余弦定理、正弦定理课件-2025届高三数学一轮复习

必备知识·逐点夯实 第五节　解三角形第1课时　余弦定理、正弦定理 第六章　平面向量、复数 核心考点·分类突破 【课标解读】 【课程标准】 借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理、正弦定理. 【核心素养】 数学建模、数学运算、逻辑推理. 【命题说明】 考向 考法 本节内容是新高考卷的必考内容,考查正、余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用,同时也结合三角函数及三角恒等变换等知识点进行综合考查. 预测 预计高考仍以利用正弦定理、余弦定理解三角形为主,与三角函数的图象及性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查. 必备知识·逐点夯实 知识梳理·归纳 1.正弦定理 微点拨 已知两边及一边的对角,利用正弦定理解三角形时,注意解的个数讨论,可能有一解、两解或无解. 条件 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径 内容 ===2R 变形 (1)a=_________,b=_________,c=________; (2)sin A=,sin B=,sin C=. 2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C 2.余弦定理 条件 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c 内容 a2=______________; b2=______________; c2=______________ 变形 cos A=; cos B=; cos C= b2+c2-2bccos A c2+a2-2cacos B a2+b2-2abcos C 3.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:   A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b a≤b 解的个数 _____ _____ _____ _____ _____ 一解 两解 一解 一解 无解 4.三角形常用面积公式 (1)S=a·ha(ha表示a边上的高). (2)S=absin C=acsin B=bcsin A=. (3)S=r(a+b+c)(r为内切圆半径). 常用结论 在△ABC中,常有以下结论: (1)A+B+C=π. (2)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. (3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B,cos A<cos B. (4) 三角形中的三角函数关系 sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C; tan(A+B)=-tan C;sin =cos ; cos =sin . (5)三角形中的射影定理:在△ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B. 基础诊断·自测 1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.(　　) 提示:(1)已知三角时,不可求三边. (2)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B.(　　) (3)在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3.(　　) 提示: (3)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比. 类型 辨析 改编 易错 高考 题号 1 3 2 4 √ × × (4)当b2+c2-a2>0时,△ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,△ABC为直角三角形;当b2+c2-a2<0时,△ABC为钝角三角形.(　　) 提示: (4)当b2+c2-a2>0时,△ABC不一定为锐角三角形. × 2.(应用正弦定理求角时漏解)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=,A=30°,则B等于(　　) A.30°　 B.45° C.30°或150°　 D.45°或135° 【解析】选D.由正弦定理=得=,sin B=,又b>a,即B>A, 又因为0°<B<150°,所以B=45°或135°. 3.(必修第二册P48练习T2·变条件)在△ABC中,a=6,b=6,A=30°,则最长边c=　　　　.  【解析】在△ABC中,a=6,b=6,A=30°, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, 36=108+c2-12×c, 化简得c2-18c+72=0,解得c=6或c=12, 因为c是最长的边,所以c=12. 12 4.(2023·上海高考)已知△ABC中,角A,B,C所对的边a=4,b=5,c=6, 则sin A=　　　　　.  【解析】a=4,b=5,c=6,由余弦定理得,cos A===, 又因为A∈(0,π),所以sin A>0, 所以sin A===. 核心考点·分类突破 考点一利用正、余弦定理解三角形 1.在△ABC 中,已知b=40 ,c=20 ,C=60°,则此三角形的解的情况是(　　) A.有一解 B. 有两解 C.无解 D. 有解但解的个数不确定 【解析】选C.由正弦定理得= , 所以sin B===>1 , 所以B不存在,即满足条件的三角形不存在. 2.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,sin B=,C=,则c=(　　) A.　 B.或 C.或　 D. 【解析】选B.由正弦定理知=,则c==,sin A=sin(π-B-C)=sin(B+C), 因为sin B=,所以cos B=±=±,故B=或. 又C=,故均满足题设. 当B=时,sin A=1,此时c=; 当B=时,sin A=,此时c=. 3.(2023·北京高考)在△ABC中,(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),则C=(　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选B.由正弦定理知,(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B)可化为(a+c)(a-c) =b(a-b),即a2+b2-c2=ab, 所以cos C===,又C∈(0,π),所以C=. 4.(2023·全国乙卷)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B-bcos A=c,且C=,则∠B=(　　) A. B. C. D. 【解析】选C.由题意结合正弦定理可得sin Acos B-sin Bcos A=sin C, 即sin Acos B-sin Bcos A=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A, 整理可得sin Bcos A=0, 由于B∈(0,π),故sin B>0, 据此可得cos A=0,A=, 则B=π-A-C=π--=. 5.(2023·天津高考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=2,A=120°. (1)求sin B的值; 【解析】(1)a=,b=2,A=120°, 则sin B===; (2)求c的值; 【解析】(2)a=,b=2,A=120°, 则a2=b2+c2-2bc·cos A=4+c2+2c=39,化简整理可得,(c+7)(c-5)=0,解得c=5(负值舍去); 5.(2023·天津高考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=2,A=120°. (3)求sin(B-C)的值. 【解析】(3)因为a>c>b,所以B,C为锐角, 所以cos B==,c=5,a=,A=120°, 则sin C===, 故cos C==, 所以sin(B-C)=sin Bcos C-sin Ccos B=×-×=-. 解题技法 应用正弦、余弦定理的解题技巧 (1)求边:利用正弦定理变形公式a=等或余弦定理a2=b2+c2-2bccos A等求解. (2)求角:利用正弦定理变形公式sin A=等或余弦定理变形公式cos A=等求解. (3)利用式子的特点转化:如出现a2+b2-c2=λab的形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理. 考点二利用正、余弦定理判断三角形形状 [例1](1)(2023·绥化模拟)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acos A=bcos B=ccos C,则△ABC的形状是(　　) A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.三边比为1∶2∶3的三角形 【解析】选B.因为acos A=bcos B,由正弦定理可得sin Acos A=sin Bcos B, 即sin 2A=sin 2B. 因为A,B为三角形的内角,所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=, 同理可得B=C或B+C=. 当A=B时,B+C=不可能成立(三角形内角和不等于π);当B=C时,A+B=不可能成立; 当A+B=时,B+C=也不可能成立, 所以只有A=B=C,即△ABC为等边三角形. (2)(2023·重庆模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=. ①求A; 【解析】①由=整理可得, bc=b2+c2-a2, 由余弦定理可得cos A===, 又0<A<π,所以A=. (2)(2023·重庆模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=. ②若b-c=a,证明:△ABC是直角三角形. 【解析】②由b-c=a及正弦定理可得,sin B-sin C=sin A=, 所以sin B-sin (-B)=sin B-cos B-sin B=sin B-cos B=sin (B-)=, 因为B∈(0,),所以B-∈(-,), 所以B-=, 所以B=,即△ABC是直角三角形. 解题技法 三角形形状的判定方法 (1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,如a=2Rsin A,a2+b2-c2=2abcos C等,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系,如sin A=sin B⇔A=B;sin(A-B)=0⇔A=B;sin 2A=sin 2B⇔A=B或A+B=等. (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边,如sin A=,cos A=等,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断. 提醒:1.注意无论是化边还是化角,在化简过程中是否出现公因式; 2.在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一,并注意挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意角A,B,C的范围对三角函数值的影响. 对点训练 1.在△ABC中,sin A=,cos B=,则该三角形是(　　) A.锐角三角形　 B.钝角三角形 C.直角三角形　 D.无法判断 【解析】选A.根据题意,sin B=>=sin A, 于是B>A,从而A,B为锐角. 又sin A=>=sin , 于是A+B>2A>, 因此C为锐角,所以△ABC为锐角三角形. 2.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足c2-a2+b2= (4ac-2bc)cos A,则(　　) A.△ABC一定为直角三角形 B.△ABC可能为等腰三角形 C.角A可能为直角 D.角A可能为钝角 【解析】选BC.由余弦定理可得2bccos A=(4ac-2bc)cos A,化简可得bcos A= (2a-b)cos A. 当cos A=0时,A=90°,此时△ABC为直角三角形; 当cos A≠0时,可得b=2a-b,即a=b,此时△ABC为等腰三角形,cos A==>0,所以B,C选项正确. 考点三正、余弦定理的综合应用 考情提示 正、余弦定理在高考中一般综合考查,主要考查三角形的面积、周长、与边有关或与角有关的最值范围问题. 角度1　三角形面积问题 [例2](1)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为, B=60°,a2+c2=3ac,则b=　　　　.  【解析】由题意得S△ABC=acsin B=ac=,则ac=4,所以a2+c2=3ac=3×4=12,所以b2=a2+c2-2accos B=12-2×4×=8,则b=2. 2 (2)(2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3,已知S1-S2+S3=,sin B=. ①求△ABC的面积; 【解析】①由题意得S1=·a2·=a2,S2=b2,S3=c2, 则S1-S2+S3=a2-b2+c2=,即a2+c2-b2=2. 由余弦定理得cos B=,整理得accos B=1,则cos B>0. 又sin B=,则cos B==. ac==,则S△ABC=acsin B=. (2)(2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3,已知S1-S2+S3=,sin B=. ②若sin Asin C=,求b. 【解析】②由正弦定理得==, 则=·===,则=,b=sin B=. 解题技法 三角形面积问题的常见类型 (1)求三角形面积:一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等,求出角与边,再求面积; (2)已知三角形面积解三角形:常选用已知邻边求出其夹角,或利用已知角求出角的两边间的关系; (3)已知与三角形面积有关的关系式:常选用关系式中的角作为面积公式中的角,化为三角形的边角关系,再解三角形. 对点训练 在△ABC中,a+b=11,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求: (1)a的值; 【解析】选条件①:c=7,cos A=-,且a+b=11. (1)在△ABC中,由余弦定理,得cos A===-, 解得a=8. 对点训练 在△ABC中,a+b=11,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求: (2)sin C和△ABC的面积. 条件①:c=7,cos A=-; 条件②:cos A=,cos B=. 注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分. 【解析】选条件①:c=7,cos A=-,且a+b=11. (2)因为cos A=-,A∈(0,π), 所以sin A===. 在△ABC中,由正弦定理,得sin C===. 因为a+b=11,a=8,所以b=3, 所以S△ABC=absin C=×8×3×=6. 选条件②:cos A=,cos B=,且a+b=11. (1)因为A∈(0,π),B∈(0,π),cos A=,cos B=, 所以sin A===,sin B===. 在△ABC中,由正弦定理,可得===. 又因为a+b=11,所以a=6,b=5. (2)sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×==. 所以S△ABC=absin C=×6×5×=. 角度2　三角形中的最值与范围问题 [例3]锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos C=2asin A-ccos B. (1)求A; 【解析】(1)因为bcos C=2asin A-ccos B, 由正弦定理可得sin Bcos C=2sin Asin A-sin Ccos B, 则(sin Bcos C+sin Ccos B)=2sin2A, 即sin(B+C)=2sin2A, 又sin(B+C)=sin A,sin A>0,则sin A=, 因为0<A<,所以A=. [例3]锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos C=2asin A-ccos B. (2)若b=2,D为AB的中点,求CD的取值范围. 【解析】(2)△ACD中,由余弦定理可得CD==, 因为锐角三角形ABC中,cos B>0,cos C>0, 所以, 又a2=c2+4-2c,c>0, 所以,解得1<c<4, 故CD的取值范围为[,2). 解题技法 解三角形中的最值或范围问题的两种解法 (1)将问题表示为边的形式,利用基本不等式求得最大值或最小值; (2)将问题用三角形某一个角的三角函数表示,利用三角函数的有界性,单调性再结合角的范围确定最值或范围. 对点训练 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a+2c= bcos C+bsin C. (1)求角B; 【解析】(1)因为a+2c=bcos C+bsin C, 整理得,sin A+2sin C=sin Bcos C+sin Bsin C, sin(B+C)+2sin C=sin Bcos C+sin Bsin C, cos Bsin C+2sin C=sin Bsin C, 因为sin C≠0,所以sin B-cos B=2, sin(B-)=1,B-=,可得,B=; 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a+2c= bcos C+bsin C. (2)若b=3,求△ABC周长的取值范围. 【解析】(2)因为====2, 所以a=2sin A,c=2sin C, 所以周长=a+b+c=2sin A+2sin C+3=2(sin A+sin(A+) )+3 =2sin A+cos A)+3=2sin(A+)+3, 因为0<A<,所以<A+<,<sin(A+)≤1, 所以△ABC周长的取值范围为(6,3+2]. 【加练备选】 　　已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=. (1)求角B的大小; 【解析】(1)因为=, 所以由正弦定理得=, 所以2sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B, 所以2sin Acos B=sin (B+C)=sin A, 又0<A<π,所以sin A≠0,所以cos B=,又0<B<π,所以B=; 　已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=. (2)若BC的中点为D且AD=,求a+2c的最大值. 【解析】(2)设∠BAD=θ,则在△ABD中,由B=知0<θ<, 由正弦定理得===2,所以BD=2sin θ,AB=2sin (-θ). 又BD=,所以a=4sin θ,c=2sin (-θ),所以a+2c=4sin θ+4sin (-θ)=6sin θ+2cos θ =4sin(θ+). 因为0<θ<,所以<θ+<, 所以<sin (θ+)≤1,所以2<a+2c≤4, 所以a+2c的最大值为4. 谢谢观赏！！ $$