平面向量的基本定理及坐标表示课件-2025届高三数学一轮复习

必备知识·逐点夯实 第二节　平面向量的基本定理及坐标表示 第六章　平面向量、复数 核心考点·分类突破 【课标解读】 【课程标准】 1.理解平面向量基本定理及其意义. 2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 4.能用坐标表示平面向量共线的条件. 【核心素养】 数学抽象、数学运算、逻辑推理. 【命题说明】 考向 考法 高考在本节以考查基础题为主,考查内容一般为平面向量基本定理与坐标运算,常以选择题或填空题的形式出现. 预测 平面向量基本定理及其应用及坐标表示和运算仍是考查的热点,题型仍将是选择题或填空题. 必备知识·逐点夯实 知识梳理·归纳 1.平面向量基本定理 微点拨 基底{e1,e2}必须是同一平面内的两个不共线向量,零向量不能作为基底.若基底给定,则同一向量的分解形式唯一. 条件 e1,e2是同一平面内的两个____________ 结论 对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a= _________ 基底 若e1,e2不共线,把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 不共线向量 λ1e1+λ2e2 2.平面向量的坐标运算 (1)平面向量的加法、减法、数乘及向量的模 设a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则a+b=_____________,a-b= ___________ ,λa=_________,|a|=__________. (2)两点间的向量坐标公式 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则= ____________,||=__________________. (3)单位向量 a=(x,y),同向单位向量为_____________,反向单位向量为__________________. (x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) (λx1,λy1) (x2-x1,y2-y1) 3.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔a=λb(λ∈R)⇔_________. 微点拨 只有x2y2≠0时,a∥b才与=等价. 常用结论 1.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则点P的坐标为(,); 已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标为 (,). 2.如果对于一个基底,有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,那么可以得到λ1=μ1,λ2=μ2. 特别地,若λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0. x1y2=x2y1 基础诊断·自测 1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在△ABC中,{,}可以作为基底.(　 　) (2)平面向量无论经过怎样的平移变换其坐标都不变.(　 　) (3)设a,b是平面内的一组基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b, 则λ1=λ2,μ1=μ2.(　 　) (4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可以表示成=.(　 　) 提示:(4)若b=(0,0),则=无意义. 类型 辨析 改编 易错 高考 题号 1 2 4 3 √ √ √ × 2.(必修第二册P31例7·变条件)已知a=(4,2),b=(3,y),且a∥b,则y的值为(　　) A.　 B.　 C.6　 D. 【解析】选B.因为a∥b,所以4y=2×3,所以y=. 3.(2023·上海高考)已知向量a=(3,4),b=(1,2),则a-2b=　　　　　　.  【解析】因为向量a=(3,4),b=(1,2),所以a-2b=(3-2×1,4-2×2)=(1,0). (1,0) 4.(忽视共线包括两种情况致误)已知A(-3,4)与B(-1,2),点P在直线AB上, 且||=2||,则点P的坐标为　　　　 　.  【解析】由点P在直线AB上,且||=2||,可得=2或=-2.当=2 时,设P(a,b),则(a+3,b-4)=2(-1-a,2-b),解得a=-,b=,此时点P的坐标为(-,). 当=-2时,设P(m,n),则(m+3,n-4)=-2(-1-m,2-n),解得m=1,n=0, 此时点P的坐标为(1,0). 综上,点P的坐标为(-,)或(1,0). (-,)或(1,0) 核心考点·分类突破 考点一平面向量基本定理及其应用 [例1](1)(多选题)如图,正方形ABCD中,E为AB中点,M为线段AD上的动点,若=λ+μ,则λ+μ的值可以是(　　) A.　 B.　 C.1　 D.2 【解析】选ACD.因为M在线段AD上,设=k, 其中0≤k≤1,则-=k(-),所以=(1-k)+k, 因为E为BA的中点,则=2,所以=2(1-k)+k, 又因为=λ+μ,且,不共线,则, 所以,λ+μ=2(1-k)+k=2-k∈. (2)如图,以向量=a,=b为邻边作平行四边形OADB,=,=, 则=　　　　.(用a,b表示)  【解析】因为=-=a-b,==a-b, 所以=+=b+(a-b)=a+b. 因为=a+b,所以=+=+==a+b, 所以=-=a+b-a-b=a-b. a-b 解题技法 应用平面向量基本定理的关键 (1)合理选择基底,注意基底必须是两个不共线的向量. (2)选定基底后,通过构造平行四边形(或三角形),利用向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用基底表示出来. (3)注意几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量,常借助图形的几何性质,如平行、相似等. 提醒:同一个向量在不同基底下的分解是不同的,但在每个基底下的分解都是唯一的. 对点训练 1.(多选题)如图,在△ABC中,=,E是线段BC上的点,且满足=2,线段CD与线段AE交于点F,则下列结论正确的是(　　) A.=+　 B.3DF=2CF C.=+　 D.4=3 【解析】选ACD.由题意,=+=+=+(-)=+,故选项A正确; 由与共线,可得=λ=λ(+)=+, 由C,F,D三点共线,得=t+(1-t)=+(1-t), 由平面向量基本定理,可得,解得, 所以=+,=,4=3,故选项C,D正确; 由C,F,D三点共线,得=k,即-=k(-), 化简为(1-k)=-k, 由选项C可得,(1-k) (+)=-, 由平面向量基本定理得,,解得k=-1, 所以=-,即DF=CF,故选项B错误. 2.(2023·北京模拟)已知三角形ABC中,D为BC的中点,E为AB上一点, 若=λ+3λ(0<λ<1),那么=　　　　　　.  【解析】设=μ(0≤μ≤1),因为D为BC的中点, 所以=(+),所以=-=(+)-μ=(-μ)+. 因为=λ+3λ(0<λ<1),所以,解得, 所以=,所以=,所以=. 【加练备选】 1.(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是(　　) A.若=+,则点M是边BC的中点 B.若=2-,则点M是边BC的三等分点 C.若=--,则点M是△ABC的重心 D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的 【解析】选ACD.对于A中,根据向量的平行四边形法则, 若=+=(+), 则点M是边BC的中点,所以A正确; 对于B中,由=2-,则-=-,即=, 则B为CM的中点,所以B错误; 对于C中,如图所示,由=--,可得++=0, 取BC的中点D,可得=-2,则点M为△ABC的重心,所以C正确; 对于D中,由=x+y,且x+y=, 所以3=3x+3y,且3x+3y=1, 设=3,可得=3x+3y,且3x+3y=1,所以N,B,C三点共线, 因为=3,所以M为AN的一个三等分点(靠近A),如图所示, 所以S△MBC=S△ABC,则△MBC的面积是△ABC面积的,所以D正确. 2.(多选题)(2023·景德镇模拟)在平行四边形ABCD中,点E为边CD的中点,点F为边BC上靠近点B的三等分点,连接AF,BE交于点M,连接AC,点N为AC上靠近点C的三等分点,记=a,=b,则下列说法正确的是(　　) A.点M,N,E三点共线 B.若=λa+μb,则λ+μ= C.= D.S△ABM=S,S为平行四边形ABCD的面积 【解析】选ACD.如图所示: 平行四边形ABCD中, 因为点N为AC上靠近点C的三等分点, 所以==+,=+, 所以=-=-, 设=m=m(-)=3m,m≠0, 所以∥,又有公共点E, 所以点M,N,E三点共线,故A选项正确; 设=c,=-=-m(-)-c=(-m-c)+(m-c)=+, 故⇒, 所以==+,λ+μ=,故B选项错误; =-=-+, 因为=,所以==-+,故=,C选项正确; 因为=,所以S△ABM=S△ABF=S△ABC=S,故D选项正确. 考点二平面向量的坐标运算 [例2](1)已知a=(5,-2),b=(-4,-3),若a-2b+3c=0,则c=(　　) A. (,)　 B. (-,-) C. (,)　 D. (-,-) 【解析】选D.因为a-2b+3c=0, 所以c=-(a-2b)=-(5+4×2,-2+2×3)= (-,-). (2)已知向量a,b满足2a-b=(0,3),a-2b=(-3,0),λa+μb=(-1,1),则λ+μ=(　　) A.-1　 B.0　 C.1　 D.25 【解析】选B.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),又2a-b=(0,3),a-2b=(-3,0), 所以,且, 解得,,即a=(1,2),b=(2,1), 所以λa+μb=λ(1,2)+μ(2,1)=(λ+2μ,2λ+μ)=(-1,1), 则,解得,故λ+μ=0. (3)如图,已知平行四边形ABCD的三个顶点B,C,D的坐标分别是(-1,3),(3,4),(2,2), 则向量=　　　　;顶点A的坐标为　　　　.  【解析】因为四边形ABCD是平行四边形, 且顶点B,C的坐标分别是(-1,3),(3,4), 所以=(3,4)-(-1,3)=(4,1); 设A(x,y),又D(2,2),所以=(2-x,2-y), 又=,所以(2-x,2-y)=(4,1), 即,解得,所以顶点A的坐标为(-2,1). (4,1) (-2,1) 解题技法 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标. (2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解. 对点训练 1.已知点A(-1,2),B(3,1),向量=(2,1),则向量=(　　) A.(-2,2)　 B.(-1,0) C.(3,-1)　 D.(4,-1) 【解析】选A.设C(x,y),则=(x,y)-(-1,2)=(2,1), 故,解得,所以C(1,3). 又因为B(3,1),所以=(1,3)-(3,1)=(-2,2). 2.已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,用基底{a,b}表示c,则(　　) A.c=2a-3b B.c=-2a-3b C.c=-3a+2b D.c=3a-2b 【解析】选D.如图建立平面直角坐标系,设正方形网格的边长为1, 则A(1,0),B(2,1),C(0,4),D(7,1),所以a=(1,1),b=(-2,3),c=(7,-3), 设向量c=ma+nb,则c=ma+nb=(m-2n,m+3n)=(7,-3), 则,解得,所以c=3a-2b. 考点三 平面向量共线的坐标表示 考情提示 向量共线的坐标表示在向量部分是一个非常重要的知识点,它为解决向量共线或三点共线问题提供了一种便捷的方法.可单独考查,也常与数量积、三角函数等结合考查. 角度1　利用向量共线求向量或点的坐标 [例3](1)已知点A(1,2),B(-2,6),则与向量方向相反的单位向量为(　　) A. (-,)　 B. (,-) C. (-,)　 D. (,-) 【解析】选B.由点A(1,2),B(-2,6),可得=(-3,4),则=5, 所以与向量方向相反的单位向量为-=-×(-3,4)= (,-). (2)已知两点A(3,-4),B(-9,2),点P在直线AB上,且=,则点P的坐标为　　　　　.  【解析】由题知A(3,-4),B(-9,2),可得=(-12,6), 设P(x,y),因为=(x-3,y+4), =,所以(x-3,y+4)=(-6,3),得,解得, 所以点P的坐标为(-3,-1). (-3,-1) 角度2　利用向量共线求参数 [例4](1)已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三点共线, 则k=　　　　　.  【解析】=-=(4-k,-7), =-=(-2k,-2). 因为A,B,C三点共线,所以,共线, 所以-2×(4-k)=-7×(-2k),解得k=-. - (2)(一题多法)已知向量a=(1,-2),b=(3,4),若(3a-b)∥(a+kb),则k=　　　　　.  【解析】方法一:3a-b=(3,-6)-(3,4)=(0,-10),a+kb=(1+3k,-2+4k), 因为(3a-b)∥(a+kb),所以0+10(1+3k)=0,解得k=-. 方法二:因为1×4≠(-2)×3, 所以a与b不平行,由(3a-b)∥(a+kb)得=,解得k=-. - 解题技法 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1)利用两向量共线求参数时,如果已知两向量共线,求某些参数的取值,则利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1”解题. (2)利用两向量共线的条件求向量坐标,一般地,求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量. 对点训练 1.已知向量a=(2,2),b=(1,x),若b∥(a+2b),则=(　　) A.　 B.2　 C.2　 D.4 【解析】选A.a+2b=(4,2+2x),则1×(2x+2)=4×x, 得x=1,b=(1,1),=. 2.已知两个非零向量a与b不共线. (1)若ka+b与a+kb平行,求实数k的值; 【解析】(1)因为ka+b与a+kb平行,且a与b不共线, 所以ka+b=λ(a+kb)=λa+λkb,所以,解得k=±1. (2)若a=(1,3),b=(x,1),c=a+2b且=5,求x. 【解析】(2)因为c=a+2b=(1,3)+2(x,1)=(1+2x,5), 所以==5,解得x=2或-3. 经检验,均满足a与b不共线,故x=2或-3. 常用结论 1.经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)= (x-x1)(y2-y1)表示; 2.识记几种特殊位置的直线方程 (1)x轴:y=0; (2)y轴:x=0; (3)平行于x轴的直线:y=b(b≠0); (4)平行于y轴的直线:x=a(a≠0); (5)过原点的直线:y=kx或x=0. 谢谢观赏！！ $$