1.2 矩形的性质与判定 课件- 2023--2024学年北师大版九年级数学上册

2 矩形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 矩形的定义 矩形的性质 直角三角形斜边上中线的性质 矩形的判定 知识点 矩形的定义 知1－讲 1 定义 图示 数学表达式 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 ∵在ABCD 中，∠ A=90°(或∠ B=90°或∠ C=90°或∠ D=90°)，∴ ABCD 是矩形 知1－讲 知1－讲 特别提醒 ★矩形必须具备两个条件： 1. 它是一个平行四边形； 2. 它有一个角是直角，这两个条件缺一不可. ★由矩形的定义知：矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形. 知1－练 例 1 【母题 教材P19习题T3 】如图1-2-1，在△ ABC 中，AB=AC，AD 是△ ABC 的角平分线，O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E， 使OE=OD，连接AE，BE．求证： 四边形AEBD 是矩形. 解题秘方：紧扣矩形定义的“两个条件”进行证明. 知1－练 解题通法：根据矩形的定义判定矩形的方法 知1－练 证明：∵ O 为AB 的中点，∴ OB=OA. 又∵ OE=OD，∴四边形AEBD 是平行四边形. ∵ AB=AC，AD 是△ABC 的角平分线，∴ AD⊥ BC. ∴∠ ADB=90°. ∴四边形AEBD 是矩形. 知1－练 1-1. 如图，在△ ABC中，D 是BC 的中点，E 是AD，BF 的中点，AB=AC. 求证： 四边形ADCF 是矩形. 知1－练 知2－讲 知识点 矩形的性质 2 矩形是一种特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质. 矩形的性质可以从边、角、对角线、对称性这四个方面来研究. 总结如下表： 知2－讲 图形 性质 数学表达式 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 对边相等 AB=CD，AD=BC 角 矩形的四个 角都是直角 ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ DAB= ∠ DCB= ∠ ADC=∠ ABC =90° 知2－讲 图形 性质 数学表达式 对 角 线 矩形的对角 线相等 ∵四边形ABCD 是矩形， ∴ AC=BD 对 称 性 是轴对称图形，它有两条对称轴，过每组对边中点的直线是其对称轴 是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 知2－讲 特别解读 矩形的其他性质： 1.矩形的任意一条对角线都把矩形分成两个全等的直角三角形，如Rt △ ADB ≌Rt△CBD，Rt△ ABC ≌Rt △ CDA. 2.矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，并且相对的两个等腰三角形全等，如S△ AOB=S △ AOD= S △ BOC=S△ COD=S 矩形ABCD，△ AOB ≌ △ COD，△ AOD ≌△COB. 知2－练 【母题 教材P13例1】如图1-2-2，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，∠ BOC=120° ，AB=6. 求： 例2 解题秘方：紧扣矩形的“角、对角线的性质”进行计算. 知2－练 (1)对角线的长； 解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴ AC=BD，OA= AC，OB= BD.∴ OA=OB. 又∵∠ BOC=12 0 °，∴∠ AOB=60°. ∴△ AOB 是等边三角形. ∴ OA=AB=6. ∴ BD=AC=2OA=2×6=12 . 知2－练 (2)BC 的长； 解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC= 90 °. ∴ BC= = =6 . 知2－练 (3)矩形ABCD 的面积. 解：S 矩形ABCD=AB·BC=6×6 =36 . 知2－练 2-1. 如图， 矩形ABCD 的两条对角线相交于点O， 若 ∠ AOD=60°，OB=4，则DC=_______ . 知2－练 2-2. 如图，直线EF 过矩形ABCD 对角线的交点O，分别交AB，CD 于点E，F，若AB=3，BC=4， 则阴影部分的面积为_______. 3 知2－练 如图1-2-3，已知四边形 ABCD 为矩形，AE ∥ BD，且交CB 的延长线于点E.求证：AE=AC. 解题秘方：紧扣矩形的性质和平行四边形的判定和性质进行证明． 例3 知2－练 技巧点拨：线段相等新证法矩形的对角线相等且互相平分，这给我们提供了证明线段相等的新法．当证明两条线段相等时，可通过等量代换将这两条线段转化为某个四边形的对角线，只要我们证明该四边形为矩形，就能得出线段相等． 知2－练 证法一：∵四边形ABCD 是矩形， ∴ AC=BD，AD∥ BC. ∵ AE ∥ BD，∴四边形AEBD 是平行四边形. ∴ AE=BD. ∴ AE=AC． 知2－练 证法二：∵四边形ABCD 是矩形， ∴ AC=BD，CO= AC，BO= BD. ∴ OB=OC.∴∠ OBC= ∠ OCB． 又∵ AE ∥ BD，∴∠ E= ∠ OBC. ∴∠ E= ∠ OCB．∴ AE=AC. 知2－练 3-1. 如图， 在矩形ABCD 中，AC 与BD交于点O，BE ⊥ AC，CF ⊥ BD， 垂足分别为E，F．求证：BE=CF. 知2－练 知3－讲 知识点 直角三角形斜边上中线的性质 3 定理 图示 数学表达式 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图，在Rt △ ABC 中， ∵∠ ACB=90°，AD=BD，∴ CD= AB(或CD=AD=BD) 拓展延伸 定理的逆命题也成立，即如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 符号语言：如图1-2-4，在△ ABC 中， ∵ CD=AB(或CD=AD=BD)， ∴∠ ACB=90° ，即△ ABC是直角三角形. 知3－讲 知3－讲 特别提醒 1. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个面积相等的等腰三角形. 2. 此性质是解决线段倍分问题的重要依据，其逆命题是直角三角形的一种判定方法. 知3－练 如图1-2-5，BD，CE 是△ ABC 的两条高，M，N 分别是BC，DE 的中点. 求证：MN⊥ DE. 例4 思路导引： 知3－练 证明：如图1-2 -5，连接EM，DM. ∵ BD，CE 是△ ABC 的两条高， ∴ BD⊥ AC，CE⊥ AB. ∴∠ CDB=90°= ∠ BEC. 在Rt △ BEC 中，∵ M 为斜边BC 的中点，∴ EM= BC. 在Rt △ CDB 中，∵ M 为斜边BC 的中点，∴ DM= BC. ∴ EM=DM.∴△ DEM 为等腰三角形. 又∵ N 为DE 的中点，∴ MN⊥ DE. 知3－练 4-1. 如图，在△ ABC中， ∠ C=2 ∠ B， 点D 为BC 上一点且AD ⊥ AB， 点E 是BD 的中点，连接AE. 知3－练 (1)求证：∠ AEC=∠ C； 知3－练 (2)求证：BD=2AC； 证明：由(1)可知BD＝2AE，∠AEC＝∠C， ∴AE＝AC.∴BD＝2AC. 知3－练 (3)若AE=8.5，AD=8，求△ ABE 的周长. 知4－讲 知识点 矩形的判定 4 知4－讲 判定方法 图示 数学表达式 角 定 义 法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在ABCD 中， ∵∠ B=90°， ∴ ABCD 是矩形 定 理 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD 中， ∵∠A=∠B=∠C= 90°，∴四边形ABCD 是矩形 知4－讲 判定方法 图示 数学表达式 对 角 线 定 理 对角线相等的平行四边形是矩形 在ABCD 中， ∵ AC=BD， ∴ ABCD 是矩形 知4－讲 特别提醒 ★矩形判定的常见思路： 1.从角的角度证明. (1)四边形矩形； (2)平行四边形矩形. 2.从对角线的角度证明. (1) 平行四边形矩形； (2)四边形矩形. ★两条对角线相等的四边形 不一定是矩形，如等腰梯形． 知4－练 如图1-2-6，点O 是线段AB 上的一点，OA=OC，OD 平分∠ AOC，且OD 交AC 于点D，OF 平分∠ COB，CF⊥ OF 于点F.求证：四边 形CDOF 是矩形. 例5 知4－练 解题秘方：紧扣等腰三角形的三线合一、邻补角互补的性质找到四边形的角的关系，进而判定四边形的形状. 知4－练 证明：∵ OD 平分∠ AOC，OF 平分∠ COB， ∴∠ AOC=2 ∠ COD， ∠ COB=2 ∠ COF . ∵∠ AOC＋∠ BOC=180°， ∴ 2 ∠ COD＋2 ∠ COF=180°. ∴∠ COD＋∠ COF=90°. ∴∠ DOF=90°. ∵ OA=OC，OD 平分∠ AOC， ∴ OD⊥ AC，∴∠ CDO=90°. ∵ CF⊥ OF，∴∠ CFO=90°. ∴四边形CDOF 是矩形. 此处依据“有三个角是直角的四边形是矩形”进行判定. 知4－练 5-1. 如图，平行四边形ABCD 各角的平分线分别相交于点E，F，G，H. 求证： 四边形EFGH 是矩形． 知4－练 知4－练 如图1-2-7，在四边形ABCD 中，AD ∥ BC，E，F 两点在边BC 上，AB∥DE，AF∥DC，且四边形AEFD 是平行四边形. 例 6 知4－练 (1)AD 与BC 有何数量关系？请说明理由； 解：BC=3AD. 理由如下： ∵ AD∥ BC，AB∥ DE，AF∥ DC， ∴四边形ABED 和四边形AFCD 都是平行四边形. ∴ AD=BE，AD=FC. 又∵四边形AEFD 是平行四边形，∴ AD=EF. ∴ AD=BE=EF=FC. ∴ BC=3AD. 知4－练 (2)当AB=DC 时，求证： AEFD 是矩形. 证明：∵四边形ABED 和四边形AFCD 都是平行四边形，∴ DE=AB，AF=DC. ∵ AB=DC，∴ DE=AF. ∴ AEFD 是矩形. 解题秘方：紧扣“平行四边形”这一前提，从“对角线相等”入手进行证明. 知4－练 6-1. 如图， 将平行四边形ABCD 的边DC 延长到点E， 使CE=DC，连接AE，交BC 于点F， ∠ AFC=2 ∠ D，连接AC，BE.求证： 四边形ABEC是矩形． 知4－练 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，∠ABC＝∠D. ∵CE＝DC，∴AB＝EC.∴四边形ABEC是平行四边形． ∴FA＝FE，FB＝FC.又∵∠AFC＝2∠D， ∴∠AFC＝2∠ABC.∵∠AFC＝∠ABC＋∠BAF， ∴∠ABC＝∠BAF.∴FB＝FA. ∴FA＝FE＝FB＝FC.∴AE＝BC.∴四边形ABEC是矩形． 矩形的性质与判定 矩形 判定 推论 定义 边的关系 对角线的关系 性质 边的性质 对角线的性质 角的性质 角的关系 证明：∵D是BC的中点，E是BF的中点， ∴DE是△BCF的中位线．∴DE∥FC，DE＝FC. ∵E是AD的中点，∴DE＝AD. ∴AD＝FC.∴四边形ADCF是平行四边形． 又∵D是BC的中点，AB＝AC， ∴∠ADC＝90°.∴平行四边形ADCF是矩形． 4 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OC＝AC，OB＝BD. ∴OB＝OC.∴∠FBC＝∠ECB. ∵BE⊥AC，CF⊥BD，∴∠BEC＝∠CFB＝90°. 在△BEC和△CFB中， ∴△BEC≌△CFB(AAS)．∴BE＝CF. 证明：∵AD⊥AB，∴△ABD为直角三角形． 又∵点E是BD的中点，∴AE＝BD＝BE. ∴∠BAE＝∠B.∴∠AEC＝∠B＋∠BAE＝2∠B. 又∵∠C＝2∠B，∴∠AEC＝∠C. 解：∵AE＝8.5，∴BD＝2AE＝17，BE＝8.5. 又∵AD＝8，∴在Rt△ABD中， AB＝＝＝15. ∴△ABE的周长＝AB＋BE＋AE＝15＋8.5＋8.5＝32. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC.∴∠DAB＋∠ABC＝180°. ∵AH，BH分别平分∠DAB与∠ABC， ∴∠HAB＝∠DAB，∠HBA＝∠ABC. ∴∠HAB＋∠HBA＝(∠DAB＋∠ABC)＝×180°＝90°.∴∠H＝90°.同理，∠AED＝90°，∠F＝90°. ∵∠AED＝∠HEF，∴∠HEF＝90°. ∴四边形EFGH是矩形． $$