2.3.用公式法求解一元二次方程 课件2023-2024学年-北师大版数学九年级上册

3 用公式法求解一元二次方程 第二章 一元二次方程 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 用公式法解一元二次方程 一元二次方程根的判别式 知识点 用公式法解一元二次方程 知1－讲 1 1. 求根公式：对于一元二次方程ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)，当b2－4ac ≥ 0 时，它的根是x = ，这个式子称为一元二次方程的求根公式. 2. 公式法：用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 知1－讲 3. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 (1)整理：把一元二次方程整理为一般形式，并确定a，b，c 的值. (2)求值：求b2－4ac 的值. (3)代入：若b2－4ac ≥ 0，则把a，b 及b2－4ac 的值代入一元二次方程的求根公式x = 中，求出x1，x2；若b2－4ac < 0，则方程没有实数根. 知1－讲 特别提醒 1.公式法是解一元二次方程的通用解法(也称万能法)，它适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法. 2.只有当方程ax2＋bx＋c=0 中的a ≠ 0，b2－4ac ≥0 时，才能使用求根公式. 知1－练 例 1 用公式法解下列方程： 解题秘方：按照公式法解一元二次方程的步骤求解. 注意：求b2－4ac 的值时，若代入的字母的值是负数，则需将其用括号括起来，不能漏掉“－”号. 知1－练 (1)2x2－7x＋4=0； 解：这里a=2，b=－7，c=4 . ∵ b2－4ac=(－7)2－4×2×4 =17>0， ∴ x= ，即x1=，x2=. 知1－练 (2)3x2－2 x=－1； 解：将原方程化为一般形式，得3x2－2 x＋1=0. 这里a=3，b=－2 ，c=1. ∵ b2－4ac=(－2 )2－4×3×1= 0， ∴ x1=x2= =. 知1－练 (3)x2－2x＋3=0. 解：这里a=1，b=－2，c=3 . ∵ b2－4ac=(－2)2－4×1×3=－8<0，∴方程无实数根. 知1－练 知1－练 1-1. 用公式法解下列方程： (1)y2－2y－2=0； 知1－练 (2)3x2－2x=4； 知1－练 (3)x2＋6=2(x＋1)； 解：原方程可化为x2－2x＋4＝0. 这里a＝1，b＝－2，c＝4. ∵b2－4ac＝－12<0，∴方程无实数根． 知1－练 (4)5x2－2 x＋1=0. 知2－讲 知识点 一元二次方程根的判别式 2 1. 定义：一元二次方程ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)的根的情况可由b2－4ac 来判定. 我们把b2－4ac 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示，即Δ =b2－4ac. 知2－讲 2. 根的情况与根的判别式之间的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c=0 Δ=b2－4ac>0 方程有两个不相等的实数根 Δ=b2－4ac=0 方程有两个相等的实数根 Δ=b2－4ac<0 方程没有实数根 知2－讲 特别说明：(1)由Δ=b2－4ac 的符号可判定ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)的根的情况. 反之，由ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)的根的情况也可得到Δ=b2－4ac 的符号. (2)一元二次方程有实数根(或有两个实数根)包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时Δ=b2－4ac ≥ 0，切勿丢掉“等号”. 知2－讲 特别提醒 确定根的判别式时，需先将方程化为一般形式，确定a ，b，c 后再计算；使用一元二次方程根的判别式的前提是二次项系数不为0. 知2－练 对于任意实数k，关于x 的方程x2－2(k＋1)x－k2＋ 2k－1=0 的根的情况为( ) A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不等的实数根 D. 无法判断 例2 知2－练 思路导引： 解：∵ a=1，b=－2(k＋1)，c=－k2＋2k－1， ∴ Δ =b2－4ac=［－2(k＋1)］2－4×1×(－k2＋2k－1)=8＋8k2>0. ∴方程有两个不等的实数根. 当方程中的a，b，c含有字母时，求出Δ=b2－4ac 后，再对含字母的代数式进行分析，从而确定根的情况. 答案：C 知2－练 2-1. 一元二次方程x2－3x＋3=0 根的情况为( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能判定 C 知2－练 2-2.[中考· 河南] 关于x 的一元二次方程x2＋mx－8=0 的根的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 A 知2－练 [中考·锦州] 若关于x 的一元二次方程kx2－2x＋3=0 有两个实数根，则k 的取值范围是( ) A. k< B. k ≤ C. k< 且k ≠ 0 D. k ≤且k ≠ 0 例 3 知2－练 解题秘方：根据一元二次方程的定义及一元二次方程根的情况与根的判别式的关系即可解答. 解：∵ kx2－2 x＋3 = 0 为一元二次方程，∴ k ≠ 0， ∵该一元二次方程有两个实数根， ∴Δ=(－2)2－4 k×3 ≥ 0，解得k ≤. ∴ k ≤且k ≠ 0. 答案：D 知2－练 3-1.[中考· 眉山] 关于x 的一元二次方程x2－2x＋m－2=0 有两个不相等的实数根， 则m 的取值范围是( ) A. m< B. m>3 C. m ≤ 3 D. m<3 D 知2－练 工人师傅要用一根铁丝围成一个周长为56 cm 的矩 形框，请帮他解决以下问题： 例4 思路导引： 知2－练 (1)当矩形框的面积为180 cm2 时，长、宽分别为多少(长边为长，短边为宽)？ 解：设矩形框的长为x cm，则宽为(28 －x)cm. (1)依题意得x(28 －x)=18 0，即x2－28x＋180 = 0， 解得x1=10(舍去)，x2=18，∴28－x =28－18 =10 . ∴长为18 cm，宽为10 cm. 知2－练 (2)能围成面积为20 0 cm2 的矩形框吗？请说明理由. 解：不能. 理由如下： 若能围成面积为200 cm2的矩形框，则可列方程为x(28 －x)=200，即x2－28x＋200=0. ∵Δ=(－28)2－4×1×200=－16 <0， ∴原方程无实数根. ∴不能围成面积为200cm2 的矩形框. 知2－练 另解： 易得围成的矩形框的面积S=x(28－x)=－ (x－14)2＋196(cm2).∵－ (x－14)2≤0， ∴－ (x－14)2＋196≤196.∴当x=14时，S 最大=196cm2，即围成的矩形框的面积不可能是200 cm2. 知2－练 4-1. 【新视角 方案设计题】学校为了美化校园环境，计划在一块长为40 m， 宽为20 m 的矩形空地上新建一个长为9 m， 宽为7 m的矩形花圃. (1)若要在这块空地上设计一个矩形花圃，使它的面积比学校计划的面积多1 m2. 请给出你认为合适的三种不同的设计方案. 知2－练 解：学校计划新建的花圃的面积为9×7＝63(m2)，比它多1 m2的矩形面积为64 m2. 因此，可设计以下方案： 方案一：长和宽都为8 m； 方案二：长为10 m，宽为6.4 m； 方案三：长为20 m，宽为3.2 m. 知2－练 (2)在学校计划新建的矩形花圃周长不变的情况下， 矩形花圃的面积能否增加2 m2 ？ 如果能， 请求出矩形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由. 解：不能．理由如下： 假设在学校计划新建的矩形花圃周长不变的情况下，矩形花圃的面积能增加2 m2.计划新建的矩形花圃的周长为2×(9＋7)＝32(m)．设面积增加后的矩形花圃的长为x m，则宽为(16－x) m. 知2－练 根据题意，得x(16－x)＝9×7＋2. 整理，得x2－16x＋65＝0. ∵b2－4ac＝(－16)2－4×1×65＝－4<0， ∴此方程没有实数根． ∴假设不成立，即在学校计划新建的矩形花圃周长不变的情况下，矩形花圃的面积不能增加2 m2. 用公式法求解一元二次方程 根的判别式 用公式法解方程 关键 有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根 解：这里a＝1，b＝－2，c＝－2. ∵b2－4ac＝12>0， ∴y＝＝1±， 即y1＝1＋，y2＝1－. 解：原方程可化为3x2－2x－4＝0. 这里a＝3，b＝－2，c＝－4. ∵b2－4ac＝52>0. ∴x＝＝， 即x1＝，x2＝. 解：这里a＝5，b＝－2，c＝1. ∵b2－4ac＝0，∴x1＝x2＝＝. $$