第10讲：直线的交点坐标与距离公式（7大题型）-2024-2025学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第10讲 直线的交点坐标与距离公式 【考点归纳】 考点一、求相交直线的交点坐标或者参数问题 考点二、两点间的距离问题 考点三、点到直线的距离或参数问题 考点四：求点关于直线对称问题 考点五：求直线关于直线对称问题 考点六、两平行线间的距离 考点七：直线关于点、直线对称问题 考点八、距离的综合应用 【知识梳理】 知识点一　两条直线的交点 1．两直线的交点 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 点A(a，b)． (1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0 . (2)若点A是直线l1与l2的交点，则有 2．两直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 知识点二　两点间的距离 公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. 特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关． (2) 原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. 知识点三　点到直线的距离、两条平行线间的距离 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长 图示 公式(或求法) 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝ 【例题详解】 题型一、求相交直线的交点坐标或者参数问题 1．（23-24高二上·四川凉山·期末）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高二·全国）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高二上·安徽芜湖·期中）已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型二、两点间的距离问题 4．（22-23高二上·全国·阶段练习）已知菱形的对角线与轴平行，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知，，，为四个实数，且，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 6．（22-23高二上·湖北宜昌·期中）函数的最小值是（    ） A．5 B．4 C． D． 题型三、点到直线的距离或参数问题 7．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 8．（23-24高二上·北京·期中）点到两条直线：，距离相等，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·河南南阳·期末）点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（    ） A． B． C． D．5 题型四：求点关于直线对称问题 10．（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．（2023高二上·全国·专题练习）点关于直线对称点Q的坐标为（　　） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知点，，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型五：求直线关于直线对称问题 13．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线过点，则入射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·湖北武汉·期中）一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 题型六、两平行线间的距离 16．（23-24高二上·湖北孝感·期末）两条平行直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 17．（22-23高二上·天津和平·期中）已知直线与直线和平行且距离相等，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 18．（21-22高三上·河南郑州·阶段练习）已知，，则与直线平行且距离为2的直线方程为（ ） A． B． C．或 D．或 题型七：直线关于点、直线对称问题 19．（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 20．（23-24高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 21．（2023·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 题型八、距离的综合应用 22．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 23．（22-23高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线：，. (1)证明直线过定点，并求出点的坐标； (2)在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程； (3)若直线不经过第四象限，求的取值范围. 24．（21-22高一下·江西宜春）已知直线及点和点，为上一动点． (1)求的最小值并求出此时点的坐标； (2)在（1）的条件下，直线经过点且与轴正半轴､轴正半轴分别交于､两点，当直线与两坐标轴围成的三角形面积取得最小值时，求直线的方程． 【专项训练】 一、单选题 25．（23-24高一下·江苏泰州·期中）已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 26．（2024·全国·模拟预测）平行直线与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 27．（23-24高二上·福建福州·期末）已知直线与直线间的距离为2，则（    ） A．或4 B．4 C．或6 D．或16 28．（23-24高三上·广东·期末）直线关于直线对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高二上·天津和平·期末）设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 30．（23-24高二上·广东·阶段练习）已知直线经过两条直线：，：的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高二上·河南·阶段练习）在中，已知，若直线为的平分线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高二上·湖南益阳·阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题 33．（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知直线，点，则（    ） A．过点A与l平行的直线的方程为 B．点A关于对称的点的坐标为 C．点A到直线l的距离为 D．过点A与l垂直的直线的方程为 34．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线：，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，关于轴的对称直线为 C．点到直线的最大距离为 D．直线一定经过第四象限 35．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知直线：，：，且，则（    ） A． B． C．与直线垂直 D．与与间的距离为 36．（22-23高二上·山东青岛·期中）已知直线：，：，则下列选项正确的为（    ） A．直线过定点 B．当时，或 C．当时，和相交 D．当时，两直线，之间的距离为1 三、填空题 37．（23-24高二上·新疆喀什·期末）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 38．（23-24高二上·北京石景山·期末）直线与直线之间的距离为 . 39．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 40．（23-24高二上·江西新余·开学考试）光线从射向轴上一点，又从反射到直线上一点，最后从点反射回到点，则BC所在的直线方程为 ． 41．（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知点在直线上，点，则取得最小值时点坐标为 ． 四、解答题 42．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线，点. (1)已知直线与平行，求的值； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 43．（23-24高二上·山东青岛）已知顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在的直线方程为. (1)求直线的方程： (2)求的面积. 44．（23-24高二上·福建三明·期中）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为．求： (1)直线的一般式方程； (2)求的边的长． 45．（21-22高一下·山东德州·阶段练习）已知直线和直线，试确定的值，使得： (1)与相交； (2)与平行，并求出两条直线的距离； (3)与垂直，并求出点关于与垂足的对称点D. 46．（23-24高二上·河北石家庄）在中，顶点A在直线上，顶点B的坐标为边的中线所在的直线方程为边的垂直平分线的斜率为． (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，求直线l的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 直线的交点坐标与距离公式 【考点归纳】 考点一、求相交直线的交点坐标或者参数问题 考点二、两点间的距离问题 考点三、点到直线的距离或参数问题 考点四：求点关于直线对称问题 考点五：求直线关于直线对称问题 考点六、两平行线间的距离 考点七：直线关于点、直线对称问题 考点八、距离的综合应用 【知识梳理】 知识点一　两条直线的交点 1．两直线的交点 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 点A(a，b)． (1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0 . (2)若点A是直线l1与l2的交点，则有 2．两直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 知识点二　两点间的距离 公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. 特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关． (2) 原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. 知识点三　点到直线的距离、两条平行线间的距离 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长 图示 公式(或求法) 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝ 【例题详解】 题型一、求相交直线的交点坐标或者参数问题 1．（23-24高二上·四川凉山·期末）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出两条直线的交点坐标，再根据垂直求出斜率，点斜式写方程即可. 【详解】由题知：，解得：，交点. 直线的斜率为，所求直线斜率为. 所求直线为：，即. 故选：B. 2．（20-21高二·全国·课后作业）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和讨论，当时求出交点，根据交点位于第一象限列不等式组求解可得. 【详解】当时，，此时，不满足题意； 当时，解方程组得， 由题知，解得， 即实数a的取值范围为. 故选：A 3．（20-21高二上·安徽芜湖·期中）已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意联立方程得，再解不等式即可得答案； 【详解】联立，得， ∵直线与射线恒有公共点， ∴， 解得. ∴m的取值范围是. 故选：C. 题型二、两点间的距离问题 4．（22-23高二上·全国·阶段练习）已知菱形的对角线与轴平行，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形对角线互相垂直可知轴，则可设，由可构造方程求得结果. 【详解】四边形为菱形，轴，轴，可设， ，， 解得：（舍）或，. 故选：A. 5．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知，，，为四个实数，且，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】设，换元后所求式子为，转化为求动点与两定点距离和的最小值即可得解. 【详解】设，则， 所以 ， 而可看做轴上动点与两定点的距离和，如图，    由图可知当运动到时，最小，最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 6．（22-23高二上·湖北宜昌·期中）函数的最小值是（    ） A．5 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】 本题将转化为点到两定点的距离和，然后利用将军饮马模型，得到距离最值即可. 【详解】， 则其几何意义为点到两定点的距离和，点表示为横坐标上的点，作出如图所示： 根据将军饮马模型，作出点关于轴对称点，连接，交轴于点， 则，此时直线的直线方程为 令，则，故当时，. 故选：A. 题型三、点到直线的距离或参数问题 7．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 【答案】D 【分析】求出点到直线的距离和点到直线的距离，二者相等求解方程即可. 【详解】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 因为点到直线的距离和点到直线的距离相等， 所以，所以或. 故选：D. 8．（23-24高二上·北京·期中）点到两条直线：，距离相等，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式得到，结合求出，再由及计算可得. 【详解】依题意，所以， 即，又，所以，解得， 显然，所以， 当时，所以， 当时，所以， 综上可得. 故选：B 9．（23-24高二上·河南南阳·期末）点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】求出点坐标，且直线过定点，当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大，利用两点间的距离公式计算可得答案. 【详解】由得，即， 直线：，所以直线过定点， 所以当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大， 且最大值为. 故选：B. 题型四：求点关于直线对称问题 10．（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点. 【详解】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ∴, ∴点关于直线的对称点的坐标为， 即， 故选：C. 11．（2023高二上·全国·专题练习）点关于直线对称点Q的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出点Q，根据斜率和中点坐标得到关于a，b的方程组，求出即可． 【详解】设点关于直线的对称点Q， 则，解得：． 所以. 故选：A． 12．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知点，，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出草图可知，点M、点N在直线l同侧，运用对称性即可求得结果. 【详解】如图所示， 设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以． 故选：C. 题型五：求直线关于直线对称问题 13．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出关于直线的对称点为的坐标，由都在反射光线所在直线上得直线方程． 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以反射光线所在直线方程为，即． 故选：B． 14．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线过点，则入射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出关于直线的对称点，再求出与所在的直线方程即为入射光线所在直线的方程. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则解得即. 所以人射光线所在直线的方程为，即. 故选：A 15．（23-24高二上·湖北武汉·期中）一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先求得入射光线所在直线与轴的交点，进而求得反射光线所在直线方程. 【分析】倾斜角为的直线，斜率为， 所以入射光线为， 令，解得，所以入射光线与轴的交点为， 反射光线的斜率为，则反射光线的方程为. 故选：D 题型六、两平行线间的距离 16．（23-24高二上·湖北孝感·期末）两条平行直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算即得. 【详解】直线化为：， 所以平行直线与间的距离为. 故选：D 17．（22-23高二上·天津和平·期中）已知直线与直线和平行且距离相等，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线的方程为，然后利用两平行线间的距离公式列方程求解即可. 【详解】设直线的方程为， 由两条平行线间的距离公式可得：， 解得：，所以直线的方程为， 故选：. 18．（21-22高三上·河南郑州·阶段练习）已知，，则与直线平行且距离为2的直线方程为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先求出直线的方程为，设所求直线的方程为，解方程求出即得解. 【详解】由题意得，直线的方程为，即， 设所求直线的方程为， 则，解得或， ∴所求直线的方程为或. 故选：C. 题型七：直线关于点、直线对称问题 19．（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【答案】C 【分析】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上. 【详解】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C. 20．（23-24高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，利用轴对称的性质列出方程组解出，由点在直线上，代入方程可得答案. 【详解】设所求直线上任一点，关于直线的对称点， 则，解得， ∵点在直线上，即， ∴，化简得，即为所求直线方程. 故选：B. 21．（2023·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线上一点，即可求解. 【详解】联立，得， 取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：， 直线的斜率，所以直线的方程为， 整理为：. 故选：A 题型八、距离的综合应用 22．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 【分析】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解. （2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程. （3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可. 【详解】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 23．（22-23高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线：，. (1)证明直线过定点，并求出点的坐标； (2)在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程； (3)若直线不经过第四象限，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，点的坐标为 (2)或 (3) 【分析】（1）化简方程为直线系方程的形式，组成方程组解出直线过的点； （2）根据题意分直线过原点、不过原点讨论，分析解决即可； （3）分①，②，③，且三种情况进行讨论分析解决. 【详解】（1）证明：整理直线的方程，得， 所以直线过直线与的交点， 联立方程组， 解得， 所以直线过定点，点的坐标为. （2）当截距为0时，直线的方程为，即， 当截距不为0时，设直线的方程为， 则， 解得， 直线的方程为，即， 故直线的方程为或. （3）当时，直线的方程为，符合题意； 当时，直线的方程为，不符合题意； 当，且时，， 所以 解得或， 综上所述，当直线不经过第四象限时， 的取值范围是：. 24．（21-22高一下·江西宜春·阶段练习）已知直线及点和点，为上一动点． (1)求的最小值并求出此时点的坐标； (2)在（1）的条件下，直线经过点且与轴正半轴､轴正半轴分别交于､两点，当直线与两坐标轴围成的三角形面积取得最小值时，求直线的方程． 【答案】(1)最小值为， (2) 【分析】（1）设关于直线的对称点，利用即可求解； （2）设直线的方程为，求出在坐标轴上的截距，表示出三角形的面积，利用均值不等式求解. 【详解】（1） 设关于直线的对称点， 则且， 解得，即， ， 此时，， ， 即，与联立，解得； （2）由题可知直线的斜率存在且为负，设直线的方程为， 令，则，令，则， 所以三角形面积 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立，， 此时直线的方程为，化简得. 【专项训练】 一、单选题 25．（23-24高一下·江苏泰州·期中）已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的方程，利用点到直线距离公式求解. 【详解】根据题意，， 所以直线的方程为，即， 点到直线的距离为. 故选：C. 26．（2024·全国·模拟预测）平行直线与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过平行求出，再利用平行线的距离公式求解. 【详解】因为，所以，， 解得，所以， 故两平行直线间的距离． 故选：C． 27．（23-24高二上·福建福州·期末）已知直线与直线间的距离为2，则（    ） A．或4 B．4 C．或6 D．或16 【答案】D 【分析】利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】由题意可知，直线与直线平行，所以， 因为直线与直线间的距离为2， 所以，解得或. 故选：D. 28．（23-24高三上·广东·期末）直线关于直线对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图象，找出一个对称点和直线与直线的交点，即可求出对称直线的方程. 【详解】由题意， 在直线中，作出图象如下图所示， 由图可知，点关于直线对称的点为, 直线与直线的交点为, ∴关于直线对称的直线方程为：，即， ∴关于直线对称的直线方程是：. 故选：B. 29．（23-24高二上·天津和平·期末）设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】因为直线与直线平行，所以的最小值为直线与直线距离，求解即可. 【详解】由直线可得， 所以直线与直线平行， 所以的最小值为直线与直线距离， 所以. 故选：C. 30．（23-24高二上·广东·阶段练习）已知直线经过两条直线：，：的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立两直线求出交点坐标，根据的方向向量求出直线的斜率即可求出的方程. 【详解】联立，解得， 即直线：，：的交点为， 又直线的一个方向向量， 所以直线的斜率为，故直线的方程为， 即， 故选：B． 31．（23-24高二上·河南·阶段练习）在中，已知，若直线为的平分线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点关于线的对称求解关于直线的对称点，即可根据两点求解的方程,即可求解直线方程. 【详解】过作关于直线的对称点，则在直线上， 设，根据且的中点在直线上，得， 解得，所以， 又，所以直线方程为，故方程为， 故选：D    32．（23-24高二上·湖南益阳·阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】确定关于的对称点，设饮马点为，利用求最短路程. 【详解】若是关于的对称点，则， 设饮马点为，如下图示，    由图知：，当且仅当共线时等号成立， 所以. 故选：C 二、多选题 33．（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知直线，点，则（    ） A．过点A与l平行的直线的方程为 B．点A关于对称的点的坐标为 C．点A到直线l的距离为 D．过点A与l垂直的直线的方程为 【答案】ACD 【分析】由平行垂直求出直线方程判断AD，写出对称点坐标判断B，由得点到直线距离判断C． 【详解】与直线平行的直线方程可设为，代入点坐标得，即，即平行线方程为，A正确； 关于的对称点坐标为，B错； 到直线的距离为，C正确； 与直线垂直的直线方程可设为，代入点坐标得，，直线方程即为，D正确． 故选：ACD． 34．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线：，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，关于轴的对称直线为 C．点到直线的最大距离为 D．直线一定经过第四象限 【答案】ABC 【分析】化简直线方程，联立方程组，可判定A正确；由直线，结合对称性和直线方程，可判定B正确；结合直线时，点到直线的距离最大，可判定C正确；根据直线不一定经过第四象限，可判定D错误. 【详解】对于A，由直线，可得， 联立方程组，解得，所以直线过定点，所以A正确； 对于B，当时，直线， 在直线上取两点，则点关于轴对称的点， 点关于轴对称的点， 所以关于轴对称直线为，即，所以B正确； 对于C，由A项知直线过定点， 则当直线时，点到直线的距离最大， 最大距离为，所以C正确； 对于D， 直线不一定经过第四象限，比如：当时，直线：不经过第四象限，所以D错误.   故选：ABC. 35．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知直线：，：，且，则（    ） A． B． C．与直线垂直 D．与与间的距离为 【答案】ACD 【分析】根据两直线平行的系数要求，求出的值，然后根据垂直要求判断直线是否垂直，根据平行线间距离公式求其距离. 【详解】当时，则，解得或． 若，则：，：，，重合，故不符合题意； 若，则：，：，，所以与间的距离为． 由，得与直线垂直． 故选：ACD. 36．（22-23高二上·山东青岛·期中）已知直线：，：，则下列选项正确的为（    ） A．直线过定点 B．当时，或 C．当时，和相交 D．当时，两直线，之间的距离为1 【答案】AB 【分析】直线方程整理为关于的方程，由恒等式知识可求得定点坐标，判断A，由垂直的条件求得参数范围，判断B，由两直线平行的条件求得的值可得相交的条件，判断C，由两直线平行，然后求得值，代入后得两平行线的方程，由距离公式计算． 【详解】直线方程整理为， 由，解得，因此直线过定点，A正确； ，则，解得或，B正确； 由得或， 所以且时，和相交，C错； 时，两直线方程分别为，，两直线平行，它们的距离为， 时，两直线方程分别为和，即和，两直线平行，距离为， D错． 故选：AB． 三、填空题 37．（23-24高二上·新疆喀什·期末）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 【答案】或 【分析】代入两点间距离公式，即可求解. 【详解】， 化简为，解得：或. 故答案为：或 38．（23-24高二上·北京石景山·期末）直线与直线之间的距离为 . 【答案】 【分析】代入平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】直线， 则与之间的距离. 故答案为： 39．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 【答案】 【分析】联立方程组解得交点坐标，列出直线不能围成三角形的条件，分别解出即可. 【详解】由解得，所以的交点坐标为， 过定点， 若直线不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得； 当与平行时，，解得； 当与平行时，，解得. 故的值为. 故答案为：（只需写出其中一个即可）. 40．（23-24高二上·江西新余·开学考试）光线从射向轴上一点，又从反射到直线上一点，最后从点反射回到点，则BC所在的直线方程为 ． 【答案】 【分析】分别求点关于轴和直线的对称点，再根据几何关系求得直线的方程. 【详解】点关于轴的对称点为，设点关于的对称点为， 则，解得：，即, 由对称性可知，点在直线上， 所以，直线的方程为， 即.    故答案为： 41．（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知点在直线上，点，则取得最小值时点坐标为 ． 【答案】 【分析】作图分析，结合对称性将转化为，则点与在同一直线时，最小，求得此时点坐标即可. 【详解】解：如图， 设关于直线的对称点为，因为 所以，解得，则 所以，结合图形则当三点共线时，此时取得最小值，即在点位置时， 则，直线为 于是，解得，即，故取得最小值时点坐标为. 故答案为：. 四、解答题 42．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线，点. (1)已知直线与平行，求的值； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据两直线平行的斜率关系列式运算得解； （2）设出对称点的坐标，利用中点在直线上，以及直线垂直，列出方程，即可求得结果. 【详解】（1）由直线平行直线，可得，解得或， 当时，直线符合题意， 当时，直线与直线重合，不合题意， 所以的值为3. （2）设对称点的坐标为，则中点的坐标为， 所以可得，解得， 所以的坐标为. 43．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在的直线方程为. (1)求直线的方程： (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点斜式求得直线的方程. （2）先求得两点的坐标，结合点到直线的距离公式、两点间的距离公式求得三角形的面积. 【详解】（1）边上的高所在直线方程为， 直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为. （2）边上的中线所在的直线方程为， 由解得，即. 设，则， 所以，解得，即. ，到的距离为， 所以三角形的面积为. 44．（23-24高二上·福建三明·期中）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为．求： (1)直线的一般式方程； (2)求的边的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直确定，再计算直线方程得到答案. （2）设，根据的中点在直线上，结合在上，得到答案. 【详解】（1）边上的高所在的直线方程为，斜率，故， 直线方程为，即； （2）设，则的中点坐标为， 则，解得，即，. 45．（21-22高一下·山东德州·阶段练习）已知直线和直线，试确定的值，使得： (1)与相交； (2)与平行，并求出两条直线的距离； (3)与垂直，并求出点关于与垂足的对称点D. 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析； 【分析】（1）根据是否为0,分情况讨论即可； （2）由两直线平行得斜率相等，再通过平行线距离公式即可求解； （3）根据是否为0,分情况讨论，得之后，先求出两直线垂足坐标，再根据中点公式即可求解. 【详解】（1）当时，，，此时两直线相交，符合题意； 当时，要使与相交，则有，解得：， 综上，. （2）当时，由（1）知，两直线显然不平行，所以， 要使与平行，则有，解得. 此时：：，， 所以两直线的距离. （3）当时，，，此时两直线垂直，符合题意； 当时，要使与垂直，则有，无解，综上. 此时与的垂足为()，而 设对称点D，根据中点公式有：解得： 所以点的坐标是. 46．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）在中，顶点A在直线上，顶点B的坐标为边的中线所在的直线方程为边的垂直平分线的斜率为． (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）求出直线方程，与直线方程联立求出点的坐标，再设出点的坐标，由的中点在直线上，求出点的坐标，然后求出直线方程. （2）按直线过的中点及与平行求出方程即得. 【详解】（1）由边的垂直平分线的斜率为，得直线方程为，即， 而边中线所在的直线方程为， 由，解得，则，设点，则点， 于是，解得，即点，直线的斜率， 所以直线的方程为，即. （2）由（1）知，，， 由直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，得直线过边的中点，或， 当直线过时，直线的斜率为，方程为，即， 当直线时，直线的斜率为，方程为，即， 所以直线l的方程为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$