2.4用因式分解法求解一元二次方程 课件-2023-2024学年北师大版数学九年级上册

4 用因式分解法求解一元二次方程 第二章 一元二次方程 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 因式分解法 选择适当的方法解一元二次方程 知识点 因式分解法 知1－讲 1 1. 因式分解法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解. 这种解一元二次方程的方法称为因式分解法. 体现了转化思想. 知1－讲 2. 用因式分解法求解一元二次方程的理论依据 若两个因式的积为0，则这两个因式至少有一个为0，即若ab= 0，则a=0 或b=0. 达到降次的目的. 知1－讲 3. 用因式分解法求解一元二次方程的基本思想 通过因式分解实现“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程. 知1－讲 4. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 知1－讲 5. 因式分解法常见应用类型 常见类型 因式分解 方程的解 x2＋bx=0 x(x＋b)=0 x1=0，x2=－b x2－a2=0 (x＋a)(x－a)=0 x1=a，x2=－a x2±2ax＋a2=0 (x±a)2=0 x1=x2= a x2＋(p＋q)x＋pq=0 (x＋p)(x＋q)=0 x1=－p，x2=－q 知1－讲 特别解读 ★用因式分解法解一元二次方程的关键： 1.将方程的右边化为0; 2.熟练掌握多项式因式分解的方法; 3.方程两边不能同时除以含有未知数的相同整式. ★常用的因式分解的方法： 1.提公因式法：ma＋mb＋mc=m(a＋b＋c)； 2.平方差公式法：a2－b2=(a＋b)(a－b)； 3.完全平方公式法：a2±2ab＋b2=(a±b)2； 4.(拓展) 二次三项式型：x2＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b). 知1－练 例 1 用因式分解法解下列方程： 解题秘方：按方程的特点选择恰当的因式分解的方法. 知1－练 (1)(x－5)(x－6)=x－5； 解：移项，得(x－5)(x－ 6)－(x－5)=0. 因式分解，得(x－5)(x－7)=0. ∴ x－5 =0 或x－7=0. ∴ x1=5，x2=7. 知1－练 (2)(2x＋1)2=(3－x)2； 解：原方程可化为(2x＋1)2－(3－x)2=0. 因式分解，得(2x＋1＋3－x)(2x＋1－3＋x)= 0， 即(x＋4)(3x－2)=0. ∴ x＋4 = 0 或3x－2=0. ∴ x1=－4，x2= . 知1－练 (3)3x2－18x=－27. 解：原方程可化为3(x2－6x＋9)= 0， 即3(x－3)2= 0，∴ x1=x2=3 . 知1－练 1-1.[中考·牡丹江] 一元二次方程(x＋1)2=2(x＋1)的解为( ) A. x=2 B. x=－1 C. x=2 或x=－1 D. x=1 或x=－1 D 知1－练 1-2. 解下列方程： (1)x2－4x－5=0； 解：x2－4x－5＝0，(x－5)(x＋1)＝0， ∴x－5＝0或x＋1＝0.解得x1＝5，x2＝－1. 知1－练 (2)(2x＋3)2=(3x －2)2. 知2－讲 知识点 一元二次方程的一般形式 2 一元二次方程主要有四种解法，它们的适用范围、理论依据及关键步骤如下表： 知2－讲 方法 适用范围 理论依据 关键步骤 直接开平方法 形如(x＋m)2=n(n ≥ 0)的方程 平方根的意义 开方 配方法 所有一元二次方程 完全平方公式 配方 公式法 所有一元二次方程 配方法 代入求根公式 因式分 解法 一边是0，另一边是易分解成两个一次因式的乘积的方程 若两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个因式为0 因式分解 知2－讲 特别解读 选择解法的步骤：先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法.若无特殊说明，一般不使用配方法，当二次项系数为1 、一次项系数为偶数时，选择配方法解一元二次方程比较方便. 知2－练 用适当的方法解下列方程： 例2 解题秘方：根据方程的特点，选择适当的方法解一元二次方程. 知2－练 (1)(x－1)2=6； 解：(直接开平方法)两边开平方，得x－1=± ， ∴ x1=1＋ ，x2=1－ . 知2－练 (2)x2－2x=2x＋1； 解：(配方法)移项并合并同类项，得x2－4 x =1. 配方，得x2－4 x＋4 =1＋4，即(x－2)2=5 . 两边开平方，得x－2=± . ∴ x1=2＋ ，x2=2－ . 注意：配方时，在保证二次项系数为1 的前提下，方程两边同时加的是一次项系数一半的平方. 知2－练 (3)x2＋3x－ =0； 解：(公式法)原方程可变形为2x2＋18 x－1= 0，这里 a=2，b=18，c=－1.∵Δ=182－4×2×(－1)=332 >0， ∴ x ==. ∴ x1=，x2=. 知2－练 (4)(x－5)2=2(x－5). 解：(因式分解法)移项，得(x－5)2－2(x－5)=0， ∴(x－5)(x－5 －2)= 0，即(x－5)(x－7)=0. ∴ x－5 = 0，或x－7=0. ∴ x1=5，x2=7. 易错：千万不能将方程两边同时除以(x－5) ，否则方程会漏掉x=5 这一根. 知2－练 2-1. 解下列方程： ①(x－2)2=5，② x2－2x＋1=0，③ x2＋ x－3=0. 适当的方法为( ) A. ①直接开平方法，② 因式分解法， ③公式法 B. ①因式分解法，②公式法，③配方法 C. ①公式法，②配方法，③因式分解法 D. ①直接开平方法，② 公式法， ③ 因式分解法 A 知2－练 2-2. 用适当的方法解下列方程： (1)9(x－1)2=5； 知2－练 (2)(x－3)2＋x2=9； 解：(x－3)2＋x2＝9，(x－3)2＋x2－9＝0， (x－3)2＋(x＋3)(x－3)＝0， (x－3)(x－3＋x＋3)＝0， 2x(x－3)＝0，∴x1＝3，x2＝0. 知2－练 (3)x2－ x－1=0. 用因式分解法解一元二次方程 最直接的方法 用合适的方法解一元二次方程 最灵活的方法 硬规定的方法 公式法 因式分解法法 配方法 提公因式法 公式法 解：(2x＋3)2＝(3x－2)2， (2x＋3)2－(3x－2)2＝0， (2x＋3＋3x－2)(2x＋3－3x＋2)＝0， 即(5x＋1)(5－x)＝0， ∴5x＋1＝0或5－x＝0.解得x1＝－，x2＝5. 解：9(x－1)2＝5，(x－1)2＝， x－1＝±，x＝±＋1， 即x1＝＋1，x2＝－＋1. 解：这里a＝1，b＝－ ，c＝－1. ∵Δ＝b2－4ac＝2＋4＝6>0， ∴方程有两个不相等的实数根，x＝， 即x1＝，x2＝. $$