专题02 矩形的性质与判定（期中真题汇编，山东专用）九年级数学上学期北师大版

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02矩形的性质与判定（期中真题汇编） 4大高频考点概览 考点01根据矩形的性质求线段长 考点02利用矩形的性质证明 考点03斜边的中线等于斜边的一半 考点04证明四边形是矩形 目目 考点01 根据矩形的性质求线段长 一、 单选题 1.(24-25九上·山东济宁曲阜·期中)如图，矩形0ABC的顶点0为坐标原点，AC=4,对角线OB在第一象 限的角平分线上.若矩形从图示位置开始绕点0以每秒45的速度顺时针旋转，则当第2024秒时，矩形的 对角线交点G的坐标为() A.（2,2) B.(0,-2 C.（2,0 D.（-V2,-V2] 2.(24-25九上·山东济南东南片区期中)如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点0，∠AOD=120°， AB=1,则AC的长为() D A.√3 B.2 C.25 D.4 3.(2425九上·山东青岛即墨区·期中)如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延 长线于点F,取EF的中点G,连接CG,BG,BD,DG,下列结论：①BE=CD;②LDGF=135°；③ ☑BG+∠4DG=80°：④老G-,则3S3S.8:其中正确的结论是 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 二、填空题 4.(2425九上·山东济南·期中如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为 圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G,若AB=4,CE=10，则AG=一 G 5.(24-25九上·山东济宁·期中)如图矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点0，过点0的直线分别交AD和 BC于点E,F,AB=3,BC=4,则图中阴影部分的面积为一 A E D B C 6.(24-25九上山东青岛期中)如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,△AB0是等边三角形.若 AB=3,则口ABCD的面积=一· D 7.(24-25九上·山东聊城东阿县·期中)如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，己知BC=2cm ,CD=5.5cm,∠DCF=30°，则车位所占的宽度EF为_cm.(√5≈1.73，结果精确到0.1) 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.(24-25九上山东菏泽鄄城县期中)如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,过点O作 0E18D交AD于点E,已知B=2,D0E的面积为则证的长为一 D B C 9.(24-25九上山东潍坊期中)如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=4,E为AB的中点，F为EC上一动点， P为DF中点，连接PB,则PB的最小值是 D E 三、解答题 10.(24-25九上·山东德州宁津县第四实验中学等两校联考期中如图，矩形ABCD和矩形A'B'CD关于点D 中心对称，已知AB=3,BC=4,求阴影部分的面积. C D 目目 考点02 利用矩形的性质证明 一、单选题 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(24-25九上·山东威海·期中)如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形 ABCD.固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是() D A.四边形ABCD的周长不变 B.四边形ABCD的面积不变 C.AD=AB D.AB=CD 2.(24-25九上·山东烟台期中)图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点，若 AB=8,OM=3,则线段OB的长为() 0 M A.5 B.6 C.7 D.8 3.(24-25九上·山东菏泽·期中)如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE平分∠ADC交BC于 点E,F是DE的中点，若AB=5,AD=9,则OF的长为() E A.1 B.1.5 C.2 D.4 二、填空题 4.(24-25九上山东济南期中)顺次连接矩形各边中点所得四边形为形. 5.(2425九上·山东青岛第二十六中学·期中)如图所示，己知矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O, AE⊥BD于点E,且DE=OE,则∠OAB=一· / 函学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 三、解答题 6.(2425九上山东青岛期中)如图，在矩形ABCD中，点E、F在边DC上，若∠DAF=∠CBE,求证： AF-BE 的 D E C 7.(24-25九上·山东聊城期中)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,BE⊥AC, CF⊥BD垂足分别为E,F.求证：BE=CF. A D E F B 8.(24-25九上山东枣庄山亭区·期中)如图，在ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB延长线上一动 点，连接EF,过点C作AB的平行线CD,与线段EF的延长线交于点D,连接CE、BD (I)求证：四边形BECD是平行四边形. (2)若∠ABC=120°，AB=BC=4,则在点E的运动过程中： ①当BE=时，四边形BECD是矩形； ②当BE=_时，四边形BECD是菱形.并在①②中选择一种进行证明. 目目 考点03 斜边的中线等于斜边的一半 面学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 一、单选题 1.(24-25九上山东青岛第五十九中学期中)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD交于点O,E是 边AD的中点，过点E作EF⊥BD,EG⊥AC,点F,G为垂足，若AC=1O,BD=24,则FG的长为() A D A.5 B.6.5 C.10 D.12 2.(24-25九上山东枣庄·期中)如图，在RtAABC和Rt△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，AB=10,M是AB 的中点，连接MC,CD,若CD=6,则△MCD的面积为() D M A.12 B.12.5 C.15 D.24 二、填空题 4.(24-25九上·山东淄博·期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,点M、N分别是边 AD、CD的中点，连接MN、OM.若MN=3,S菱形BcD=24,则OM的长为一 A M D B 5.(2425九上山东青岛城阳区期中如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O, DH⊥AB于点H,连接OH,若∠BAD=52°，则∠DHO的度数是 D B 面学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 三、解答题 6.(24-25九上·山东泰安期中)如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，点E是BC的中点，AD∥BC, AEDC,EF⊥CD于点F.求证：四边形AECD是菱形； D 7.(2425九上山东青岛期中如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D为BC中点，连接AD,取AD的中 点E,过点D作DF∥AC,交CE的延长线于点F,连接AF. (I)求证：AC=DF; (2)已知 (从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号)，请判断四边形AFDC的形状，并证明你 的结论， 条件①：∠B=30°； 条件②：CF平分∠ACD. (注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分) 8.(2425九上·山东临沂兰山区第九中学期中)如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB,点D, E分别在AB,CB上，DB=EB,连结AE,CD,取AE中点F,连结BF. A B E 图1 图2 (I)求证：CD=2BF,CD⊥BF; (2)将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置.求证：CD=2BF. 函学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 9.(24-25九上·山东临沂郯城县·期中)综合实践： 动手操作： 小明在学完旋转后，利用两个相同的含有30°三角板进行旋转，让两个30°的顶点放置在一起，取Rt△ABC 的中线BF,让Rt△DEC绕点C任意旋转， 发现结论： 在旋转的过程中，发现线段BF与DE的位置存在平行的情况. 问题解决： G 图1 备用图 (I)如图1，将Rt△DEC绕点C顺时针旋转60°，请判断BF与DF平行吗？并说明理由； (2)当Rt△DEC顺时针旋转一周时，还存在平行的情况吗？若有，请求出旋转的角度；若无，请说明理由， 目目 考点04 证明四边形是矩形 一、解答题 1.(24-25九上山东日照期中)如图，在口ABCD中，DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E、F,求证：四边 形DEBF是矩形. D F E 2.(24-25九上山东青岛青岛大学附属中学期中)如图，ABC的中线BD,CE交于点O,点F,G分别是 OB,OC的中点. 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E G B (I)求证：四边形DEFG是平行四边形： (2)当BD=CE时，判断四边形DEFG的形状，并证明你的结论， 3.(23-24九上·山东青岛南区青岛大学附属中学期中)已知：直角ABC,∠A=90°. 求作：矩形ADEF,使∠A为矩形的一个内角，矩形的其余各顶点都在ABC的各边上，且点E到AB两点 的距离相等 A B C 4.(24-25九上山东济南·期中)如图，AD和BC相交于点0，∠AB0=∠DC0=90°，0B=0C,点E、F分 别是A0、D0的中点. (1)求证：OE=OF; (②)当∠A=30°时，猜测四边形BECF的形状，并证明你的结论， 5.(23-24九上山东青岛北区·期中)已知：如图，线段a和∠a,求作：矩形ABCD,使对角线AC=a,两 条对角线AC、BD的夹角为α.（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.） 0 a 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(24-25九上·山东滨州期中)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，O是边AB的中点， LAOD=∠BOC,求证：四边形ABCD是矩形. D B O 7.(2425九上·山东威海·期中如图，菱形的对角线AC、BD相交于点O,BE∥AC,AE∥BD,OE与 AB交于点F. D B (I)求证：四边形AEB0为矩形： (2)若0E=10,AC-16,求菱形ABCD的面积. 8.(2425九上山东青岛第五十九中学期中)己知：如图，口ABCD的对角线AC,BD交于点0，分别过点 A,B作AE∥BD,BE∥AC,连接CE交BD于点F. D (I)求证：△BEF≌△OCF; (②)当∠ABC满足什么条件时，四边形OAEB为菱形？请说明理由 9.(24-25九上·山东济南商河县期中如图，在口ABCD中，CE⊥AB于点E,AF⊥CD于点F,求证：四 边形AECF是矩形. / 专题02 矩形的性质与判定（期中真题汇编） 4大高频考点概览 考点01 根据矩形的性质求线段长 考点02 利用矩形的性质证明 考点03 斜边的中线等于斜边的一半 考点04 证明四边形是矩形 地 城 考点01 根据矩形的性质求线段长 一、单选题 1．(24-25九上·山东济宁曲阜·期中)如图，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第一象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则当第2024秒时，矩形的对角线交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转变换，矩形的性质等知识，解题的关键是明确题意，发现点G的变化特点，利用数形结合的思想解答．每秒旋转，8秒一个循环，，第2024秒时，矩形的对角线交点G与原位置的点G的坐标相同，由此可得到点G的坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴， ∵每秒旋转，， ∴8秒一个循环， ∵， ∴点G与原位置的点G的坐标相同， ∴原位置的点G在第一象限的角平分线上，设， ∴， 解得：， ∴点G的坐标为． 故选：A． 2．(24-25九上·山东济南东南片区·期中)如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．由矩形得，，再结合可得是等边三角形，得出即可解答． 【详解】解：矩形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 故选：B． 3．(24-25九上·山东青岛即墨区·期中)如图，在矩形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，取的中点G，连接，，，，下列结论：①；②；③；④若，则；其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．先求出，判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，，从而得到，故①正确；再求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再求出，然后利用“边角边”证明，得到，由，得到，，故②错误；由于，得到，故③正确；由是等腰直角三角形得到，求得，过G作于M，求得，进而得出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵点G为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵， ∴， 故③正确； ∵， ∴设 ∵， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过G作于M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确． 故选：C． 二、填空题 4．(24-25九上·山东济南·期中)如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，若，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．由直角三角形的性质可求BF=5，由勾股定理可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，F为的中点， ∴， 由作图可知：， ∴， 故答案为：3． 5．(24-25九上·山东济宁·期中)如图矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，首先证明，由此可得出，则可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴, 又 ∴， ∴ ∴ 故答案为：3 6．(24-25九上·山东青岛·期中)如图，在中，对角线与相交于点O，是等边三角形．若，则的面积= ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质；熟练掌握平行四边形和等边三角形的性质，证明四边形是矩形是解决问题的关键．根据等边三角形的性质得到，根据平行四边形的性质得到，，求得，得到，根据矩形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理得到，进而可得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； ∴，， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴的面积为． 故答案为：． 7．(24-25九上·山东聊城东阿县·期中)如图，矩形是供一辆机动车停放的车位示意图，已知，，，则车位所占的宽度为 ．（，结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，含角的直角三角形的性质．根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，进而求出． 【详解】解：在中，，， ∴， 四边形为矩形， ，， ， ∴， ∴， ， 故答案为：． 8．(24-25九上·山东菏泽鄄城县·期中)如图，矩形中，对角线、相交于点，过点作交于点．已知，的面积为，则的长为 ． 【答案】1.5// 【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 连接，由题意可得为对角线的垂直平分线，可得，，由三角形的面积则可求得的长，得出的长，然后由勾股定理求得答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得，为矩形的对角线的垂直平分线， ∴，， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 9．(24-25九上·山东潍坊·期中)如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，P为中点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线定理，垂线段的性质等，解题的关键是通过作辅助线确定点的运动轨迹． 如图，取中点，连接交于，连接，由中位线定理可得即为点的运动轨迹，由垂线段最短可知，当时，有最小值，即可求解； 【详解】解：如图，取中点，连接交于，连接， 四边形是矩形， ，， ∵矩形中，点是中点，点是中点， ，四边形是矩形， ， 四边形是矩形， 点是的中点， 又是的中点， 即为点的运动轨迹， 当时，有最小值， ， 的最小值为； 故答案为： 三、解答题 10．(24-25九上·山东德州宁津县第四实验中学等两校联考·期中)如图，矩形和矩形关于点D中心对称，已知，，求阴影部分的面积． 【答案】24 【分析】本题考查了中心对称的性质、矩形的性质，熟练掌握中心对称的性质、矩形的性质是解题的关键． 利用中心对称图形和矩形的性质得出，，且，进而计算求解即可． 【详解】解：∵矩形和矩形关于点D中心对称， ∴，，且， ∴， ∴． 地 城 考点02 利用矩形的性质证明 一、单选题 1．(24-25九上·山东威海·期中)如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形．固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（　　） A．四边形的周长不变 B．四边形的面积不变 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，由矩形的性质可得，，则可满足四边形是平行四边形，得到，随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变，据此可得答案． 【详解】解：由矩形的性质可得，， ∴四边形是平行四边形， ∴，故D符合题意， 随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变，故A、B、C不符合题意， 故选：D． 2．(24-25九上·山东烟台·期中)图，O是矩形的对角线的中点，M是边的中点，若，则线段的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用以及三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出的长． 已知是的中位线，再结合已知条件则的长可求出，所以利用勾股定理可求出的长，由直角三角形斜边上中线的性质则的长即可求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ∵是矩形的对角线的中点，是边的中点， ∴是的中位线，， ， ， ， ， ， 故选：A． 3．(24-25九上·山东菏泽·期中)如图，矩形的对角线，相交于点O，平分交于点E，F是的中点，若，则的长为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等角对等边，三角形中位线性质；熟练掌握这些知识是关键．由矩形的性质及角平分线的定义得，从而得的长，由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：在矩形中，，，，， ； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ． F是的中点，， ． 故选：C． 二、填空题 4．(24-25九上·山东济南·期中)顺次连接矩形各边中点所得四边形为 形． 【答案】菱 【分析】作出图形，根据三角形的中位线定理可得，，再根据矩形的对角线相等可得，从而得到四边形的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答．本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、， 、、、分别是矩形的、、、边上的中点， ，（三角形的中位线等于第三边的一半）， 矩形的对角线， ， 四边形是菱形． 故答案为：菱． 5．(24-25九上·山东青岛第二十六中学·期中)如图所示，已知矩形的对角线与相交于点O，于点E，且，则 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质．先证明是线段的垂直平分线，推出是等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 6．(24-25九上·山东青岛·期中)如图，在矩形ABCD中，点E、F在边DC上，若∠DAF＝∠CBE，求证：AF＝BE． 【答案】见解析 【分析】利用矩形的性质结合“ASA”可证△ADF≌△BCE，可得AF＝BE． 【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°， 在△ADF和△BCE中，， ∴△ADF≌△BCE（ASA）， ∴AF＝BE． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，证明全等三角形是解题的关键． 7．(24-25九上·山东聊城·期中)如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足分别为E，F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解决问题的关键． 根据矩形的性质求出，根据推出即可证得结论． 【详解】证明：四边形是矩形， ． ，， ．． ， ， ． 8．(24-25九上·山东枣庄山亭区·期中)如图，在中，点F是的中点，点E是线段延长线上一动点，连接，过点C作的平行线，与线段的延长线交于点D，连接、 (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，则在点E的运动过程中： ①当______时，四边形是矩形； ②当______时，四边形是菱形．并在①②中选择一种进行证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)； 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形、矩形和菱形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据平行线的性质证得≌，再由平行四边形的判定定理即可得出结论； （2）①由矩形的性质得，再求出，则根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半即可求值；②由菱形的性质得，再证是等边三角形，即可得出． 【详解】（1）， ， 点F是的中点， ， 在和中， ， ≌， ， 又， 四边形是平行四边形． （2）①当时，四边形是矩形， 四边形是矩形， ， ， ， ， 在中，， ， ， 即当时，四边形是矩形． ②当时，四边形是菱形， 四边形是菱形， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 即当时，四边形是菱形． 地 城 考点03 斜边的中线等于斜边的一半 一、单选题 1．(24-25九上·山东青岛第五十九中学·期中)如图，四边形是菱形，对角线交于点O，E是边的中点，过点E作，点F，G为垂足，若，则的长为（    ） A．5 B．6.5 C．10 D．12 【答案】B 【分析】连接，根据菱形的性质可得，，，再由勾股定理可得，再根据是边的中点，可得，再证得四边形为矩形，即可求解． 【详解】解：连接， 四边形是菱形，，， ，，， 在中，， 又是边的中点， ， ，，， ， 四边形为矩形， ． 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 2．(24-25九上·山东枣庄·期中)如图，在和中，，，M是的中点，连接，，若，则的面积为（　　） A．12 B． C．15 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 过M作于E，根据直角三角形斜边上的中线性质求出，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出答案即可． 【详解】解：过M作于E， ，M是的中点， ， ， ， ， 由勾股定理得：， 的面积为 ， 故选：A． 二、填空题 4．(24-25九上·山东淄博·期中)如图，在菱形中，对角线相交于点，点分别是边的中点，连接． 若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得，，，根据中位线定理可得，由菱形的面积可得，进而利用勾股定理可求出，再根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是菱形 ， ∴，，， ∴， ∵点分别是边的中点，， ∴， ∵ ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线性质，直角三角形的性质、勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 5．(24-25九上·山东青岛城阳区·期中)如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】由菱形的性质可得，，由三角形内角和定理结合等边对等角得出，求出，由直角三角形的性质可得，从而即可得解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 三、解答题 6．(24-25九上·山东泰安·期中)如图，在四边形中，，点E是的中点，，于点F．求证：四边形是菱形； 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，斜边上的中线等于斜边的一半，先证明四边形AECD是平行四边形，结合，是的中点，得出，即可作答． 【详解】证明：∵， ∴ 四边形是平行四边形， ∵，是的中点， ∴， ∴ 四边形是菱形， 7．(24-25九上·山东青岛·期中)如图，在中，，D为中点，连接，取的中点E，过点D作，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)已知______（从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：平分． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】(1)见解析 (2)①或②，菱形，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，斜边上的中线，菱形的判定： （1）证明，即可得出结论； （2）选择①，由（1）易得四边形为平行四边形，斜边上的中线得到，进而得到为等边三角形，得到，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出结论；选择②，平行结合角平分线，推出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）选择①，四边形是菱形，理由如下： 由（1）知，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，D为中点，， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形； 选择②，四边形是菱形，理由如下： 由（1）知，， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 8．(24-25九上·山东临沂兰山区第九中学·期中)如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连结，，取中点，连结． (1)求证：，； (2)将绕点顺时针旋转到图2的位置．求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】对于（1），根据“边角边”证明，可得，．再根据直角三角形的性质得，可得结论；然后根据等边对等角得， 进而说明，再根据得出答案； 对于（2），延长到点，使，连结，根据“边角边”证明，可得，，进而说明，再结合互补的定义得出，然后根据“边角边”证明，可得答案. 【详解】（1）证明：在和中， ，，， ， ，． 是斜边的中点， ， . ， ． ， ， ． ； （2）证明：延长到点，使，连结． ，，， ， ，． ． . ， ， ． ， ． 在和中， ，，， ， ． ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质等，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 9．(24-25九上·山东临沂郯城县·期中)综合实践： 动手操作： 小明在学完旋转后，利用两个相同的含有三角板进行旋转，让两个的顶点放置在一起，取的中线，让绕点任意旋转． 发现结论： 在旋转的过程中，发现线段与的位置存在平行的情况． 问题解决： (1)如图1，将绕点顺时针旋转，请判断与平行吗？并说明理由； (2)当顺时针旋转一周时，还存在平行的情况吗？若有，请求出旋转的角度；若无，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)有，旋转角为 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，平行线的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结论：．延长交于点H．证明可得结论； （2）存在．如图2中，当时，旋转角为．利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1） ； 理由：如图，延长交于点， ， 为的中线， ， ，， ，是等边三角形， ， 将绕点顺时针旋转， ，， ， ， ， ， ； （2）当旋转角为时， ， 理由：如图2：延长，交于点， 由（1）得， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ∴旋转角． 地 城 考点04 证明四边形是矩形 一、解答题 1．(24-25九上·山东日照·期中)如图，在中，，，垂足分别为，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，根据题意得出，，根据平行四边形的性质可得，进而可得，即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴ ， ∴，   ∴      ∴，    ∴四边形是矩形． 2．(24-25九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中)如图，的中线，交于点O，点F，G分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)矩形，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、三角形的中位线定理等知识点，熟记相关内容即可求解； （1）由题意得是的中位线，推出且；是的中位线，推出且；可得且；即可求证； （2）由点F，G分别是，的中点，推出；由四边形是平行四边形，推出，可得，即可求解； 【详解】（1）证明：∵，是的中线， ∴是的中位线， ∴且； ∵点F，G分别是，的中点． ∴是的中位线， ∴且； ∴且； ∴四边形是平行四边形 （2）解：∵点F，G分别是，的中点． ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形 3．(23-24九上·山东青岛南区青岛大学附属中学·期中)已知：直角，． 求作：矩形，使为矩形的一个内角，矩形的其余各顶点都在的各边上，且点到两点的距离相等． 【答案】作图见解析． 【分析】此题考查了尺规作图——垂线和线段垂直平分线的作图、矩形的判定，根据作法即可求解，解题的关键是熟练掌握尺规作图的方法． 【详解】如图， ∵到两点的距离相等， ∴分别以、为圆心大于长度为半径画弧，相交点，，连接，交于点，交于点，然后以为圆心，任意长度为半径画弧，交两点，再分别以交点为圆心，大于交点距离的一半为半径画弧交于点，连接交于点， ∴矩形即为所求． 4．(24-25九上·山东济南·期中)如图，和相交于点，，，点、分别是、的中点． (1)求证：； (2)当时，猜测四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)四边形是矩形，证明见解析． 【分析】（）直接证明，得出，根据、分别是、的中点，即可得证； （2）证明四边形是平行四边形，进而根据，推导出是等边三角形，进而可得，即可证明四边形是矩形． 本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中， ∴， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴； （2）四边形是矩形，理由： 由（）得：， ∵， ∴四边形是平行四边形，，， ∵为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 5．(23-24九上·山东青岛北区·期中)已知：如图，线段a和∠α，求作：矩形，使对角线，两条对角线、的夹角为α．（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．） 【答案】见解析 【分析】本题考查的是尺规作图，矩形的判定，作一个角等于已知角，先作线段，作的垂直平分线确定线段的中点，作，作直线，分别截取，再顺次连接A，B，C，D即可． 【详解】解：如图，矩形即为所求作的四边形； ． 6．(24-25九上·山东滨州·期中)如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．利用可证明，得出，根据得出，即可证明四边形是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明四边形是矩形． 【详解】证明：∵是边的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 7．(24-25九上·山东威海·期中)如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F．    (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)96 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识， （1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，问题随之得证； （2）根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得，问题随之得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵菱形对角线交于点O， ∴，即． ∴四边形是矩形； （2）∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：． 8．(24-25九上·山东青岛第五十九中学·期中)已知：如图，的对角线，交于点，分别过点，作， ，连接交于点． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形为菱形？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)时，四边形为菱形，理由见解析． 【分析】（）由四边形是平行四边形得，证明四边形是平行四边形，则有，然后根据证明即可； （）证出四边形是矩形，由矩形的性质得出，即可得出四边形为菱形； 本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：当时，四边形为菱形， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形为菱形． 9．(24-25九上·山东济南商河县·期中)如图，在中，于点E，于点F，求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了矩形的判定和平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握三个角是直角的四边形是矩形． 根据题意得出，再根据平行四边形的性质证出，即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． / 学科网（北京）股份有限公司 $