1.1菱形的性质与判定 课件-2023-2024学年北师大版数学九年级上册

1 菱形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 菱形的定义 菱形的性质 菱形的判定 菱形的面积 知识点 菱形的定义 知1－讲 1 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 如图1-1-1，在ABCD 中，若AB=BC( 或BC=CD 或CD=DA 或DA=AB)，则ABCD 是菱形. 两个条件缺一不可. 知1－讲 知1－讲 特别提醒 1.菱形的定义既是菱形的判定方法，又是菱形的性质. 2.菱形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是菱形. 知1－练 例 1 如图1-1-3，在△ ABC 中，CD 平分∠ ACB，CD 交AB 于点D，DE ∥AC，且DE 交BC 于点E，DF∥ BC，DF 交AC于点F. 四边形DECF 是菱形吗？为什么？ 解题秘方：紧扣菱形的定义中“两个条件”进行判断. 知1－练 解：四边形DECF 是菱形. 理由如下： ∵ DE∥ FC，DF∥ EC， ∴四边形DECF 为平行四边形. ∵ AC ∥ DE，∴∠ 2= ∠ 3. ∵ CD 平分∠ ACB，∴∠ 1= ∠ 2. ∴∠ 1= ∠ 3.∴ DE=EC. ∴平行四边形DECF 是菱形. 1-1. 如图， 在平行四边形ABCD 中， 点O 是AD 的中点， 连接CO 并延长交BA 的延长线于点E， 连接AC，DE. 知1－练 (1)求证： 四边形ACDE 是平行四边形； 知1－练 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD.∴∠BEC＝∠DCE. ∵点O是AD的中点，∴AO＝DO. 又∵∠AOE＝∠DOC， ∴△AEO≌△DCO(AAS)．∴AE＝DC. 又∵AE∥DC，∴四边形ACDE是平行四边形． (2)若AB=AC， 判断四边形ACDE 的形状，并说明理由. 知1－练 解：四边形ACDE是菱形．理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD. 又∵AB＝AC，∴CD＝AC. 又由(1)知四边形ACDE是平行四边形， ∴四边形ACDE是菱形． 知2－讲 知识点 菱形的性质 2 菱形是一种特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质. 菱形的性质可以从边、角、对角线、对称性这四个方面来研究. 总结如下表： 知2－讲 图形 性质 数学表达式 边 对边平行 ∵四边形ABCD 是菱形， ∴ AB ∥ CD，AD ∥ BC 四条边相等 ∵四边形ABCD 是菱形， ∴ AB=BC=CD=AD 角 对角相等 ∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ ABC= ∠ ADC， ∠ BCD= ∠ DAB 知2－讲 图形 性质 数学表达式 对 角 线 对角线互相 垂直 ∵四边形ABCD 是菱形， ∴ BD ⊥ AC 每条对角线 平分一组对 角(拓展) ∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ BAC= ∠ DAC= ∠ BCA=∠ DCA，∠ ABD= ∠ CBD= ∠ ADB=∠ CDB 知2－讲 图形 性质 数学表达式 对 称 性 是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线 是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 知2－讲 特别提醒 1.菱形的性质可以用来证明线段相等、角相等以及直线的平行、垂直等关系. 2.由菱形的性质与勾股定理的联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于两条对角线长一半的平方和. 3.如果菱形的一个内角为60 °，那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形. 知2－练 如图1-1-4，菱形ABCD 的对角线相交于点O，延长AB 至点E，使BE=AB，连接CE，∠E=50°，求∠ BAO 的度数． 例2 知2－练 思路导引： 知2－练 解：∵四边形ABCD 是菱形，∴ AB=CD，AB∥ CD. 又∵ BE=AB，∴ BE=CD.∴四边形BECD 是平行四边形. ∴ BD∥ CE. ∴∠ABO= ∠E=50°. 又∵四边形ABCD 是菱形，∴ AC⊥ BD. ∴∠ AOB=90°. ∴∠ BAO=180 °－∠ AOB－∠ ABO=40°． 知2－练 2-1. 如图， 在菱形ABCD 中， ∠ BAD= 80 °，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F，E 为垂足，连接DF， 则∠ CDF 的度数为________. 60° 知2－练 如图1-1-5，四边形ABCD 是菱形，对角线AC，BD 相交于点O，AC=6，BD=8，点E 是边AD 上一点，连接OE，若OE=DE，求OE 的长. 例 3 知2－练 解题秘方：利用菱形的性质可得AC⊥ BD，OA=AC=3，OD= BD=4. 在Rt △ OAD 中，由勾股定理可求得AD=5，最后利用余角的性质可证 ∠ OAE= ∠ AOE，进而可得AE=OE=DE，即可求解. 知2－练 解：∵四边形ABCD 是菱形，AC= 6，BD=8， ∴ AC⊥ BD，OA= AC=3，OD= BD=4. ∴∠ AOE＋ ∠ DOE=90°= ∠ OAE＋∠ ADO， AD= = =5. ∵ OE=DE，∴∠ EOD= ∠ EDO. ∴∠ OAE= ∠ AOE. ∴ AE=OE=DE. ∴ OE= AD=． 知2－练 3-1.[中考· 安徽] 如图，在菱形ABCD 中，AB=1， ∠ DAB=60°，则AC 的长为( ) A. B.1 C. D. 3 D 知3－讲 知识点 菱形的判定 3 知3－讲 元 素 判定 文字语言 符号语言 图形 边 定义法 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 在ABCD 中， ∵ AB=BC， ∴ ABCD 是菱形 定理 四边相等的四 边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA， ∴四边形ABCD 是菱形 对 角 线 定理 对角线互相垂 直的平行四边 形是菱形 在ABCD 中， ∵ AC ⊥ BD， ∴ ABCD 是菱形 或AB=AD 或BC=CD或AD=CD，即一组邻边相等 知3－讲 知3－讲 特别提醒 ★菱形的判定定理和性质定理是互逆定理. ★判定菱形的常见思路: 四边形 平行四边形 知3－练 【母题 教材P7习题T1】如图1-1-7，在平行四边形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，过点O 作直线EF⊥ BD，分别交AD，BC 于点E 和点F，连接BE，DF. 求证：四边形BEDF 是菱形. 例4 解题秘方：紧扣对角线垂直这一条件，从判定平行四边形入手判定菱形. 知3－练 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ OB=OD，AD∥ BC. ∴∠ EDO= ∠ FBO，∠ OED= ∠ OFB. ∴△ OED ≌△ OFB(AAS).∴ DE=BF. 又∵ DE∥ BF，∴四边形BEDF 是平行四边形. 又∵ EF⊥ BD，∴四边形BEDF 是菱形. 知3－练 4-1.[中考· 永州] 如图，已知四边形ABCD是平行四边形， 其对角线相交于点O，OA=3，BD=8，AB=5. 知3－练 (1)△ AOB 是直角三角形吗？ 请说明理由. 知3－练 (2)求证： 四边形ABCD 是菱形． 证明：由(1)知∠AOB＝90°，∴AC⊥BD. ∴平行四边形ABCD是菱形． 知3－练 如图1-1-8，在四边形ABCD 中，AD∥ BC，AB=AD．分别以B，D 为圆心，大于 BD 长为半径画弧，两弧交于点M. 画射线AM 交BC 于E，连接DE． 求证：四边形ABED 为菱形. 解题秘方：连接BD，根据题意得出AM 为线段BD 的垂直平分线，从而证得四条边相等，进而判定菱形． 例 5 知3－练 证明：如图1-1-8，连接BD. 根据题意可得AM 为线段BD 的垂直平 分线，即BD⊥ AE，BE=DE. ∵ AD∥ BC，AB=AD， ∴∠ ADB= ∠ DBE，∠ ABD= ∠ ADB. ∴∠ ABD= ∠ DBE.∵ BD⊥ AE，∴ AB=BE. ∴ AD=AB=BE=DE.∴四边形ABED 为菱形. 知3－练 5-1. 如图，在△ ABC中，AB=AC， ∠ B=60°，∠ FAC，∠ ECA是△ ABC 的两个外角，AD 平分∠ FAC，CD平分∠ ECA． 求证：四边形ABCD 是菱形. 知3－练 证明：∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形． ∴∠BAC＝60°，∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC. ∴∠FAC＝120°，∠ACE＝120°. 又∵AD平分∠FAC，CD平分∠ECA， ∴∠DAC＝60°，∠DCA＝60°.∴∠D＝60°. ∴△ADC是等边三角形．∴AD＝AC＝DC. ∴AB＝BC＝AD＝DC.∴四边形ABCD 是菱形． 知4－讲 知识点 菱形的面积 4 公式由来 文字语言 图示 符号语言 菱形的面积公式 菱形是平行四边形 菱形的面积= 底× 高 S 菱形ABCD=BC·AE 菱形的对角线互相垂直 菱形的面积= 对角线乘积的一半 S 菱形ABCD= AC·BD 知4－讲 特别解读 推导过程(方法不唯一)： S菱形ABCD=S△ ABC＋S△ ADC =AC·OB＋AC·OD =AC·(OB＋OD) =AC·BD. 拓展：对角线互相垂直的任意四边形的面积都等于两条对角线乘积的一半. 知4－讲 知4－练 【母题 教材P8例3】如图1-1-9，在菱形ABCD 中，对角线交于点O，∠ ABC 与∠ BAD 的度数比为1∶2，菱形ABCD 的周长是48. 求： 例 6 知4－练 (1)菱形ABCD 的两条对角线的长度； 解题秘方：根据题意及菱形的性质得出AO，BO 的长即可得出答案； 知4－练 解：∵在菱形ABCD 中，∠ ABC 与∠ BAD 的度数比为1∶ 2， ∴ AO=AC，BO= BD，AC⊥ BD，∠ ABC=60°. ∵菱形ABCD 的周长是4 8，∴ AB=BC=DC=AD=12 . 易知△ ABC 为等边三角形，∴ AC=AB=12 . ∴ AO= AC=6.∴ BO= = =6 . ∴ BD=2BO=12 . 知4－练 (2)菱形ABCD 的面积. 解：S 菱形ABCD= AC·BD= ×12×12 =72 . 解题秘方：直接利用菱形面积等于对角线乘积的一半，即可得出答案. 知4－练 方法总结： 菱形面积的两种计算方法 1. 一边与这条边上的高的乘积； 2. 两条对角线乘积的一半. 知4－练 6-1. 如图， 在菱形ABCD 中，对角线AC和BD 相交于点O，E 是BC 的中点，连接AE. 若∠ ABC=60°，BE=2 cm，求： 知4－练 (1)菱形ABCD 的周长； 解：∵E为BC的中点，BE＝2 cm， ∴BC＝2BE＝4 cm. ∴菱形ABCD的周长＝4BC＝16 cm. 知4－练 (2)菱形ABCD 的面积. 菱形的性质与判定 菱形 判定 轴对称性 定义 边的关系 对角线的关系 性质 边的性质 对角线的性质 解：△AOB是直角三角形．理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝8， ∴OB＝BD＝4. ∵OA＝3，OB＝4，AB＝5，∴OA2＋OB2＝AB2. ∴△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°. 解：∵AB＝BC，∠ABC＝60°，BC＝4 cm， ∴△ABC是等边三角形，AB＝4 cm. ∵E是BC的中点，∴AE⊥BC. ∴AE＝＝＝2(cm)． ∴S菱形ABCD＝BC·AE＝8 cm2. $$