求通项公式课件-2025届高三数学一轮复习

第四节　求通项公式 第七章 数列 核心考点·分类突破 核心考点·分类突破 模型一形如an+1=pan+q [例1](1)数列{an}满足an=4an-1+3(n≥2)且a1=0,则a2 025等于(　　) A.22 024-1　 B.42 024-1 C.22 024+1　 D.42 024+1 【解析】选B.因为an=4an-1+3(n≥2), 所以an+1=4(an-1+1)(n≥2), 所以{an+1}是以1为首项,4为公比的等比数列, 则an+1=4n-1. 所以an=4n-1-1,所以a2 025=42 024-1. (2)已知数列{an}的首项a1=1,且=+2,则an=　　　　　　　　.  【解析】因为=+2,等式两边同时加1整理得+1=3(+1), 又因为a1=1,所以+1=2, 所以{+1}是首项为2,公比为3的等比数列. 所以+1=2·3n-1,所以an=. 解题技法 形如an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0) 第①步:假设将递推公式改写为an+1+t=p(an+t)的形式; 第②步:由待定系数法,解得t=; 第③步:写出数列{an+}的通项公式; 第④步:写出数列{an}的通项公式. 对点训练 已知在数列{an}中,a1=1,且an+1+2an+3=0,n∈N*,数列{an}的前n项和为Sn, 则S6=　　　　　.  【解析】因为an+1=-2an-3, 所以an+1+1=-2(an+1), 因为a1+1=2≠0,所以数列{an+1}是以2为首项,-2为公比的等比数列, 所以an+1=2×(-2)n-1, 即an=2×(-2)n-1-1,Sn=[1-(-2)n]-n, 所以S6=×(1-26)-6=-48. -48 模型二形如an+1=pan+qn+c [例2]已知数列{an}满足an+1=2an-n+1(n∈N*),a1=3,则an=　　　　　.  【解析】因为an+1=2an-n+1, 设an+1+x(n+1)+y=2(an+xn+y),化简后an+1=2an+xn+y-x, 对比原式解方程组得x=-1,y=0, 即an+1-(n+1)=2(an-n), 所以=2, 即数列{an-n}是以a1-1=2为首项,2为公比的等比数列,则an-n=2·2n-1=2n, 所以an=2n+n. 2n+n 解题技法 形如an+1=pan+qn+c(p≠0,1,q≠0) 第①步:假设将递推公式改写为an+1+x(n+1)+y=p(an+xn+y)的形式; 第②步:由待定系数法,求出x,y的值; 第③步:写出数列{an+xn+y}的通项公式; 第④步:写出数列{an}的通项公式. 对点训练 已知a1=1,当n≥2时,an=an-1+2n-1,则an=　　　　　　　　　.  【解析】设an+pn+q=[an-1+p(n-1)+q], 即an=an-1-pn-p-q, 与原式比较,对应项系数相等得,解得 首项a1-4+6=3, 所以{an-4n+6}是3为首项,为公比的等比数列, 所以an-4n+6=3·()n-1,所以an=3·()n-1+4n-6. 3·()n-1+4n-6 模型三形如an+1=pan+qn [例3]在数列{an}中,a1=-1,an+1=2an+4·3n-1,则an=　　 　　　.  【解析】方法一:原递推式可化为an+1+λ·3n=2(an+λ·3n-1).① 比较系数得λ=-4,①式即是an+1-4·3n=2(an-4·3n-1). 则数列{an-4·3n-1}是首项为a1-4×31-1=-5,公比为2的等比数列, 所以an-4·3n-1=-5·2n-1, 即an=4·3n-1-5·2n-1. 4·3n-1-5·2n-1 方法二:将an+1=2an+4·3n-1的两边同除以3n+1,得=·+, 设bn=,则bn+1=bn+, 设bn+1+k=(bn+k),比较系数得k=-,则=, 所以{bn-}是以-为首项,为公比的等比数列.所以bn-=(-)·()n-1, 则bn=-·()n-1, 所以an=3n·bn=4·3n-1-5·2n-1. 解题技法 形如an+1=pan+qn(p≠0,1,q≠0,1) 第①步:在递推公式两边同除以qn+1,得=·+. 第②步:求数列{}的通项公式. (i)当p=q时,原式可以变形为=+的形式,则数列{}为等差数列; (ii)当p≠q时,原式可以变形为+λ=·(+λ)的形式,则数列{+λ}为等比数列. 第③步:写出数列{an}的通项公式. 对点训练 已知数列{an}中,a1=,an+1=an+()n+1,则an=　　　　　.  【解析】方法一:构造数列an+1+λ()n+1=[an+λ()n], 化简成原式结构,得an+1=an-λ()n+1, 由对应项系数相等得λ=-3, 设bn=an-3()n,b1=a1-3()1=-, 所以数列{bn}是以-为首项,为公比的等比数列,则bn=-)n-1, 所以an=-. - 方法二:将an+1=an+()n+1两边同乘2n+1, 得2n+1·an+1=(2n·an)+1. 令bn=2n·an,则bn+1=bn+1,又回到了模型一的方法,根据待定系数法, 得bn+1-3=(bn-3),所以数列{bn-3}是首项为b1-3=2×-3=-,公比为的等比数列,所以bn-3=-·()n-1, 即bn=3-2·()n, 所以an==-. 方法三:将an+1=an+()n+1两边分别除以()n+1, 得3n+1an+1=3nan+()n+1. 令bn=3n·an,则bn+1=bn+()n+1, 所以bn-bn-1=()n,bn-1-bn-2=()n-1,…,b2-b1=()2. 将以上各式叠加,得bn-b1=()2+…+()n-1+()n. 又b1=3a1=3×==1+, 所以bn=1++()2+…+()n-1+()n==2·()n+1-2, 所以an==-. 模型四形如an+1=pan+qan-1 [例4](1)已知数列{an}满足:a1=a2=2,an=3an-1+4an-2(n≥3),则a9+a10等于(　　) A.47　 B.48　 C.49　 D.410 【解析】选C.由题意得a1+a2=4, 由an=3an-1+4an-2(n≥3), 得an+an-1=4(an-1+an-2), 即=4(n≥3), 所以数列{an+an+1}是首项为4,公比为4的等比数列,所以a9+a10=49. (2)已知在数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),则an=　　　　　　　　　.  【解析】因为an=2an-1+3an-2(n≥3), 所以an+an-1=3(an-1+an-2), 又a1+a2=7, 所以{an+an-1}是首项为7,公比为3的等比数列, 则an+an-1=7×3n-2①,n≥2, 又an-3an-1=-(an-1-3an-2)(n≥3), a2-3a1=-13, 所以{an-3an-1}是首项为-13,公比为-1的等比数列, 则an-3an-1=(-13)·(-1)n-2②,n≥2, ×3n-1+(-1)n-1 ①×3+②得,4an=7×3n-1+13·(-1)n-1, 所以an=×3n-1+(-1)n-1,n≥2. 当n=1时,a1=5也满足上式. 则an=×3n-1+(-1)n-1. 解题技法 形如an+1=pan+qan-1 (其中p,q为常数,且pq≠0,n≥2) 第①步:假设将递推公式改写成an+1+san=t(an+san-1); 第②步:利用待定系数法,求出s,t的值; 第③步:求数列{an+1+san}的通项公式; 第④步:根据数列{an+1+san}的通项公式,求出数列{an}的通项公式. 对点训练 数列{an}中,a1=1,a2=,an+2=an+1-an,求数列{an}的通项公式. 【解析】由an+2=an+1-an, 得an+2-an+1=(an+1-an), 故{an+1-an}是以a2-a1=为首项,为公比的等比数列,即an+1-an=()n, 利用叠加法将an+1-an=()n,…,a2-a1=, 上式全部相加,利用等比数列求和得an+1-a1=2-2()n,所以an=3-2()n-1. 模型五形如an+1=型 [例5]已知在数列{an}中,a1=2,an+1=,则an=　　　　　　　　.  【解析】因为=3·+1,所以+=3(+),+=1, 所以{+}是以1为首项,3为公比的等比数列, 所以+=3n-1, 所以=3n-1-,所以an=. 解题技法 形如an+1=(其中p,q,r均不为0) 第①步:将递推公式两边取倒数得=·+; 第②步:利用模型一中的构造法,求出数列{}的通项公式; 第③步:求出数列{an}的通项公式. 对点训练 (多选题)数列{an}满足an+1=(n∈N*),a1=1,则下列结论正确的是(　　) A.=+　 B.{}是等比数列 C.(2n-1)an=1　 D.3a5a17=a49 【解析】选ABC.由an+1=, 可得==+2,所以-=2,且=1,所以数列{}是等差数列,且该数列的首项为1,公差为2,所以=1+2(n-1)=2n-1, 则(2n-1)an=1,其中n∈N*,故C对; ==22=4,所以数列{}是等比数列,故B对; 由等差中项的性质可得=+,故A对; 由上可知an=,则3a5a17=3××=,a49==, 所以3a5a17≠a49,故D错. 谢谢观赏！！ $$