可得即 解得-1<d<-. (-1,-) 考点四等差数列在实际生活中的应用 [例5]“今有竹9节,下部分3节总容量4升,上部分4节总容量3升,且自下而上每节容积成等差数列,问自下而上第四节和第五节容积各是多少?”按此规律,自下而上第四节和第五节容积之和为(　　) A. B. C. D. 【解析】选A.依题意,令九节竹子从下到上的容积构成的等差数列为{an},n∈N*, n≤9,其公差为d,于是得:,即有, 解得a5=,d=-, 所以自下而上第四节和第五节容积之和为a4+a5=2a5-d=. 解题技法 等差数列实际应用的解题策略 (1)审清题意,确定是否为等差问题,依据就是相邻项之间的差是否为同一个常数; (2)对于等差问题,确定其首项、公差、项数、通项公式、前n项和,把实际问题转化为等差数列基本量的运算. 对点训练 我国二十四节气依次为:大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春,已知从冬至到夏至的日影长等量减少,若冬至、小雪、霜降三个节气的日影长之和为34.5寸,冬至到秋分七个节气的日影长之和为73.5寸,则立秋的日影长为(　　) A. 1.5寸 B. 2.5寸 C. 3.5寸 D. 4.5寸 【解析】选D.因为从冬至到夏至的日影长等量减少,所以日影长可构成等差数列,由题意可知a1+a3+a5=34.5,则3a3=34.5, 故a3=11.5,又S7=(a1+a7)=7a4=73.5, 解得a4=10.5, 所以数列的公差为d=a4-a3=-1,a1=a4-3d=10.5+3=13.5, 所以立秋的日影长为a10=a1+9d=13.5-9=4.5. 谢谢观赏！！ 5.关于等差数列奇数项和与偶数项和的结论 ①若项数为2n,则S偶-S奇=nd,=; ②若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,=. 6.两个等差数列{an},{bn}的前n项和Sn,Tn之间的关系为=. $$