专题1.19 全等三角形（全章知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.19 全等三角形（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 边边边（SSS） 两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL） 性质 对应边相等，对应角相等 （其他对应元素也相等，如对应边上的高相等） 备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等 【知识点一】全等三角形的判定与性质 【知识点二】全等三角形的证明思路 【知识点三】角平分线的性质 1.角的平分线的性质定理 　 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 2.角的平分线的判定定理 　 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 3.三角形的角平分线 三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等. 4.与角平分线有关的辅助线 在角两边截取相等的线段，构造全等三角形； 在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 【知识点四】全等三角形证明方法 全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法. 1． 证明线段相等的方法： (1) 证明两条线段所在的两个三角形全等. (2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等. (3) 等式性质. 2． 证明角相等的方法： (1) 利用平行线的性质进行证明. (2) 证明两个角所在的两个三角形全等. (3) 利用角平分线的判定进行证明. (4) 同角（等角）的余角（补角）相等. (5) 对顶角相等. 3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法； 可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4． 辅助线的添加: (1)作公共边可构造全等三角形； (2)倍长中线法； (3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形； (4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形. 5. 证明三角形全等的思维方法: （1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件. （2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件. （3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用全等三角形的性质与判定求值或证明 【例1】（23-24七年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，高，交于点F，且， （1）判断，的数量关系，并说明理由； （2）若平分，，求的长． 【变式1】（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在与中，三点在一条直线上，，，，若，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图所示，，则 ． 【题型2】添加辅助线证明三角形全等并求值 【例2】  （23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读与思考： 在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决，比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题． 例：如图1，D是内一点，且平分，连接，若的面积为10，求的面积． 该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点B作交延长线于点交于点E， 平分 ， ， 在和中， ， （依据1） （依据2），， ，，…… （1）任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，____________； （2）任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； （3）应用：如图3，在中，，平分交于点D，过点C作交延长线于点E，若，求的面积． 【变式1】（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（20-21七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则 ． 【题型3】全等三角形的动态问题 【例3】（23-24七年级下·河南郑州·期末）已知在中，，，．点D为边上一点，且，过点B作射线，动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿射线的方向运动，连接． （1）如图1，当时，线段与相等吗？ 请说明理由． （2）当线段与的其中一边垂直时，求出点E运动的时间t的值． 【变式1】（16-17八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图，在长方形中，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（　　）秒时，和全等．    A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 【变式2】（23-24七年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，，，E为AB上一动点，的最小值为2.4，过点B作，且，连接、，则的面积为 ． 【题型4】全等三角形的综合问题 【例4】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ． （4）如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，则的面积为 ． 【变式1】（23-24八年级下·四川眉山·期末）如图，在中，，平分，于E，则下列结论：①平分；②；③平分；④；⑤A、D两点一定在线段的垂直平分线上，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（2024八年级·全国·竞赛）如图，，，，与交于点，连接，则的度数为 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.    上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【例2】（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ． 2、拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为“共边黄金三角形”，相等的边（非公共边）所对的相等的角称为“黄金角”．    （1）如图，，则与______“共边黄金三角形”．（填“是”或“不是”） （2）如图，与是“共边黄金三角形”，，则与的“黄金角”的度数为______． （3）如图，已知平分，，与是“共边黄金三角形”，试说明． 【例2】（2024·北京门头沟·一模）如图，，，点在射线上，且，点在上且，连接，取的中点，连接并延长至，使，连接． （1）如图1，当点在线段上时． ①用等式表示与的数量关系； ②连接，，直接写出，的数量关系和位置关系； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，依题意补全图形2，猜想②中的结论是否还成立，并证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.19 全等三角形（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 边边边（SSS） 两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL） 性质 对应边相等，对应角相等 （其他对应元素也相等，如对应边上的高相等） 备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等 【知识点一】全等三角形的判定与性质 【知识点二】全等三角形的证明思路 【知识点三】角平分线的性质 1.角的平分线的性质定理 　 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 2.角的平分线的判定定理 　 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 3.三角形的角平分线 三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等. 4.与角平分线有关的辅助线 在角两边截取相等的线段，构造全等三角形； 在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 【知识点四】全等三角形证明方法 全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法. 1． 证明线段相等的方法： (1) 证明两条线段所在的两个三角形全等. (2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等. (3) 等式性质. 2． 证明角相等的方法： (1) 利用平行线的性质进行证明. (2) 证明两个角所在的两个三角形全等. (3) 利用角平分线的判定进行证明. (4) 同角（等角）的余角（补角）相等. (5) 对顶角相等. 3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法； 可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4． 辅助线的添加: (1)作公共边可构造全等三角形； (2)倍长中线法； (3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形； (4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形. 5. 证明三角形全等的思维方法: （1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件. （2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件. （3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用全等三角形的性质与判定求值或证明 【例1】（23-24七年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，高，交于点F，且， （1）判断，的数量关系，并说明理由； （2）若平分，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)3 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）运用同角的余角相等证明，从而运用证明，从而得解； （2）先证明得出，继而求出，再由得出，从而得解． 解：（1），理由如下： ，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 【变式1】（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在与中，三点在一条直线上，，，，若，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据三角形外角性质、邻补角定义及角的和差求出，，利用证明，根据全等三角形的性质得出，，则，据此求解即可，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 解: ∵，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图所示，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形全等的判定及性质，三角形外角的性质；用可判定，由三角形全等的性质得，由三角形外角的性质得，结合邻补角即可求解；掌握全等三角形的判定方法及性质是解题的关键． 解：在和中 ， （）， ， ∵， ； ∴， 故答案：． 【题型2】添加辅助线证明三角形全等并求值 【例2】  （23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读与思考： 在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决，比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题． 例：如图1，D是内一点，且平分，连接，若的面积为10，求的面积． 该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点B作交延长线于点交于点E， 平分 ， ， 在和中， ， （依据1） （依据2），， ，，…… （1）任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，____________； （2）任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； （3）应用：如图3，在中，，平分交于点D，过点C作交延长线于点E，若，求的面积． 【答案】(1)，全等三角形的对应边相等；(2)见解析；(3)9． 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据全等三角形判定和性质即可得到答案； （2）先推出，得出，，进而可得，即可得到答案； （3）延长、交于点，先推出，得到，再推出，得到，进而求解即可． （1）上述解答过程中的依据1是：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或）， 依据2是：全等三角形的对应边相等； （2）∵ ． 即 ； （3）延长交于点F． 平分 在和中 ， 在中， 在中， 在和中 【变式1】（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长、交于点，先证明，得到，再证明，得到，即可求出长． 解：如图，延长、交于点， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（20-21七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则 ． 【答案】 【分析】在CD上截取CG=CF，连接AG，可得，设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x，再证明，进而即可求解． 解：在CD上截取CG=CF，连接AG， ∵AC=CD，∠ACG=∠DCF=90°， ∴， ∴∠AGC=∠CFD， 设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x， ∵∠EAB=∠EAF+∠CAB=∠CAB+∠B=90°， ∴∠EAF=∠B， ∴∠E=∠CFD-∠EAF=∠AGC-∠B=∠GAB， 又∵AE=AB， ∴， ∴AF=BG=5x， ∴BD=BG-GD=4x， ∴． 【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 【题型3】全等三角形的动态问题 【例3】（23-24七年级下·河南郑州·期末）已知在中，，，．点D为边上一点，且，过点B作射线，动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿射线的方向运动，连接． （1）如图1，当时，线段与相等吗？ 请说明理由． （2）当线段与的其中一边垂直时，求出点E运动的时间t的值． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2)3或8 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，同角的余角相等．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． （1）证明，即得出； （2）分类讨论：当时和时，分别证明，即可求解． （1）解：相等，理由如下： ∵，，， ∴， ∴； （2）解：分类讨论：当时，如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 综上可知t的值为3或8． 【变式1】（16-17八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图，在长方形中，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（　　）秒时，和全等．    A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 【答案】C 【分析】分两种情况，若，，可得；若，，可得，求解即可．本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质并运用数形结合的思想是解题的关键． 解：在长方形中，， 若， 在和中， ∵， ∴， ∴， 解得； 若， 在和中， ∵， ∴， ∴， 解得； 综上，t的值为1或7， 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，，，E为AB上一动点，的最小值为2.4，过点B作，且，连接、，则的面积为 ． 【答案】14 【分析】本题考查的是等面积法的应用，全等三角形的判定与性质，如图，过作，交的延长线于，证明，可得，再利用面积的和差进一步求解可得答案． 解：如图，过作，交的延长线于，而，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵的最小值为2.4， ∴此时为上的高， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为： 【题型4】全等三角形的综合问题 【例4】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ． （4）如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，则的面积为 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，借助前面的结论和思路是解决（4）的关键． （1）根据题意可得，由等量代换证明，证明可得，，等量代换即可证明； （2）证明过程同（1）； （3）设，则，先求出x的值，根据三角形面积公式即可求解； （4）过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F，由（1）可得，，，证明是等腰直角三角形，，求出，根据三角形面积公式即可求解． （1）证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∴； （2）， 证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∴； （3）设，则， ∴ ∵， ∴ ∴； （4）如图，过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F， 由（1）可得 ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵面积为18 ∴ ∴， ∵的长为9， ∴， ∴ 【变式1】（23-24八年级下·四川眉山·期末）如图，在中，，平分，于E，则下列结论：①平分；②；③平分；④；⑤A、D两点一定在线段的垂直平分线上，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件可证明，从而可判断①、④正确；利用直角三角形的两锐角互余可判断②；利用角平分线的定义可判断③；利用线段垂直平分线的判定可判断⑤；从而可得出答案． 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴平分 故①正确； ∵，且， ∴； 故④正确； ∵， ∴A、D都在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， 故⑤正确； ∵， ∴， 故②正确； 若平分，则E应为中点，由条件无法得出， 故③不正确； 综上可知正确的结论有：①②④⑤，共四个， 故选：C． 【变式2】（2024八年级·全国·竞赛）如图，，，，与交于点，连接，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，构造全等三角形是解答本题的关键．过点A作于点M，于点N，根据手拉手模型证明，得到，然后证明，得到，，进一步推得，再证明，可得，最后根据三角形内角和定理即得答案． 解：过点A作于点M，于点N， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， 即， ，，， ， ， ． 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.    上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可. 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键. 解：根据上述基本作图，可得， 故可得判定三角形全等的依据是边边边， 故选A. 【例2】（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 2、拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为“共边黄金三角形”，相等的边（非公共边）所对的相等的角称为“黄金角”．    （1）如图，，则与______“共边黄金三角形”．（填“是”或“不是”） （2）如图，与是“共边黄金三角形”，，则与的“黄金角”的度数为______． （3）如图，已知平分，，与是“共边黄金三角形”，试说明． 【答案】(1)是 (2) (3)理由见解析 【分析】本题考查了新定义、全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据共边黄金三角形的定义找到公共边，，即可得出． （2）根据共边黄金三角形的定义得出，再结合，则，即可作答． （3）先由角的平分线的定义得出，然后证明，得，再运用共边黄金三角形的定义，得出，即可作答． （1）解：∵与具有公共边， 又，且， 与是共边黄金三角形， ∴故答案为：是． （2）解：∵与是“共边黄金三角形”， ， ∴， ∵， ∴； 则与的“黄金角”的度数为． （3）解：∵平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵则与是共边黄金三角形， ∴， ∴． 【例2】（2024·北京门头沟·一模）如图，，，点在射线上，且，点在上且，连接，取的中点，连接并延长至，使，连接． （1）如图1，当点在线段上时． ①用等式表示与的数量关系； ②连接，，直接写出，的数量关系和位置关系； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，依题意补全图形2，猜想②中的结论是否还成立，并证明． 【答案】(1)①；②，，理由见详解 (2)补全图形见详解，②的结论还成立，证明见详解 【分析】（1）①证明，得出，则可得出结论； ②连接，，证明，得出，，则可得出结论； （2）根据题意补全图形，证明，得出，，则可得出结论． （1）解：（1）①， 为的中点， ， ，， ， ， ， ； ②，， 理由：连接，， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ； （2）补全图形如下，②的结论还成立， 证明：连接，， 同①可证，， 设，则， ，， ， ，而，， ， ，， ， ． 【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$