2024年全国一卷数学新高考题型细分S1-3——圆锥曲线 单选填空5 双曲线（中档、中上）

2024年全国一卷新高考题型细分S1-3 ——圆锥曲线 单选填空5 双曲线（中档、中上） 1、 试卷主要是2024年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计202套。其中全国高考真题4套，广东47套，山东22套，江苏18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题型纯粹按照个人经验进行分类，没有固定的标准。 4、 《圆锥曲线——单选填空》题目分类有：椭圆（易~中档），双曲线（易~中档），抛物线（易~中档），其他等，大概251道题。 双曲线（中档）： 1. （2024年粤J137梅州二模）8．已知点F为双曲线C：的右焦点，点N在x轴上（非双曲线顶点），若对于在双曲线C上（除顶点外）任一点P，恒是锐角，则点N的横坐标的取值范围为（[endnoteRef:2]    ） A． B． C． D． （中档） [2: 8．C 【分析】设,，，把恒是锐角转化为，将向量坐标化可得恒成立，利用二次函数性质分类讨论可得． 【详解】由题意可得，所以， 设,，， 则，， 由恒是锐角，得， 又，， 不等式可化为：， 整理得：， 记， 要使恒成立，由二次函数性质可知， 当，即时， ，解得； 当或，即或时， ，解得， 综上，. 又点N与双曲线顶点不重合，所以， 所以的取值范围为. 故选：C． ] 2. （2024年浙J38绍兴四月适）8．已知点A，B，C都在双曲线：上，且点A，B关于原点对称，.过A作垂直于x轴的直线分别交，于点M，N.若，则双曲线的离心率是（[endnoteRef:3]    ） A． B． C．2 D． （中档） [3: 8．B 【分析】设，由且轴得，注意到，也就是，而，，即，由此结合离心率公式即可求解. 【详解】 不妨设，由且轴， 所以，所以， 从而，即， 设点，且它在双曲线上， ， 即，其中，， 从而，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键是得到，，，由此即可顺利得解. ] 3. （2024年粤J128深圳二模）14．已知△ABC中，，双曲线E以B，C为焦点，且经过点A，则E的两条渐近线的夹角为 [endnoteRef:4] ；的取值范围为 ． （中档） [4: 14． 【分析】根据双曲线的性质和三角形内心性质得到垂足的位置，再由得到双曲线中的关系，即可得到渐近线的夹角；根据对所求式进行化简，再根据基本不等式求得范围即可. 【详解】如图所示，设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为. 设的内心为，过点向三边作垂线，垂足分别为.    根据三角形内心的性质可知，， 又因为双曲线E以B，C为焦点，且经过点A， 所以，即， 因为，所以，所以， 所以点在双曲线的左支上，所以. 而， 所以， 所以为双曲线的左顶点. 所以， 所以，即， 所以，渐近线的倾斜角为， 所以两条渐近线的夹角为. 又因为， 所以， 而， 所以. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的性质和三角形的最值.本题的关键点在于根据作出三角形的内心，从而根据内心性质和双曲线的定义进行求解. ] 4. （2024年湘J51师附二模）8．如图，在中，，其内切圆与边相切于点，且.延长至点.使得，连接.设以两点为焦点且经过点的椭圆的离心率为，以两点为焦点且经过点的双曲线的离心率为，则的取值范围是（    [endnoteRef:5]） A． B． C． D． （中档） [5: 8．D 【分析】设内切圆与边分别相切于点，设，可得，结合椭圆和双曲线的定义可得，利用余弦定理求得，结合对勾函数的单调性分析求解. 【详解】如图，设内切圆与边分别相切于点， 由切线长定理和的对称性，可设. 由，可得. 在中，由余弦定理，. 于是根据椭圆和双曲线的定义，. 接下来确定的取值范围. 设， 在中，， 于是由余弦定理，， 整理得，于是，故， 又因为在内单调递增，可知， 可得，所以的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法：求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值； 2．焦点三角形的作用：在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． ] 5. （2024年鲁J38济宁三模）8．已知双曲线的左、右焦点分别为，根据双曲线的光学性质可知，过双曲线上任意一点的切线平分.直线过交双曲线的右支于A，B两点，设的内心分别为，若与的面积之比为，则双曲线的离心率为（ [endnoteRef:6]   ） A． B． C． D．. （中档） [6: 8．C 【分析】利用切线长定理求得直线的方程，再借助双曲线的切线方程求出点的横坐标，结合面积关系求解即得. 【详解】令圆切分别为点，则， ，令点，而， 因此，解得，又，则点横坐标为，同理点横坐标为， 即直线的方程为，设，依题意，直线的方程分别为： ，，联立消去得：， 整理得，令直线的方程为， 于是，即点的横坐标为， 因此，所以双曲线的离心率. 故选：C 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： ①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； ②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； ③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. ] 6. （2024年鄂J22黄石二中三模）8．已知为双曲线上的动点，，，直线：与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为（[endnoteRef:7]    ） A． B． C．0 D． （中档） [7: 8．D 【分析】先证明线是双曲线的切线，线段的中点为，再根据，结合双曲线的性质即可得解. 【详解】因为为双曲线上的动点， 所以，则，， 联立，消得， 因为， 且， 所以直线是双曲线的切线，切点为， 双曲线的渐近线方程为， 联立，解得， 所以点的坐标为， 联立，解得， 所以点的坐标为， 所以线段的中点为， 双曲线的渐近线方程为，实半轴长为，故， 则 （当且仅当时取等号） ， 由题意可得直线的斜率大于零或不存在， 故，当且仅当为右顶点时取等号， 所以， 所以的最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：证明线是双曲线的切线，线段的中点为，是解决本题的关键. ] 7. （2024年湘J02邵阳一联，末）16. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点，它们的离心率分别为，点为它们的一个交点，且.当取最小值时，的值为[endnoteRef:8]__________. （中档） [8: 【答案】 【解析】 【分析】设椭圆方程为，双曲线方程为．结合椭圆与双曲线的定义得，， ,在中,根据余弦定理可得到，，与的关系式，进而可得，由基本不等式求解即可. 【详解】设椭圆方程为，双曲线方程为：. 不妨设点为第一象限的交点， 由题意知：，则， 由余弦定理得：， 所以. 当且仅当时取等号，. . 故答案为：. ] 8. （2024年苏J09徐州适应，末）14. 设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左支交于点P，坐标原点O到直线的距离为，的面积为，则C的离心率为[endnoteRef:9]______． （中档） [9: 【答案】或 【解析】 【分析】先根据面积关系求出，设，垂足为，在中求出，再在中利用余弦定理求出，进而可得离心率. 【详解】，， 又， 所以，， 又到直线的距离为， 所以，得， 由双曲线定义得， 设，垂足为，如图： 则，， 则在中，，， 在中，由余弦定理可得， 即，又， 整理得，解得或， 则离心率或. 故答案为：或. ] 9. （2024年湘J27长沙一中适应，末）8. 已知分别为双曲线的左、右焦点，过向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为点，且（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ [endnoteRef:10] ） A B. C. D. （中档） [10: 【答案】D 【解析】 【分析】不妨设渐近线的方程为，求出点的坐标，根据已知条件可得出关于的齐次等式，解方程求，由此可得双曲线的渐近线的方程. 【详解】设双曲线焦距为，则、， 不妨设渐近线的方程为，如图： 因为直线与直线垂直，则直线的方程为， 联立可得，即点， 所以，， 因为，所以， 又，故， 所以， ， 整理可得， 所以，又， 所以， 故该双曲线的渐近线方程为. 故选：D. ] 10. （2024年湘J26衡阳八中）7. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线分别在第一、二象限交于两点，内切圆的半径为，若，，则双曲线的离心率为（[endnoteRef:11] ） A. B. C. D. （中档） [11: 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线定义结合已知得，进一步由余弦定理列方程，结合离心率公式即可求解. 【详解】不妨设内切圆与三边切点分别为P，Q，R，所以， 点A在双曲线上， ， 又， ，， 点B在双曲线上， ， ， ， 设内切圆圆心为I，连接，如图所示， ， ， 即， 为等边三角形，， 在由余弦定理得：， 即：， . 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是得到，由此即可顺利得解. ] 11. （2024年冀J11衡水一模，末）14. 已知双曲线C：的左右焦点分别为，，过作x轴的垂线交C于点P﹒于点M（其中O为坐标原点），且有，则C的离心率为_[endnoteRef:12]_____. （中档） [12: 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示得出关于的齐次式后可得离心率． 【详解】如图，易得，，，设， ，由得， ，解得，即，， 又，∴，，代入得，因为 故解得， 故答案为：． ] 12. （2024年粤J07六校联考）7. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线分别在第一、二象限交于两点，内切圆的半径为，若，，则双曲线的离心率为（ [endnoteRef:13] ） A. B. C. D. （中档） [13: 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线定义结合已知得，进一步由余弦定理列方程，结合离心率公式即可求解. 【详解】不妨设内切圆与三边切点分别为P，Q，R，所以， 点A在双曲线上， ， 又， ，， 点B在双曲线上， ， ， ， 设内切圆圆心为I，连接，如图所示， ， ， 即， 为等边三角形，， 在由余弦定理得：， 即：， . 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是得到，由此即可顺利得解. ] 13. （2024年湘J06雅礼一模，末）8. 已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（ [endnoteRef:14] ） A. B. C. D. （中档） [14: 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的定义，结合双曲线的离心率，得双曲线的方程及渐近线的方程， 再设，由双曲线的方程求点到两条渐近线的距离之和. 【详解】 设半焦距为c，延长交于点N，由于PM是的平分线，， 所以是等腰三角形，所以，且M是NF2的中点. 根据双曲线的定义可知，即，由于是的中点， 所以MO是的中位线，所以， 又双曲线的离心率为，所以，，所以双曲线C的方程为. 所以，，双曲线C的渐近线方程为， 设，T到两渐近线的距离之和为S，则， 由，即， 又T在上，则，即，解得，， 由，故，即距离之和为. 故选：A. 【点睛】由平面几何知识，，依据双曲线的定义，可将转化为用a表示，进而的双曲线的标准方程. ] 14. （2024年闽J06某市期末，末）16. 设是面积为1的等腰直角三角形，D是斜边AB的中点，点P在所在的平面内，记与的面积分别为，，且．当，且时，________；记，则实数a的取值范围为[endnoteRef:15]________． （双曲线，中档） [15: 【答案】 ① ②. 【解析】 【分析】以D为原点，为x轴正方向建立直角坐标系，设，根据已知得 ，即可得，，应用两点距离公式求；根据确定P的轨迹曲线，并写出方程，利用曲线性质列不等式求参数范围． 【详解】以D为原点，为x轴正方向建立直角坐标系，设， 则，所以，则， 当时， ， 即，所以， 即，可得（负值舍），则， 故； 若，结合双曲线定义知：P在以A，B为焦点的双曲线上，但不含顶点， 该双曲线为，即， 双曲线顶点的横坐标的绝对值小于半焦距1，则双曲线与曲线有交点， 即双曲线的渐近线和曲线有交点，则双曲线的渐近线斜率的绝对值小于， 所以，故， 所以实数a的取值范围为． 故答案为：；． 【点睛】关键点睛：本题空1的关键是设，从而得到，再结合得到，空2的关键是利用双曲线的定义得到其方程，再联立，解出即可. ] 15. （2024年湘J04师大附中，末）8. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（ [endnoteRef:16] ） A. B. C. D. （中档） [16: 【答案】A 【解析】 【分析】设出椭圆的长半轴长，双曲线的实半轴长为，然后根据焦点三角形顶角的余弦定理求解出的关系式，最后通过“1”的妙用求解出最小值. 【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义得：， ，设， 则在中，由余弦定理得，， 化简得，即， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆、双曲线的离心率的相关计算，涉及到焦点三角形、基本不等式求最值等问题，对学生的计算能力要求较高，难度较大.解答本题的关键点有两个：（1）运用两个曲线的定义，找到离心率之间的关系；（2）在已知条件等式的情况下，活用“1”的妙用求最值. ] 16. （2024年鲁J07淄博一模，末）8. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q是它们的两个公共点，且P，Q关于原点对称， 若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则 的最小值是（[endnoteRef:17] ） A. B. C. D. （中档） [17: 【答案】A 【解析】 【分析】设出椭圆的长半轴长，双曲线的实半轴长为，然后根据焦点三角形顶角的余弦定理求解出的关系式，最后通过“1”的妙用求解出最小值. 【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义得：， ，设， 根据椭圆与双曲线的对称性知四边形为平行四边形，则， 则在中，由余弦定理得，， 化简得，即， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用余弦定理得到，最后对原式变形再利用基本不等式即可求出其最小值. ] 17. （2024年鲁J05日照一模，末）8. 过双曲线的右支上一点P，分别向和作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（ [endnoteRef:18] ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 32 （中档） [18: 【答案】C 【解析】 【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线的左右焦点为，，连接，，，，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值． 【详解】由双曲线方程可知：， 可知双曲线方程的左、右焦点分别为，， 圆的圆心为（即），半径为； 圆的圆心为（即），半径为． 连接，，，，则， 可得 ， 当且仅当P为双曲线的右顶点时，取得等号，即的最小值为30. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据数量积的运算律可得，结合双曲线的定义整理得，结合几何性质分析求解. ] 18. （2024年粤J25深圳一调，末）8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，且双曲线的离心率为，则（[endnoteRef:19] ） A. B. C. D. （中档） [19: 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得，从而再得，由余弦定理求得，由诱导公式得，设，则，再由余弦定理求得，从而利用余弦定理求解即可. 【详解】因为双曲线的离心率为，所以，因为， 所以，由双曲线定义可得， 所以， 在中，由余弦定理得， 在中，，设，则， 由得 ，解得，所以， 所以. 故选：D . 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用，结合余弦定理与双曲线的定义，从而得解. ] 19. （2024年鲁J04青岛一适，末）8. 已知，，设点P是圆上的点，若动点Q满足：，，则Q的轨迹方程为（ [endnoteRef:20] ） A. B. C. D. （中档） [20: 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，点在的平分线上且，由此作出图形，利用等腰三角形“三线合一”与三角形中位线定理，证出，从而得到的轨迹方程. 【详解】由，可得， 而，可知点在的平分线上. 圆，圆心为原点，半径， 连接，延长交于点，连接， 因为且，所以，且为中点，， 因此，， 点在以为焦点的双曲线上，设双曲线方程为， 可知，由，得，故， 双曲线方程为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将题中的转化为在的平分线上，进而证明为等腰三角形，将转化为得出所求轨迹为双曲线. ] 20. （2024年苏J03南通联考）7. 已知为椭圆与双曲线公共的焦点，且在第一象限内的交点为P，若的离心率满足，则（ [endnoteRef:21] ） A. B. C. D. （中档） [21: 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，余弦定理可以得到，利用离心率的定义化简条件，可得，故可得，解此方程即可求出结果． 【详解】不妨设椭圆的方程为：， 双曲线方程为， 因为，为椭圆与双曲线公共的焦点， 所以； 由椭圆的定义知：， 两边平方得：， 中，设，由余弦定理得： ， 所以，即； 由双曲线的定义知：， 两边平方得：， 在中，由余弦定理得：， 所以，即； 所以，即； 因为，所以，即， 所以，所以，解得， 由于，所以． 故选：C． ] 21. （2024年鄂J11四月模拟，末）14. 双曲线的左右焦点分别为，，以实轴为直径作圆O，过圆O上一点E作圆O的切线交双曲线的渐近线于A，B两点（B在第一象限），若，与一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为[endnoteRef:22]______． （中档） [22: 【答案】2 【解析】 【分析】先根据几何关系证明点必为双曲线的右顶点，再结合离心率计算公式，直接求解即可. 【详解】记与渐近线的交点为，根据题意，作图如下： ，，故； 则在△中，设，又，由余弦定理可得，解得，即； 在△中，，又，故； 又左焦点到直线的距离， 即，又，故，则在圆上，即与圆相切； 显然，则，又，又， 故可得，根据对称性，，故， 故三点共线，点是唯一的，根据题意，必为双曲线右顶点； 此时显然有，故双曲线离心率为. 故答案：2. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是能够与渐近线垂直，以及，确定点的位置，进而求解离心率. ] 22. （2024年闽J02厦门二检）6. 设，分别是双曲线（，）的左右焦点，为双曲线左支上一点，且满足，直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（ [endnoteRef:23] ） A. B. C. 2 D. （中档） [23: 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，余弦定理建立关于的方程，化简即可求出双曲线离心率. 【详解】如图， 由双曲线定义可得，又， 所以，又渐近线方程为， 因为渐近线，所以，所以， 所以， 即，化简可得， 平方可得，即， 解得或（舍去）， 故选：A ] 双曲线（中上）： 23. （2024年苏J06三市调研，末）8. 离心率为2的双曲线与抛物线有相同的焦点，过的直线与的右支相交于两点.过上的一点作其准线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），且的面积为，则（为的左焦点）内切圆圆心的横坐标为（[endnoteRef:24] ） A. B. C. D. （中上） [24: 【答案】D 【解析】 【分析】内切圆圆心在直线上，结合抛物线定义三角形面积公式列方程得参数或焦点坐标，进一步结合双曲线离心率以及的关系即可求得的值，联立方程与双曲线方程结合韦达定理即可得解. 【详解】. ， 双曲线中，双曲线：. 设直线，内切圆圆心为， 所以，同理， 从而， 由双曲线定义知，同理； 接下来我们证明如下引理：三个不共线的点构成的三角形的内心坐标为， 先来证明是三角形的内心当且仅当， 若， 则， 则， 而由平行四边形法则可知与的角平分线共线， 所以经过三角形的内心，同理经过三角形的内心，经过三角形的内心， 所以点是三角形的内心， 由于上述每一步都是等价变形，反正亦然， 所以是三角形的内心当且仅当， 不妨设三角形的内心， 则由得， 所以解得，同理， 从而，引理得证； 由上述引理，即由内心坐标公式有， 联立与，整理并化简得， ， 因为直线与双曲线的右支交于两个不同的点，故即或, ， ， 所以， 内切圆圆心在直线上. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键是得到内切圆圆心在直线上，由此即可顺利得解. ] 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$