北京市石景山区2023-2024学年高二下学期期末数学试卷

石景山区2023—2024学年第二学期高二期末试卷 数 学 本试卷共6页，满分为100分，考试时间为120分钟。请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知命题：“，”，则为（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3．已知等差数列，，，则等于（    ） A． B．0 C．2 D．5 4．已知事件A，B相互独立，，，则等于（ ） A． B． C． D． 5．在数列中，，（），则的值为（    ） A． B． C． D． 6．函数在点处的切线与直线垂直，则（     ） A． B． C． D． 7．已知函数，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知数列是等比数列，其前项和为，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．若函数有且仅有两个零点，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 10．数列的通项公式为（），前项和为，给出下列三个结论： ①存在正整数，使得； ②存在正整数，使得； ③记，则数列有最大项和最小项. 其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分． 11.函数的定义域为 . 12．已知函数的定义域为，为其导函数，函数的图象如图所示，且，，则不等式的解集为 ． 13．已知数列是等比数列，且，则 . 14．已知函数的导函数为，则 ，过点且与曲线相切的直线方程为 . 15.已知，函数有两个极值点，给出下列四个结论： ①可能是负数； ②； ③为定值； ④若存在，使得，则. 其中所有正确结论的序号是___________． 3、 解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．(本小题满分8分) 已知函数． （Ⅰ）求函数的极值； （Ⅱ）若对都有恒成立，求实数的取值范围． 17．（本小题满分8分） 已知等差数列的前项和为， 从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，证明数列的前项和． 条件①，条件②，条件③. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题满分8分） 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望； （Ⅲ）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的概率. 19．(本小题满分8分) 已知函数. （Ⅰ）求证：当时，； （Ⅱ）当时，若曲线在曲线的上方，求实数a的取值范围. 20． (本小题满分8分) 若数列对任意的，均满足，则称为“速增数列”. （Ⅰ）已知数列是首项为1公比为3 的等比数列，判断数列是否为“速增数列”？说明理由； （Ⅱ）若数列为“速增数列”，且任意项，，，，求正整数的最大值. 高二数学试卷第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石景山区2023—2024学年第二学期高二期末 数学试卷答案及评分参考 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分． 题号 11 12 13 14 15 答案 , ②③④ 3、 解答题：本大题共5个小题，共40分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分8分) 解：（Ⅰ）由，所以. …………2分 得或. 当变化时，在各区间上的正负，以及的单调性如下表所示. ＋ 0 － 0 ＋ ↗ 极大 ↘ 极小 ↗ 所以 当时取极大值； 当时取极小值. …………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数在上单调递减，在上单调递增， 则在上的最小值． 对都有恒成立，所以. …………8分 17．(本小题满分8分) （Ⅰ）由于是等差数列，设公差为， 当选①②时：，解得， 所以的通项公式，． 选①③时，解得， 所以的通项公式，． 选②③时，解得， 所以的通项公式，． …………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， 所以， 所以， ， . …………8分 18．(本小题满分8分) 解：（Ⅰ）依题意可得，解得；…………2分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得高度在和的频率分别为和，所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3，所以可取0，1，2. 所以，， 所以的分布列为： 所以 …………6分 （Ⅲ）从所有花卉中随机抽取株，记至少有株高度在为事件，则. …………8分 19．(本小题满分8分) （Ⅰ）令（）， . 由得，于是，故函数是上的增函数. 所以当时，，即； …………4分 （Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，满足题意. 令，. 当时，若，，则在上是减函数. 所以时，，不合题意. 当时，，则在上是减函数，所以，不合题意. 综上所述，实数a的取值范围. …………8分 20．(本小题满分8分) 解：（Ⅰ）数列是“速增数列”，理由如下： 由，则，， ，故， 所以数列是“速增数列”. …………4分 （Ⅱ）数列为“速增数列”，，，，任意项， 时，. 即， 当时，，当时，， 故正整数k的最大值为63. …………8分 （以上解答题，若用其它方法，请酌情给分） 高二数学答案第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$