2.1 认识一元二次方程 课件 2024-2025学年北师大版九年级数学 上册

1 认识一元二次方程 第二章 一元二次方程 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 一元二次方程的定义 一元二次方程的一般形式 根据实际问题列一元二次方程 一元二次方程的解(根)(拓展点) 用估算法求一元二次方程的近似解 知识点 一元二次方程的定义 知1－讲 1 1. 一元二次方程：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化成ax2＋bx＋c= 0(a，b，c 为常数，a ≠ 0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 等号两边都是关于未知数的整式的方程. 误区警示 1.a ≠ 0 是定义中不可缺少的重要组成部分，不可忽略. 知1－讲 2. 一元二次方程必须同时满足“三要素” (1)整式方程 (2)只含有一个未知数； (3)整理后未知数的最高次数是2． 注意：分母或根号内不能含有未知数 误区警示 2. 最高次数是2 的项的系数的取值范围不明确的方程不一定是一元二次方程，如：(m －2)·x2＋3x－8=0不一定是一元二次方程. 知1－练 例 1 下列方程：① x2＋y－6=0；② x2＋=2；③ x2－x－2=0；④ 2x2－3x=2(x2－2). 其中是一元二次方程的有______(填序号). ③ 知1－练 解析：①含有两个未知数；②不是整式方程； ③符合一元二次方程的“三要素”； ④整理后未知数的最高次数不是2 . 解题秘方：紧扣一元二次方程的“三要素”进行识别. 判断一个方程是否是一元二次方程，要根据原方程及整理后的方程进行判断. 知1－练 1-1. 如果方程(m－3)·xm2－7－x＋3=0 是关于x的一元二次方程， 那么m 的值为( ) A. ±3 B. 3 C. －3 D. 以上都不对 C 知2－讲 知识点 一元二次方程的一般形式 2 1. 一般形式：我们把ax2＋bx＋c= 0(a，b，c 为常数， a ≠ 0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c 分别称为二次项、一次项和常数项，a，b 分别称为二次项系数和一次项系数. 特别提醒 a ≠ 0 是方程ax2＋bx＋c=0为一元二次方程的必要条件；反之，如果方程ax2＋bx＋c=0为一元二次方程，那么必隐含a ≠ 0 这一条件. 知2－讲 知2－讲 图解：任何一元二次方程进行整理(去分母、去括号、移项、合并同类项)后都可以化为一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c= 0(a，b，c 为常数，a ≠ 0). 知2－讲 2. 特殊形式 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 ax2＋bx=0(a ≠ 0，b ≠ 0) a b 0 ax2＋c=0(a ≠ 0，c ≠ 0) a 0 c ax2=0(a ≠ 0) a 0 0 知2－练 【母题 教材P32随堂练习T2】 把下列一元二次方程转化成一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项： 例2 解题秘方：将原方程整理成ax2＋bx＋c= 0 的形式，分别写出a，b，c 的值即可. 知2－练 (1)(x＋1 )(x－2)=4； 解：整理方程，得x2－x－6=0. 其中二次项系数为1，一次项系数为－1，常数项为－6. 知2－练 (2) 2(x－3 )(x＋4)=x2－10； 解：整理方程，得x2＋2 x－14 =0. 其中二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为－14 . 知2－练 (3)(2x＋1 )(x－2)=5－3x. 解：整理方程，得2x2－7=0. 其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－7. 一次项及常数项都可为0. 知2－练 2-1. 将一元二次方程3x2－2=－4x 化成一般形式ax2＋bx＋c=0(a ＞ 0)，其中一次项和常数项分别是( ) A.－4，2 B.－4x，2 C.4x，－2 D.3x2，2 C 知2－练 2-2.[中考·牡丹江] 关于x 的一元二次方程(m－ 3)x2 ＋ m 2x =9x＋5 化为一般形式后不含一次项， 则m 的值为(　　) A.0 B.±3 C.3 D. － 3 D 知3－讲 知识点 根据实际问题列一元二次方程 3 从实际问题中抽象出一元二次方程的一般步骤 (1)审清题意，设出合适的未知数； (2)找出已知量与未知量之间的等量关系； (3)列出一元二次方程. 关键点 知3－讲 特别提醒 解决有单位的题目时，要注意各量的单位是否一致，若不一致，要先统一单位. 知3－练 【情境题 生活应用】2021 年－2023 年无锡居民人均可支配收入由6.30 万元增长至6.90 万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是( ) A. 6.30(1＋x)2=6.90 B. 6.30(1＋x2)=6.90 C. 6.30(1＋2x)=6.90 D. 6.30x2=6.90 例 3 知3－练 解题秘方：紧扣题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 解：根据2 0 21 年的人均可支配收入×(1＋ 平均增长率)2=2023 年的人均可支配收入，列出一元二次方程为6.30(1＋x)2=6.90. 答案：A 知3－练 3-1. 某公司举办了羽毛球比赛， 规定参赛的选手每两人之间比赛一场， 公司共安排了45 场比赛，设参赛选手有y 人， 则下列方程正确的是( ) A.y(y＋1)=45 B.y(y－1)=45 C.y(y－1)=45 D.y(y＋1)=45 C 知4－讲 知识点 一元二次方程的解(根)(拓展点) 4 1. 定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 2. 检验一元二次方程根的步骤 步骤1：将已知数值分别代入一元二次方程的左右两边 求值. 步骤2：若方程左右两边的值相等，则这个数是一元二 次方程的解(根)；否则，这个数不是一元二次方程的解(根) 知4－讲 特别提醒 如果一个数是一元二次方程的解(根)，那么这个数一定能使方程左右两边的值相等. 24 知4－练 判断x=2，x=3 是不是一元二次方程x2－x=6 的根. 例 4 解题秘方：紧扣一元二次方程根的定义进行判断，即把x=2 和x=3 分别代入方程，如果使方程左右两边相等，则为方程的解，否则不是. 知4－练 解：将x =2 代入方程，得左边=4 －2=2. ∵右边= 6，2 ≠ 6， ∴ x =2 不是原方程的根. 将x =3 代入方程，得左边=9－3 =6. ∵右边= 6，6 = 6， ∴ x =3 是原方程的根. 知4－练 4-1. 已知关于x 的一元二次方程x2－x＋k=0的一个根是2，则k 的值是( ) A.－2 B.2 C.1 D.－1 4-2. 若a 是方程2x2－x－3=0 的一个解， 则6a2－3a 的值为( ) A.3 B.－3 C.9 D.－9 A C 知5－讲 知识点 用估算法求一元二次方程的近似解 5 1. 一元二次方程的近似解：当x 取某一值时，代数式ax2＋bx＋c (a，b，c 为常数，a ≠ 0)的值无限接近 0 时，x 的值可以作为一元二次方程ax2＋bx＋c= 0 的近似解． 2. 用估算法求一元二次方程的近似解的步骤 (1)先列表，再列举出几组x 的值，并分别计算ax2＋bx＋c 的值； (2)在表中找出可能使ax2＋bx＋c 的值等于0 的x 的取值范围； (3)在(2)中确定的取值范围内进一步列表、计算，估计取值范围，直到近似解符合题中精确度的要求为止. 知5－讲 29 知5－讲 特别提醒 估算一元二次方程的解，只是估算“解”的取值范围，比如在哪两个数之间. 30 知5－练 【母题 教材P35习题T2】有一根长为7.2 m 的木料，做成如图2-1-1 的窗框(宽< 高)，当窗框的宽为多少时，这个窗框的面积约为2 m2 ？(不考虑木料加工时的损耗和中间木框所占的面积) 解题秘方：建立一元二次方程模型，紧扣列表取值法求一元二次方程的近似解. 例 5 知5－练 技巧点拨：利用“夹逼法”估算一元二次方程的近似解. 若已知两个数，一个数使ax2＋bx＋c<0，另一个数使ax2＋bx＋c>0，则一元二次方程ax2＋bx＋c= 0 的解介于这两个数之间. 利用上述方法进行类似操作，使得 ax2＋bx＋c 的值无限接近0，进而获得方程的近似解. 知5－练 解：设窗框的宽为x m，则窗框的高为m. 根据题意，得x·=2. 整理，得15x2－36 x＋20=0. 知5－练 列表估算方程的解： 由表知0 .8< x<0.9 或1.5 < x<1.6. 由宽< 高，得x< ，解得x<1.4 4 . 故1.5 < x<1.6 不符合题意，舍去. x 0.6 0.7 0.8 0.9 1 … 1.5 1.6 15x2－36x＋20 3.5 2.15 0.8 －0.25 －1 … －0.25 0.8 知5－练 继续列表计算： 故0.87< x<0.88. 因此，当窗框的宽大于0 .87 m 且小于0 .88 m 时，其面积约为2 m2 . x 0.85 0.86 0.87 0.88 15x2－36x＋20 0.237 5 0.134 0.033 5 －0.064 知5－练 5-1. 【母题 教材P33做一做】小明在解决问题“ 一块矩形铁片的面积为1 m2，且长比宽多3 m，求矩形铁片的长” 时是这样解的： 设铁片的长为x m， 则宽为(x－3)m，则可列方程为x(x－3)=1，整理得x2－3x－1=0. 小明列出方程后， 想知道铁片的长到底是多少， 知5－练 第一步： 所以 _____<x<_____. 第二步： 所以 _____<x<_____. －1 x 1 2 3 4 x2－3x－1 －3 －3 ______ ______ x 3.1 3.2 3.3 3.4 x2－3x－1 －0.69 －0.36 －0.01 0.36 3 3 4 3.3 3.4 知5－练 (1)请你帮小明完成未完成的部分. (2)通过以上探索， 你能估计出矩形铁片长的整数部分为_______， 十分位为 ________. 3 3 认识一元二次方程 一元二次方程 定义 一般 形式 解 (根) 方程 模型 $$