等比数列课件-2025届高三数学一轮复习

必备知识·逐点夯实 第三节　等比数列 第七章 数列 核心考点·分类突破 【课标解读】 【课程标准】 1.理解等比数列的概念并掌握其通项公式与前n项和公式. 2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题. 3.体会等比数列与指数函数的关系. 【核心素养】 数学建模、数学运算、逻辑推理. 【命题说明】 考向 考法 高考命题常以等比数列为载体,考查基本量的运算、求和及性质的应用.等差数列与等比数列的综合应用是高考的热点,在各个题型中均有出现. 预测 高考会从以下两个角度来考查:(1)等比数列及其前n项和的基本运算与性质,可能与等差数列综合出题,难度中等;(2)等比数列的综合应用,可能与函数、方程、不等式结合考查. 必备知识·逐点夯实 知识梳理·归纳 1.等比数列的有关概念 定义 一般地,如果一个数列从第___项起,每一项与它的前一项的____都等于 同一个常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列 通项 公式 设{an}是首项为a1,公比为q的等比数列,则通项公式an=______. 推广:an=am(m,n∈N*) 等比 中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么___叫做a与b的 等比中项.此时,G2=___ 2 比 a1qn-1 G ab 微点拨 (1)等比数列中不含有0项; (2)同号的两个数才有等比中项,且等比中项有两个,它们互为相反数. 2.等比数列的前n项和公式 微点拨 在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误. 3.等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为an=·qn,而y=·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积,从图象上看,表示数列·qn中的各项的点是函数y=·qx的图象上孤立的点. 4.等比数列的性质 (1)对任意的正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则______=______. 特别地,若m+n=2p,则_________. (2)若等比数列前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍成等比数列(公比q≠-1). (3)数列{an}是等比数列,则数列{pan}(p≠0,p是常数)也是______数列. am·an ap·aq am·an= 等比 (4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k, an+3k,…为等比数列,公比为___. (5)等比数列{an}的单调性: 当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,数列{an}是______数列; 当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,数列{an}是______数列; 当q=1时,数列{an}是________. qk 递增 递减 常数列 常用结论 1.若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则数列{c·an}(c≠0),{|an|},{},{}, {an·bn},{}也是等比数列. 2.由an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0. 3.等比数列{an}的前n项和Sn,可以写成Sn=Aqn-A(A≠0,q≠1,0). 4.三个数成等比数列,通常设为,x,xq;四个符号相同的数成等比数列,通常设为,,xq,xq3. 基础诊断·自测 1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.(　　) 提示:(1) q不能为0; (2)三个数a,b,c成等比数列的充分不必要条件是b2=ac.(　　) 提示: (2) 当a=b=c=0时满足b2=ac,但不是等比数列; 类型 辨析 改编 易错 高考 题号 1 2 3 4 √ × (3)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=.(　　) 提示: (3)a=1时不成立; (4)如果数列{an}为正项等比数列,则数列{ln an}是等差数列.(　　) 提示: (4)an>0,设an=a1qn-1,则ln an=ln a1+(n-1)ln q是等差数列. √ × 2.(选择性必修第二册P29例1·变形式)若{an}是各项均为正数的等比数列,且a1=1,a5=16,则a6-a5=(　　) A.32 B.-48 C.16 D.-48或16 【解析】选C.由题意,q>0,则q=2,所以a6-a5=a5(q-1)=16. 3.(忽视前n项和的条件致误)等比数列{an}中,a3=6,前三项和S3=18,则公比q的值为(　　) A.1 B.- C.1或- D.-1或- 【解析】选C.因为S3=18,a3=6,所以a1+a2=(1+q)=12,故2q2-q-1=0,解得q=1或q=-. 4.(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6=(　　) A.14　 B.12　 C.6　 D.3 【解析】选D.设等比数列{an}的首项为a1,公比为q, 由题意可得即 解得所以a6=a1q5=3. 核心考点·分类突破 考点一等比数列基本量的运算 1.正项等比数列{an}的前n项和为Sn.若a3=,S3=7,则a5=(　　) A.8　 B.16　 C.27　 D.81 【解析】选B.设正项等比数列{an}的公比为q(q>0).由a3=,可得a3=q2, 所以a2=q,a1=1, 所以S3=a1+a2+a3=1+q+q2=7, 解得q=2(q=-3舍去), 所以a5=a1q4=1×24=16. 2.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若8a1=2S3-3a2,S2=a3-2,则S8=(　　) A.510　 B.511　 C.1 022　 D.1 023 【解析】选A.设正项等比数列{an}的公比为q(q>0),则由2S3=3a2+8a1得2a1+2a2+2a3=3a2+8a1, 即6a1+a2-2a3=0,即a1(6+q-2q2)=0,又a1≠0,所以6+q-2q2=0, 解得q=2或q=-(舍去). 由S2=a3-2得a1=2,所以S8==29-2=510. 3.(多选题)(2024·成都调研)已知等比数列{an}的各项均为正数,且3a1,a3,2a2成等差数列,则下列说法正确的是(　　) A.a1>0　 B.q>0 C.=3或-1　 D.=9 【解析】选ABD.设等比数列{an}的公比为q, 由题意得2(a3)=3a1+2a2,即a1q2=3a1+2a1q. 因为数列{an}的各项均为正数,所以a1>0,且q>0,故A,B正确; 由q2-2q-3=0,解得q=3或q=-1(舍去), 所以=q=3,=q2=9,故C错误,D正确. 4.在等比数列{an}中,若a4-a2=6,a5-a1=15,则a3=　　　　　.  【解析】设等比数列{an}的公比为q(q≠0且q≠±1),则两式相除,得=,即2q2-5q+2=0,解得q=2或q=. 所以或故a3=4或a3=-4. 4或-4 5.设Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=,=a6,则S5=　　　　　.  【解析】由=a6得(a1q3)2=a1q5,整理得q==3. 所以S5===. 6.已知数列{an}为等比数列,a1=3,3a1,2a2,a3成等差数列,则数列{an}的前n项和 Sn=　　　　 　.  【解析】设数列{an}的公比为q,由题意知4a2=3a1+a3,即4q=3+q2,解得q=1或q=3, 当q=1时,Sn=3n; 当q=3时,Sn=·3n+1-. 3n或·3n+1- 解题技法 解决等比数列有关问题的两种常用思想 (1)方程思想:等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解. (2)分类讨论思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn==. 考点二等比数列的判定与证明 [例1](1)设n∈N*,则“数列{an}为等比数列”是“数列为等比数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.充分性:若数列为等比数列,公比为q,所以数列为公比为的等比数列,充分性成立;必要性:若数列为等比数列,公比为q,则=±,所以数列不是等比数列,必要性不成立. (2)已知数列{an}中,a1=1且2an+1=6an+2n-1(n∈N*), ①求证:数列为等比数列; 【解析】①因为2an+1=6an+2n-1(n∈N*), 所以an+1=3an+n-, 所以===3,因为a1+=1+=, 所以数列是首项为,公比为3的等比数列. (2)已知数列{an}中,a1=1且2an+1=6an+2n-1(n∈N*), ②求数列{an}的通项公式. 【解析】②由①得,an+=×3n-1=×3n, 所以an=×3n-. 解题技法 等比数列的判定方法 定义法 若=q(q为非零常数,n∈N*)或=q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),则{an}是等比数列 等比中项法 若数列{an}中,an≠0且=an·(n∈N*),则{an}是等比数列 对点训练 数列{an}中,a1=2,an+1=an(n∈N*). 证明:数列{}是等比数列,并求数列{an}的通项公式. 【解析】由题设得=·, 又=2, 所以数列{}是首项为2,公比为的等比数列, 所以=2×()n-1=22-n,an=n·22-n=. 【加练备选】 　　成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{bn}中的b3,b4,b5. (1)求数列{bn}的通项公式; 【解析】(1)设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d, 依题意,得a-d+a+a+d=15,解得a=5. 所以数列中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d. 依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-13(舍去), 故数列的第3项为5,公比为2. 由b3=b1·22,即5=b1·22,解得b1=. 所以数列是以为首项,以2为公比的等比数列,其通项公式为bn=·2n-1=5·2n-3. 　　成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{bn}中的b3,b4,b5. (2)数列{bn}的前n项和为Sn,求证:数列{Sn+}是等比数列. 【解析】(2)数列的前n项和Sn==5·2n-2-,即Sn+=5·2n-2, 所以S1+=,==2. 因此{Sn+}是以为首项,以2为公比的等比数列. 考点三等比数列性质的应用 考情提示 等比数列的性质作为解决等比数列问题的工具,因其考查数列知识较全面而成为高考命题的热点,重点解决基本量运算、条件转化等. 角度1　等比数列项的性质 [例2](1)已知等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=16,则log2a1+log2a2+… +log2a10=(　　) A.20　 B.15 C.8　 D.3+log25 【解析】选B.因为{an}是等比数列,所以a5a6=a4a7,故a5a6+a4a7=2a5a6=16,解得a5a6=8, 所以log2a1+log2a2+…+log2a10=log2(a1a2·…·a10)=log2=5log2(a5a6) =5log28=15. (2)已知各项均为正数的等比数列的前n项和为Sn,a2a4=9,9S4=10S2,则a2+a4的值为(　　) A.30 B.10 C.9 D.6 【解析】选B.已知为各项均为正数的等比数列,则an>0,可得a1>0,q>0, 因为=a2a4=9, 所以a3=3, 又因为9S4=10S2,则9(a1+a2+a3+a4)=10(a1+a2), 可得9(a3+a4)=a1+a2, 所以=q2=,解得q=, 故a2+a4=+a3q=10. 角度2　等比数列前n项和的性质 [例3](1)(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6=(　　) A.7　 B.8　 C.9　 D.10 【解析】选A.方法一:设数列{an}的公比为q,因为S2=4,S4=6,则易知公比q≠±1,所以由等比数列的前n项和公式, 得两式相除,得q2=,所以 或所以S6==7. 方法二:易知S2,S4-S2,S6-S4构成等比数列, 由等比中项的性质得S2(S6-S4)=(S4-S2)2, 即4(S6-6)=22,所以S6=7. (2)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且S8-2S4=5,则a9+a10+a11+a12的最小值为(　　) A.10 B.15 C.20 D.25 【解析】选C.由题意可得a9+a10+a11+a12=S12-S8, 由S8-2S4=5,可得S8-S4=S4+5. 又由等比数列的性质知S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,则S4(S12-S8)=(S8-S4)2. 于是a9+a10+a11+a12=S12-S8==S4++10≥2+10=20, 当且仅当S4=5时等号成立. 所以a9+a10+a11+a12的最小值为20. 角度3　等比数列的单调性及最值 [例4](1)已知{an}是等比数列,a1>0,前n项和为Sn,则“2S8<S7+S9”是“{an}为递增数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选B.因为数列是等比数列,a1>0,2S8<S7+S9, 所以a8<a9,所以q7<q8,所以q7(q-1)>0,所以q<0或q>1, 所以2S8<S7+S9的充要条件为q<0或q>1. 又a1>0,数列为递增数列的充要条件为q>1, 所以“2S8<S7+S9”是“为递增数列”的必要不充分条件. (2)(多选题)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并满足条件a1>1,a2 023a2 024>1,<0,下列结论正确的是(　　) A.S2 023<S2 024 B.a2 023a2 025-1<0 C.T2 024是数列{Tn}中的最大值 D.数列{Tn}无最大值 【解析】选AB.当q<0时,a2 023a2 024=q<0,不成立; 当q≥1时,a2 023>1,a2 024>1,>0,不成立; 故0<q<1,且a2 023>1,0<a2 024<1时,故S2 024>S2 023,A正确; a2 023a2 025-1=-1<0,故B正确; T2 023是数列{Tn}中的最大值,C,D错误. 解题技法 1.应用等比数列性质的两个关注点 (1)转化意识:在等比数列中,两项之积可转化为另外两项之积或某项的平方,这是最常用的性质. (2)化归意识:把非等比数列问题转化为等比数列问题解决,例如有关Sm,S2m,S3m的问题可利用Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(Sm≠0)成等比数列求解. 2.等比数列的单调性的应用方法 研究等比数列的单调性问题,要综合考虑首项的符号以及公比的取值范围,而涉及等比数列有关的单调性的充分必要条件问题,既要考虑数列的单调性也要善于举反例说明. 对点训练 1.在等比数列{an}中,a1,a17是方程x2-14x+9=0的两根,则的值为(　　) A.　 B.3　 C.±　 D.±3 【解析】选B.因为a1,a17是方程x2-14x+9=0的两根,所以a1a17=9,a1+a17=14,所以a1>0,a17>0.又数列{an}为等比数列,所以a1a17=a2a16==9,且a9>0,所以a9=3,因此=a9=3. 2 谢谢观赏！！ 2.已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=　　　　　.  【解析】由题意,得 解得 所以q===2. $$