山东省济南市2023-2024学年高一下学期7月期末学习质量检测数学试题

2024年7月济南市高一期末学习质量检测 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为虚数单位，则复数的虚部是 A． B． C． D． 2．从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球，下列各组事件中，是互斥事件的是 A．“至少一个白球”与“至少一个黄球” B．“恰有一个白球”与“恰有两个白球” C．“至多一个白球”与“至多一个黄球” D．“至少一个黄球”与“都是黄球” 3．在中，记，，若，则 A． B． C． D． 4．若正三棱台上底面边长为，下底面边长为，高为，则该棱台的体积为 A． B．2 C． D． 5．如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是 A．众数平均数中位数 B．众数中位数平均数 C．众数平均数中位数 D．中位数平均数众数 6．已知两条不同的直线，和两个不同的平面，，则下列结论正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则与平行或异面 7．某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题.回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做.若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为 A．0.035 B．0.07 C．0.105 D．0.14 8．如图，设，是平面内夹角为的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序数对叫做点在坐标系中的坐标.在该坐标系下，，，为不共线的三点，下列结论错误的是 A．线段中点的坐标为 B．重心的坐标为 C．，两点的距离为 D．若，则，，三点共线 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知为虚数单位，复数，，则下列结论正确的是 A．所对应的点在第一象限 B．所对应的点在第二象限 C． D． 10．已知有限集为随机试验的样本空间，事件，为的子集，则事件，相互独立的充分条件可以是 A． B． C． D． 11．如图所示，三棱锥中，，其余棱长均为.为棱的中点，将三棱锥绕旋转，使得点，分别到达点，，且.下列结论正确的是 A．平面 B． C．直线与所成的角为 D．点，，，，，在同一个直径为的球面上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人各射击一次，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7.若甲、乙两人是否中靶互不影响，则甲、乙至少有一人中靶的概率为  . 13．已知，，分别为内角，，的对边，且，，则使得有两组解的的值可以是  （写出满足条件的一个值即可）. 14．在平行六面体中，底面是边长为2的菱形，，，且平面，均与底面垂直.点在侧面上运动，若，则点的轨迹长为  . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 某学校组织“泉城知识答题竞赛”，满分100分，共有100人参赛，其成绩均落在区间内，将成绩数据分成，，，，5组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求的值并估计参赛学生成绩的分位数； （2）从成绩低于70分的学生中，用按比例分配的分层抽样抽取6人.从这6人中任选2人，求此2人分数都在的概率. 16．（本小题满分15分） 已知内角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求； （2）若，，求的周长. 17．（本小题满分15分） 如图1，在菱形中，是边长为2的等边三角形，将沿对角线翻折至的位置，得到图2所示的三棱锥. （1）证明：； （2）若二面角的平面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 18．（本小题满分17分） 如图，内角，，的对边分别为，，，为边上一点，且，. （1）已知. （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求的面积； （2）求的最小值. 19．（本小题满分17分） 给定三棱锥，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，称为的阶等距集. （1）若为三棱锥，满足，，求出的1阶等距平面截该三棱锥所得到的截面面积（求出其中的一个即可）； （2）如图所示，是棱长为的正四面体. （ⅰ）若为的1阶等距平面且1阶等距集为，求的所有可能取值以及相对应的的个数； （ⅱ）已知是的4阶等距平面，点与点，，分别位于两侧.是否存在，使的4阶等距集为，其中点到的距离为？若存在，求出截所得的平面多边形的最大边长；若不存在，说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$绝密★启用并使用完毕前 2024年7月济南市高一期末学习质量检测 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷 上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知1为虚数单位，则复数x=是 的虚部是 A-司 B c- D 2.从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球，下列各组事件中，是互斥事件的是 A.“至少一个白球”与“至少一个黄球” B.“恰有一个白球”与“恰有两个白球” C.“至多一个白球”与“至多一个黄球” D.“至少一个黄球”与“都是黄球” 3.在△ABC中，记A店=m,AC=n,若BC=3DC,则AD= Am+号 号m+3 D号m-3 4.若正三棱台上底面边长为巨，下底面边长为22，高为2,3 ,则该棱台的体积为 3 A号 B.2 c D号 5.如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是 A.众数=平均数=中位数 B.众数<中位数<平均数 C.众数<平均数<中位数 D.中位数<平均数<众数 高一数学试题第1页·（共4页） 6.已知两条不同的直线m,n和两个不同的平面a,3,则下列结论正确的是 A.若m∥a,nCa,则m∥n B.若m⊥a,m⊥n,则n∥a C.若mCa,nCa,m∥B,n∥B,则a∥B D.若a∥B,mCa,nCB,则m与n平行或异面 7.某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调 查.为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调 查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰 子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二 个问题.回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做.若最终盒 子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为 A.0.035 B.0.07 C.0.105 D.0.14 8.如图，设0x,0是平面内夹角为0（日≠？）的两条数轴，e1:分别是与x轴、y轴正方向同 向的单位向量.若向量OA-xe1十ye2,则有序数对(z,y)叫做点A在坐标系Ozy中的坐标。 在该坐标系下，A(x1,y1),B(x2y2),C(x3y3)为不共线的三点，下列结论错误的是 A.线段AB中点的坐标为21十，十) 2 2 B.△ABC重心的坐标为21十x十，十，+y) 3 3 C.A,B两点的距离为√(x1-x2)+(y1-y) D.若x1y2=x2y1,则O,A,B三点共线 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知i为虚数单位，复数1=2i,z2=1十i,则下列结论正确的是 A.之1十之2所对应的点在第一象限 B.之1之2所对应的点在第二象限 C.x=|1|4 D.x2=|x2! 10.已知有限集2为随机试验E的样本空间，事件A,B为2的子集，则事件A,B相互独立的 充分条件可以是 A.ACB B.A=⑦ C.P(AB)=P(A)P(B) D.P(AB)+P(A)P(B)=P(B) 11.如图所示，三棱锥A-BCD中，AC=2,其余棱长均为√2.E为棱AC的中点，将三棱锥 C-BED绕DB旋转，使得点C,E分别到达点C,E',且C'E'∥AE,下列结论正确的是 A.AC'∥平面BED B.EE'⊥C'D C直线CB与EE'所成的角为等 D.点A,E,B,D,C,E'在同一个直径为√3的球面上 高一数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人各射击一次，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概 率为0.7.若甲、乙两人是否中靶互不影响，则甲、乙至少有一人中靶的概率为 13.已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边，且a=2,A=G,则使得△ABC有两组解 的b的值可以是 (写出满足条件的一个值即可) 14.在平行六面体ABCD-A,B,C:D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD= 3 AA,=3,且平面ADD1A1,ABB1A:均与底面ABCD垂直.点P在侧面BCC1B1上运动， 若D1P=√7，则点P的轨迹长为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 某学校组织“泉城知识答题竞赛”，满分100分，共有100人参赛，其成绩均落在区间 [50,100]内，将成绩数据分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]5组，制成如图 所示的频率分布直方图. 「频率 (1)求a的值并估计参赛学生成绩的70%分位数； 组距 0.035 (2)从成绩低于70分的学生中，用按比例分配的分层抽样抽 8脱 取6人.从这6人中任选2人，求此2人分数都在[60,70)的 概率。 65060708090100成绩 16.（本小题满分15分) 已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足bcosC+ccosB=2 acosA, (1)求A; (2)若a=2W3,sinC=2sinB,求△ABC的周长. 17.(本小题满分15分) 如图1，在菱形ABCD中，△ABD是边长为2的等边三角形，将△ABD沿对角线BD翻 折至△PBD的位置，得到图2所示的三棱锥P-BCD, (1)证明：BD⊥PC; (2)若二面角P-BD-C的平面角为60°，求直线PB与平面BCD所成角的正弦值， 图 图2 高一数学试题第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 如图，△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,D为边BC上一点，且AD⊥AC, ∠ACB=∠BAD. (1)已知sin∠ACB=5 0求品的值： (i)若BD=√5，求△ABC的面积； 8凉告 的最小值。 19.(本小题满分17分) 给定三棱锥2，设Ω的四个顶点到平面a的距离所构成的集合为M,若M中元素的个数 为k,则称a为n的k阶等距平面，称M为n的k阶等距集. (1)若2为三棱锥A-BCD,满足AB=CD=AD=BC=4,AC=BD=2,求出Q的1阶 等距平面截该三棱锥所得到的截面面积（求出其中的一个即可）： (2)如图所示，2是棱长为√2的正四面体ABCD. (i)若&为2的1阶等距平面且1阶等距集为{a},求a的所有可能取值以及相对应 的a的个数； (i)已知B是2的4阶等距平面，点A与点B,C,D分别位于B两侧.是否存在B,使 的4阶等距集为{b,2b,3b,4b},其中点A到B的距离为b？若存在，求出B截Ω所得的平 面多边形的最大边长；若不存在，说明理由， 高一数学试题第4页（共4页）高一年级期末质量检测 数学试题参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 6 7 8 答案 D B B D B C 二、多项选择题：本题共3小题， 每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BC BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.0.94:13.3(区间(2,4内的任意实数均可)：14.2红 四、解答题：共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】 (1)由题意可知a=-×(0.1-0.02-0.025-0.035)=0.01. 设参赛学生成绩的70%分位数为x, 则0.1+0.2+0.35+(x-80)×0.025=0.7, 所以x=82. (2)成绩低于刀分的学生中，50,60中的人数与60，网)中的人数的比值为} 从中用按比例分配的分层抽样抽取6人， 则[50,60)与[60,70)中分别抽取2人和4人， 记[50,60)中的两人为A,4,[60,70)中的4人为B,B2,B,B4, 从上述6人中任选2人， 样本空间2={(A,A),(4,B),(A,B),(A,B),(4,B),(A,B),(A,B), (A,B),(A,B),(B,B2),(B,B),(B,B),(B2,B),(B2,B)(B,B)}, 共包含15个样本点. -1- 设事件A=“2人分数都在[60,70)”， 则A={(B,B),(B,B)(B,B)(B2,B)(B2,B)(B,B)},包含6个样本点. 所以P(A)=M=62 n(2)155’ 故从6人中任选2人，此2人分数都在[60,70)的概率为 16.【解析】 (1)由bcosC+ccosB=2 acos A得： sin BcosC+sin Ccos B=2sin Acos A, 所以sin(B+C)=2 sin AcosA, 即sinA=2 sin AcosA. 因为sinA≠0，所以cosA=。 2 又Ae(0,x),所以A= 3 (2)因为sinC=2sinB,所以c=2b: 又因为a=2√5，所以b2+c2-bc=12, c=2b 由 b2+c2-bc=12'得b=2,c=4, 所以△ABC的周长为6+2√5. 17.【解析】 (1)在图2中，取BD中点为O,连接PO,CO, 由ABCD为菱形可知，PO⊥BD,CO⊥BD. 又因为PO∩CO=O,所以BD⊥平面POC, 因为PCc平面POC,所以BD⊥PC. (2)过P作PH⊥OC于点H,连接BH, 由(I)BD⊥平面POC,PHC平面POC,得BD⊥PH. 因为PH⊥OC,BD∩OC=O,所以PH⊥平面BDC, 所以∠PBH为直线PB与平面BCD所成的角. 由(I)知，PO⊥BD,CO⊥BD, .2- 则∠POC为二面角P-BD-C的平面角，所以∠POC=60°. 在△P0H中，P0=5,∠P0C=0,得PH- 又PB=2,所以sin∠PBH=PH_3 PB=4 所以直线PB与平面BCD所成角的正弦值为？ 18.【解析】 b:AD-sin∠DAC (1)(i) CD_S△m= BD SAABD =55sim8 2 AD.sin.∠DAB sinC' 注意到A=2+C,A+B+C=元 故B=π-A-C=-2C.故sinB=cos2C, 2 CD5in5 c0sC-51-2sinC-3. BD sinC sinC sinC (i)由(i)知，CD=3BD=3V5, AD=CD-sinC-3,AC=CD-AD=6,Sc=4DAC-9. 由2-CD=3,得Sm=3. SARD BD 故Sac=SAMp+SABD=l2. (2sinBsinCc C+sin'C2coC-)C a sin2A sin'(+C) cos2C 令1=cos2Ce5川， 8+c2.2u-P-1+1_4+2-51=4+2-5≥45-5， 2 当且仅当1=时，等号成立。 2 效62±三的最小值为4√一5 19.【解析】 (1)情形一：分别取AB,AC,AD的中点D,E,F, 由中位线性质可知DE=EF=2,DF=1, 此时平面DEF为2的一个1阶等距平面， .3- 则所求截面面积为等腰三角形△DF的面积，等于 4 情形二：分别取AB,BC,CD,DA的中点R,g,R,S, 由中位线性质可知P2=QR=RS,=S,R=1, 此时平面2RS,为2的一个1阶等距平面， 取BD中点O,连接AO,CO, 由AO⊥BD,CO⊥BD可知直线BD⊥平面ACO,则BD⊥AC, 则∠PQR=90，,故四边形P2RS,是边长为1的正方形， 则所求截面面积为正方形PQRS,的面积，等于1. 情形三：分别取AB,AC,CD,DB的中点B,Q,R,S2, 由中位线性质可知B22=9R2=RS2=S,B=2, 此时平面？QR2S2为Q的一个1阶等距平面. 设CI=x,D=y,IA=, 则x2+2=4,x2+y2=16,y2+2=16, 三式相加可得x2+y2+2=18,故y=√4. 则2，S,=y=4. 在等腰三角形△B0S,中，PBQ=B,S=2,Q,S,=4, 则等腰三角形△Q,S的面积为 则所求截面面积为菱形PQ2RS2的面积， 等于等腰三角形△PQS,的面积的两倍，为√万， 所以本题答案可以为1，厅中的任意一个 (2)(i)情形一：分别取AB,AC,AD的中点D,E,F, 由中位线性质可知DB=EF= 2 此时平面DEF为2的一个1阶等距平面， .4- b为正四面体高的一半， 于s 3 由于正四面体有4个面，这样的1阶等距平面α平行于其中一个 面，有4种情况： 情形二：分别取AB,AC,CD,DB的中点P,Q,R,S 将此正四面体放置到棱长为1的正方体中， 则口为正方体棱长的一半，等于分 由于正四面体的六条棱中有3组对棱互为异面直线， 这样的1阶等距平面α平行于其中一组异面直线，有3种情况， 综上，当a的值为5时，《有4个：当a的值为时，e有3个 ()存在，B被Q所得的平面多边形的最大边长为√西 12 在线段AB,AC,AD上分别取一点D,E,F， 使得AD:DB=1:2,AE:EC=1:3.AF:FD=1:4, 则平面DEF为满足题意的2的4阶等距平面， 3 4 又∠DAE=∠EAF=∠FAD=60', 由余弦定理可得DE 图-99 阁-9号好 20 因为匣， 26,38 1220 1215 故B截Q所得的平面多边形的最大边长为2西 12 -5-