专题2.1 等式性质与不等式【3知识点+4题型5角度】--【课堂助手】2024-2025学年高一数学讲与练（人教A版·必修一）

专题2.1 等式性质与不等式（原卷版） 知识点1：不等关系 2 知识点2：比较大小 2 知识点3：等式性质与不等式性质 2 题型1：用不等式表示不等关系 2 题型2：比较两数（式）的大小关系 3 角度1：作差法比较大小关系 3 角度2：作商法比较大小关系 4 题型3：不等式性质的应用 5 角度1：运用不等式的性质判断命题的真假 5 角度2：运用不等式的性质证明不等式 5 角度3：运用不等式的性质求代数式的取值范围 6 题型4：不等式在实际问题中的应用 7 学习目标导航 关键词 1. 梳理等式的性质，理解不等式的概念，理解等式与不等式的共性与差异.(重点) 2. 类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，研究不等式的基本性质，掌握不等式的性质.(难点) （1）不等关系 （2）不等式 （3）不等式的性质 知识点1：不等关系 1．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 知识点2：比较大小 1．两个实数大小的比较 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 知识点3：等式性质与不等式性质 1．等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 题型1：用不等式表示不等关系 【典例1】（23-24高一上·全国·课后作业）用不等式表示下列关系. (1)为实数，而且大于1不大于6； (2)与的平方和不小于2且不大于10. 【变式1-1】（23-24高一上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【变式1-2】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 题型2：比较两数（式）的大小关系 角度1：作差法比较大小关系 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）若a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，则a与b的大小关系为 ． 【变式2-1】（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式2-2】（23-24高一上·重庆长寿·期末）设，为正数，且，记，，则（    ） A． B． C． D．，大小关系不确定 【变式2-3】（24-25高一上·上海·假期作业）（1） ;    （2） ; （3） ;      （4） ，; （5） 角度2：作商法比较大小关系 【典例4】，则的大小关系为 ． 【变式4-1】（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 【变式4-2】设，比较与的大小 【变式4-3】试比较下列组式子的大小： (1)与，其中； (2)与，其中，； (3)与，． 题型3：不等式性质的应用 角度1：运用不等式的性质判断命题的真假 【典例4】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4-1】（23-24高一上·北京·期中）能说明“若，则”为假命题的一组的值依次为 ; ． 【变式4-2】对于任意实数，，，，命题 ①若 ，，则 ；②若 ，则；③若 ，则 ；④若 ，则 ；⑤若 ，，则．其中真命题的个数是 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-3】已知a、b都是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 角度2：运用不等式的性质证明不等式 【典例5】（23-24高一上·河北保定·阶段练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【变式5-1】（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）（1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 【变式5-2】（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【变式5-3】（23-24高一上·安徽·阶段练习）（1），其中x，y均为正实数，比较a，b的大小； （2）证明：已知，且，求证： 角度3：运用不等式的性质求代数式的取值范围 【典例6】（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（多选）（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·全国·假期作业）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高一下·江西宜春·开学考试）设，定义运算“”和“”如下：，若正数m，n，p，q满足，则（    ） A． B． C． D． 题型4：不等式在实际问题中的应用 【典例7】（22-23高一上·广东·期末）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积与地板面积分别为，． (1)若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为，求这所公寓的窗户面积至少为多少平方米； (2)若同时增加窗户面积和地板面积各，判断这所公寓的采光效果是否变好了，并说明理由． 【变式7-1】（22-23高一上·湖北武汉·阶段练习）不等关系是数学中一种最基本的数量关系.请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题： (1)已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式 (2)甲每周都要去超市购买某种商品，已知第一周采购时价格是p1，第二周采购时价格是p2.现有两种采购方案，第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品，第二种方案是每次去采购用的钱数相同.哪种采购方案更经济，请说明理由. 【变式7-2】（22-23高一上·广东东莞·阶段练习）（1）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立． （2）东东和华华拿着钱去超市买糖，超市里面提供两种糖：种糖每千克元，种糖每千克元（两种糖价格不相等）.东东买了相同质量的两种糖，华华买了相同价钱的两种糖.请问两人买到糖的平均价格分别是多少？谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格物品的总价钱物品的总质量） 【变式7-3】（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好. (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？ (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请证明你的结论. 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 等式性质与不等式（解析版） 知识点1：不等关系 2 知识点2：比较大小 2 知识点3：等式性质与不等式性质 2 题型1：用不等式表示不等关系 2 题型2：比较两数（式）的大小关系 4 角度1：作差法比较大小关系 4 角度2：作商法比较大小关系 5 题型3：不等式性质的应用 8 角度1：运用不等式的性质判断命题的真假 8 角度2：运用不等式的性质证明不等式 9 角度3：运用不等式的性质求代数式的取值范围 12 题型4：不等式在实际问题中的应用 13 学习目标导航 关键词 1. 梳理等式的性质，理解不等式的概念，理解等式与不等式的共性与差异.(重点) 2. 类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，研究不等式的基本性质，掌握不等式的性质.(难点) （1）不等关系 （2）不等式 （3）不等式的性质 知识点1：不等关系 1．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 知识点2：比较大小 1．两个实数大小的比较 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 知识点3：等式性质与不等式性质 1．等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 题型1：用不等式表示不等关系 【典例1】（23-24高一上·全国·课后作业）用不等式表示下列关系. (1)为实数，而且大于1不大于6； (2)与的平方和不小于2且不大于10. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）不大于即小于等于，用符号可表示为，即； （2）不小于即大于等于，平方和可表示为，即. 【详解】（1）为实数且大于1可表示为，不大于6可表示为， 所以用不等式可表示为； （2）与的平方和不小于2可表示为，不大于10可表示为； 所以用不等式可表示为. 【变式1-1】（23-24高一上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【答案】C 【分析】利用不等式表示不等关系逐个选项判断即可. 【详解】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错； 对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错； 对于C，变量不小于可表示为“”，C正确； 对于D，变量不超过可表示为“”，D错. 故选：C 【变式1-2】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知列出不等式，化简即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以有. 故选：B. 【变式1-3】（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据总时长小于1列不等式，即汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时即得． 【详解】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即， 故选：D． 题型2：比较两数（式）的大小关系 角度1：作差法比较大小关系 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）若a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，则a与b的大小关系为 ． 【答案】a＜b 【详解】解析：因为b－a＝2（x＋2）2－（x＋1）（x＋3）＝2x2＋8x＋8－（x2＋4x＋3）＝x2＋4x＋5＝（x＋2）2＋1＞0，所以a＜b. 【考查意图】作差比较法比较大小． 【变式2-1】（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】利用作差法分析判断. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 【变式2-2】（23-24高一上·重庆长寿·期末）设，为正数，且，记，，则（    ） A． B． C． D．，大小关系不确定 【答案】C 【分析】利用作差法判断即可. 【详解】， ∵，为正数，且，，则， ∴， ∴， 故选：C 【变式2-3】（24-25高一上·上海·假期作业）（1） ;    （2） ; （3） ;      （4） ，; （5） 【答案】 < < < > > 【分析】利用作差法和分母有理化的方法即可比较大小. 【详解】（1）因为， 所以; （2）因为， 所以; （3）因为， 所以; （4）， 因为，所以， 则; （5）， 因为，所以， 则. 故答案为:（1）;（2）;（3）;（4）;（5）. 角度2：作商法比较大小关系 【典例4】，则的大小关系为 ． 【答案】≥ 【分析】用作商法比较的大小关系，化简即可得结果. 【详解】因为， 则 由 所以 故答案为： 【变式4-1】（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 ， 所以. 【变式4-2】设，比较与的大小 【答案】 【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可. 【详解】， ， ， . 【变式4-3】试比较下列组式子的大小： (1)与，其中； (2)与，其中，； (3)与，． 【答案】(1); (2); (3). 【分析】(1)通过比较与的大小来确定与的大小； (2)通过作差法来比较的大小； (3) 通过作差法或作商法比较与的大小. 【详解】（1）解：，， 因为， 所以， 即； （2）解： ． 因为，，所以，， 所以， 即； （3）方法一（作差法） ． 因为，所以，，，． 所以， 所以． 方法二（作商法） 因为，所以，，， 所以， 所以． 题型3：不等式性质的应用 角度1：运用不等式的性质判断命题的真假 【典例4】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据题意，结合不等式的基本性质，以及特例和作差比较法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，例如：，满足，但，所以A不正确； 对于B中，例如：，满足，但，所以B不正确； 对于C中，由， 因为，可得且，所以，所以C正确； 对于D中，由，可得，可得， 所以，所以D不正确. 故选：C. 【变式4-1】（23-24高一上·北京·期中）能说明“若，则”为假命题的一组的值依次为 ; ． 【答案】 1（答案不唯一） （答案不唯一，只要或或均可） 【分析】根据不等式的性质判断． 【详解】若，则由，因此假命题时，只要满足或或即可，如， 故答案为：1；．（答案不唯一） 【变式4-2】对于任意实数，，，，命题 ①若 ，，则 ；②若 ，则；③若 ，则 ；④若 ，则 ；⑤若 ，，则．其中真命题的个数是 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，可通过举反例的方式判断命题真假. 【详解】命题①若 ，，当时， ，故命题①为假命题； 命题②若 ，当时，则，故命题②为假命题； 命题③若 ，则，正确，故命题③为真命题； 命题④若 ，当时，，故命题④为假命题； 命题⑤若 ，，当，，，时，则，故命题⑤为假命题; 有1条真命题. 故选：A. 【变式4-3】已知a、b都是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】利用不等式性质，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，不等式成立，而当时，满足，不等式不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 角度2：运用不等式的性质证明不等式 【典例5】（23-24高一上·河北保定·阶段练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据表示出，结合的符号可证结论； （2）利用作差比较法得，进而可证结论. 【详解】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 【变式5-1】（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）（1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）作差法比较大小； （2）根据不等式的性质可证. 【详解】（1）， 则； （2）因为，且，则， 则，则，则， 则， 则，又 则. 命题得证. 【变式5-2】（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再根据不等式的性质证明； （2）利用作差法证明即可. 【详解】（1），即， ，则. （2）， ， ， 则， 【变式5-3】（23-24高一上·安徽·阶段练习）（1），其中x，y均为正实数，比较a，b的大小； （2）证明：已知，且，求证： 【答案】（1） ；（2）证明见解析 ． 【分析】（1）利用作差法判断即可； （2）根据不等式的性质证明即可． 【详解】（1）因为， 作差得 ， 因为，，所以，， 所以，即； （2）因为，且，，， 所以， 所以 所以， 所以， 所以， 故. 角度3：运用不等式的性质求代数式的取值范围 【典例6】（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用待定系数法求得，利用不等式的性质即可求的取值范围． 【详解】设， 所以，解得，即可得， 因为，， 所以， 故选：A． 【变式6-1】（多选）（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由不等式的性质直接求解. 【详解】因为，，则，，故A、C正确； 由题，故，B错误； ，则，故，D正确； 故选：ACD. 【变式6-2】（24-25高一上·全国·假期作业）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式倒数性质求的范围，然后同向不等式相乘可解． 【详解】因为，所以，， 又，所以. 故选：D. 【变式6-3】（23-24高一下·江西宜春·开学考试）设，定义运算“”和“”如下：，若正数m，n，p，q满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取特值验证即可排除错误选项. 【详解】对于AC，不妨取，则，排除AC； 对于B，取，则，可排除B； 对于D，假设且，则（矛盾）， 故m，n至少有一个大于等于2，所以. 假设且，则（矛盾）， 故p，q至少又一个小于等于2，故. 综上，D正确. 故选：D 题型4：不等式在实际问题中的应用 【典例7】（22-23高一上·广东·期末）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积与地板面积分别为，． (1)若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为，求这所公寓的窗户面积至少为多少平方米； (2)若同时增加窗户面积和地板面积各，判断这所公寓的采光效果是否变好了，并说明理由． 【答案】(1)20； (2)变好了，详细见解析. 【分析】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为，则，化简得即得解； （2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积，再比较和的大小即得解. 【详解】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为，则， 所以，所以，所以. 所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米. （2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：， 则. 因为，所以. 又因为，所以. 因此，即. 所以窗户和地板同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了. 【变式7-1】（22-23高一上·湖北武汉·阶段练习）不等关系是数学中一种最基本的数量关系.请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题： (1)已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式 (2)甲每周都要去超市购买某种商品，已知第一周采购时价格是p1，第二周采购时价格是p2.现有两种采购方案，第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品，第二种方案是每次去采购用的钱数相同.哪种采购方案更经济，请说明理由. 【答案】(1)，证明见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意列出不等式，然后用作差法证明即可； （2）根据题意表示出来每种方案的平均价格，然后用作差法比较大小，即可判断哪种方案经济. 【详解】（1）该不等式为 证明：因为，所以，于是. （2）若按第一种方案采购，每次购买量为，则两次购买的平均价格为， 若按第二种方案采购，每次用的钱数是，则两次购买的平均价格为， 又 ， 所以当时，两种方案一样； 当时，第二种方案比较经济. 【变式7-2】（22-23高一上·广东东莞·阶段练习）（1）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立． （2）东东和华华拿着钱去超市买糖，超市里面提供两种糖：种糖每千克元，种糖每千克元（两种糖价格不相等）.东东买了相同质量的两种糖，华华买了相同价钱的两种糖.请问两人买到糖的平均价格分别是多少？谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格物品的总价钱物品的总质量） 【答案】（1）不等式为，证明见解析；（2）答案见解析. 【分析】（1）根据糖在糖水中所占的比例的变化可得出不等式，再利用作差法可证得结论成立； （2）求出两人买到的糖的平均价格，利用作差法可得出结论. 【详解】解：（1）克糖水中含有克糖，则糖在糖水中所占的比例为， 再添加克糖（假设全部溶解），则糖在糖水中所占的比例， 糖水变甜了，说明加糖后，糖在糖水中所占的比例变大了，即有，证明如下： ，则； （2）对于东东而言，他买到的糖的平均价格为（元/千克）， 对于华华而言，设华华买两种糖的费用均为元，则他买到的糖的总质量为千克， 故华华买到的糖的平均价格为（元/千克）， ，即东东买到的糖的平均价格较高. 【变式7-3】（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好. (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？ (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请证明你的结论. 【答案】(1) (2)变好，证明见详解 【分析】（1）设该公寓窗户面积为，依题意列出不等式组求解可得； （2）记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c，表示出增加面积前后的比值作差比较即可作出判断. 【详解】（1）设该公寓窗户面积为，则地板面积为， 依题意有，解得， 所以，这所公寓的窗户面积至少为. （2）记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c. 由题可知，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 因为，且， 所以，即， 所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了. 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$