2024年全国一卷数学新高考题型细分S1-3——圆锥曲线 单选填空4 双曲线（中下、中档）

2024年全国一卷新高考题型细分S1-3 ——圆锥曲线 单选填空4 双曲线（中下、中档） 1、 试卷主要是2024年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计202套。其中全国高考真题4套，广东47套，山东22套，江苏18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题型纯粹按照个人经验进行分类，没有固定的标准。 4、 《圆锥曲线——单选填空》题目分类有：椭圆（易~中档），双曲线（易~中档），抛物线（易~中档），其他等，大概251道题。 双曲线（中下）： 1. （2024年闽J04漳州三检）13. 点分别为双曲线的左、右焦点，过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若为以为底的等腰三角形，则的离心率为[endnoteRef:2]_______． （中下） [2: 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作出图象，结合双曲线的定义及题中条件可得，，，继而根据勾股定理建立方程，解出即可. 【详解】由题可得，如图， 取的中点，连接，则． 设，则， 所以，所以． 因为直线的斜率为，所以． 又，所以， 则， 所以． 在中，， 即，解得， 即双曲线的离心率． 故答案为：. ] 2. （2024年鲁J23泰安新泰一中）5. 在平面直角坐标系中，已知为双曲线的右顶点，以为直径的圆与的一条渐近线交于另一点，若，则的离心率为（ [endnoteRef:3] ） A. B. 2 C. D. 4 （中下） [3: 【答案】B 【解析】 【分析】由渐近线方程和⊥求出，由勾股定理得到，从而求出离心率. 【详解】由题意得，⊥，双曲线的一条渐近线方程为， 故，即， 又，所以， 由勾股定理得，即， 解得， , 故选：B. ] 3. （2024年鄂J03武汉二联，末）8. 斜率为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线两条渐近线于，两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的离心率为（[endnoteRef:4] ） A. B. C. D. （中下） [4: 【答案】B 【解析】 【分析】设是中点，且，根据求得，再由得到直线倾斜角为，则直线倾斜角为，结合倍角正切公式求，进而求离心率. 【详解】由题设，双曲线的渐近线为，如下图， 若是中点，且， ，则，可得， 所以，则，而，则， 所以，若直线倾斜角为，则直线倾斜角为， 由，则，故， 所以双曲线的离心率为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：若是中点，应用点差法求得，即，由得直线倾斜角为，则直线倾斜角为为关键. ] 4. （2024年浙J25温州二适，末）14. 已知，分别是双曲线与抛物线的公共点和公共焦点，直线倾斜角为，则双曲线的离心率为[endnoteRef:5]______． （中下） [5: 【答案】或 【解析】 【分析】由题意，根据直线倾斜角为得直线的方程为，联立得点坐标，代入双曲线方程即可得离心率. 【详解】 因为为双曲线与抛物线的公共焦点， 所以，故， 因直线倾斜角为，故直线的斜率为，直线的方程为， 联立，得，即， 得或， 当时，，代入得， 又因，，得， 解得，又因，得 当时，，代入得， 又因，，得， 解得，又因，得 故答案为：或. ] 5. （2024年苏J01高邮一模）7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在C的左支上，，的周长为，则C的离心率为（ [endnoteRef:6] ） A. 2 B. C. D. （中下） [6: 【答案】C 【解析】 【分析】根据综合条件，结合双曲线定义，利用余弦定理计算即得. 【详解】令双曲线的焦距为，依题意，，解得， 在中，，由余弦定理得， 整理得，所以双曲线C的离心率为. 故选：C ] 6. （2024年浙J23适应）7. 已知过原点且斜率为的直线交双曲线于，两点，点是双曲线的一个焦点，若，则双曲线的离心率为（ [endnoteRef:7] ） A. B. C. 2 D. （中下） [7: 【答案】A 【解析】 【分析】通过对称性以及数量积与垂直的关系可得是直角三角形，，由题意可设出，代入双曲线方程可得关于的齐次式，进而可得结果. 【详解】设坐标原点为，双曲线的另一个焦点为，连接，， 由对称性知，，所以四边形是平行四边形， 又，所以四边形是矩形， 故是直角三角形，. 不妨设点在第一象限，直线的倾斜角为， 则，，， 则点，即. 又点在双曲线上，所以，即， 即，又，所以，， 故选：A. 【点睛】本题是求解双曲线离心率的问题，解决本题的关键是由已知条件建立关于，的等式，解题时，应善于从题目给出的条件中挖掘几何元素间的关系，然后将这种关系用含，的等式表示，即可求得离心率. ] 7. （2024年鲁J02荷泽一模）13. 已知斜率为的直线过双曲线的右焦点且交双曲线右支于A、B两点，在第一象限，若，则的离心率为[endnoteRef:8]__________． （中下） [8: 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件及直线的斜率公式，利用锐角三角函数及点在双曲线上，结合齐次式及双曲线的离心率的公式即可求解. 【详解】过作轴，垂足为.如图所示 的斜率为，则,, 在双曲线上， 即，于是有， 进而得出，解得或（舍）， ，即（负舍）， 故的离心率为. 故答案为：. ] 8. （2024年鲁J03临沂一模）13. 已知是双曲线的左､右焦点，点在上. ，则的离心率为_[endnoteRef:9]_________. （中下） [9: 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件的几何关系把点的坐标表示为，将该点代入双曲线方程，构造齐次式求离心率. 【详解】过点作轴的垂线垂足为，由已知得，， 则，，解得， ∴点的坐标为， 将点的坐标代入双曲线方程得， 整理得， 将代入得， 即，解得或 ∵，∴舍去， ∴， 故答案为：. ] 9. （2024年J01全国一卷）12. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为__[endnoteRef:10]_________． （中下） [10: 【答案】 【解析】 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： ] 10. （2024年冀J19张家口一模）4. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其焦点到渐近线的距离为2，则的方程为（ [endnoteRef:11] ） A. B. C. D. （中下） [11: 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得及渐近线方程，再根据焦点到渐近线的距离及求出即可得解. 【详解】由题意可得，所以， 双曲线渐近线方程为，即， 焦点到渐近线的距离，所以， 又，所以， 所以的方程为. 故选：B. ] 11. （2024年粤J52燕博园）4.已知为双曲线的中心，为双曲线的一个焦点，且上存在点，使得，则双曲线的离心率为（[endnoteRef:12] ） A. B. C.5 D.7 （中下） [12: 4.答案：C 【命题意图】：本小题考查双曲线的定义及性质，考查数形结合思想，逻辑推理能力与运算求解的综合能力，体现解析几何的基本思想与基本方法. 【解析】： ， ] 12. （2024年粤J42江门一模）5. 设，为双曲线的左、右焦点，点为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的渐近线于、两点，且点、分别在第一、三象限，若，则双曲线的离心率为（[endnoteRef:13] ） A. B. C. D. （中下） [13: 【答案】C 【解析】 【分析】先求出点，的坐标，再利用余弦定理求出之间的关系，即可得出双曲线的离心率． 【详解】由题意得圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为． 设点的坐标为，则点的坐标为， 由，又，解得或， ∴，． 又， ∴，， 在中，， 由余弦定理得 即， 化简得， ∴． 故选：C． ] 13. （2024年粤J26深圳华侨城一模）7. 已知，是椭圆的两个焦点，双曲线的一条渐近线与交于，两点. 若，则的离心率为（ [endnoteRef:14] ） A. B. C. D. （中下） [14: 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线方程可得，可得，再结合椭圆定义及离心率公式可得解. 【详解】 如图所示， 由已知，则一条渐近线， 即， 又， 即，且四边形为矩形， 所以， 则， 又根据椭圆定义可知， 所以离心率， 故选：D. ] 14. （2024年鄂J12三校二模）12. 关于双曲线C：，四位同学给出了四个说法： 小明：双曲线C的实轴长为8； 小红：双曲线C的焦点到渐近线的距离为3； 小强：双曲线C的离心率为； 小同：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为1； 若这4位同学中只有1位同学的说法错误，则说法错误的是[endnoteRef:15]______；双曲线C的方程为______． （第一空的横线上填“小明”、“小红”、“小强”或“小同”） （中下） [15: 【答案】 ①. 小强 ②. ． 【解析】 【分析】根据题意，小明、小红、小强三个人中必有1位同学说法错误，则小同的说法一定是正确的，小明和小红正确，小强的说法错误，得解. 【详解】由此确定 由题意，小明正确则有，小红正确有，小强正确有，小同正确则有， 由此分析小明、小红、小强三个人中必有1位同学说法错误，则小同的说法一定是正确的， 即，则小明和小红正确，即双曲线C：，故小强的说法错误． 故答案为：小强；. ] 15. （2024年浙J01湖州一中模拟）3. 已知点是双曲线的左焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，点是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（ [endnoteRef:16] ） A. 8 B. 5 C. 3 D. 2 （中下） [16: 【答案】B 【解析】 【分析】设右焦点为，根据双曲线的定义可得，再根据三角形性质结合点到线的距离求解即可. 【详解】设右焦点为，又由对称性，不妨设在渐近线上. 根据双曲线的定义可得，当且仅当三点共线时取等号. 又当与渐近线垂直时取最小值，为，故最小值为5. 故选：B ] 16. （2024年湘J26衡阳八中，末）14. 已知平面直角坐标系中，直线：，：，点为平面内一动点，过作交于，作交于，得到的平行四边形面积为1，记点的轨迹为曲线．若与圆有四个交点，则实数的取值范围是[endnoteRef:17]______． （双曲线，中下） [17: 【答案】 【解析】 【分析】设点，则点到的距离为，再联立直线与的方程，求出点的坐标，进而表达出平行四边形面积，再结合平行四边形面积为求出点的轨迹方程，再利用双曲线的性质求解． 【详解】设点，则点到的距离为， 直线方程为， 联立，解得， 所以， 所以， 所以， 所以点的轨迹为两个双曲线、， 因为双曲线的实半轴长为，双曲线的实半轴长为， 若与圆有四个交点，则，即， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是求出动点的轨迹方程，最后结合双曲线的性质求出的取值范围. ] 17. （2024年鲁J01滨州一模，J06潍坊一模，末）14. 已知平面直角坐标系中，直线：，：，点为平面内一动点，过作交于，作交于，得到的平行四边形面积为1，记点的轨迹为曲线．若与圆有四个交点，则实数的取值范围是[endnoteRef:18]______． （中下） [18: 【答案】 【解析】 【分析】设点，则点到的距离为，再联立直线与的方程，求出点的坐标，进而表达出平行四边形面积，再结合平行四边形面积为求出点的轨迹方程，再利用双曲线的性质求解． 【详解】设点，则点到的距离为， 直线方程为， 联立，解得， 所以， 所以， 所以， 所以点的轨迹为两个双曲线、， 因为双曲线实半轴长为，双曲线的实半轴长为， 若与圆有四个交点，则，即， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是求出动点的轨迹方程，最后结合双曲线的性质求出的取值范围. ] 18. （2024年湘J01长郡一模）13. 已知为坐标原点，，，，向量，动点满足，写出一个，使得有且只有一个点同时满足，则_[endnoteRef:19]_________. （中下） [19: 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，点在以，为焦点的双曲线上，有且只有一个点，即是指直线与双曲线只有一个公共点即可. 【详解】由，且， 知点在以，为焦点的双曲线上，. 设，因，则 ，由于， . 若直线与双曲线的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点. 所以，解得. 故答案为：. ] 双曲线（中档）： 19. （2024年粤J102韶关二测）7. 已知双曲线的左焦点为，过点的直线与轴交于点，与双曲线交于点A（A在轴右侧）．若是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（ [endnoteRef:20] ） A. B. C. D. （中档） [20: 【答案】C 【解析】 【分析】利用题给条件得到的关系，进而得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设双曲线右焦点为，连接. 又中，，则, 由直线可得，则， 又由双曲线可得， 则，则有，即 又，则有， 整理得，解之得 则双曲线的渐近线方程为. 故选：C ] 20. （2024年湘J34长郡二适）14. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，右顶点为，过的直线交双曲线的右支于，两点（其中点在第一象限内），设，分别为，的内心，则当时，__[endnoteRef:21]__________；内切圆的半径为____________． （中档） [21: 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】利用双曲线定义和勾股定理即可求得，利用双曲线定义以及内切圆切线长相等，可知内切圆的半径即可求得结果. 【详解】由双曲线方程知，如下图所示： 由，则， 故， 而，所以， 故， 解得，所以， 若为内切圆圆心且可知，以直角边切点和为顶点的四边形为正方形， 结合双曲线定义内切圆半径 所以； 即内切圆的半径为； 故答案为：，； 【点睛】方法点睛：在求解双曲线中焦点三角形内切圆半径时，经常利用双曲线定义以及切线长相等，代入数值计算即可求得结果. ] 21. （2024年浙J06金丽衢一联，末）8. 已知分别是双曲线的左，右顶点，是双曲线上的一动点，直线，与交于两点，的外接圆面积分别为，则的最小值为（ [endnoteRef:22] ） A. B. C. D. 1 （中档） [22: 【答案】A 【解析】 【分析】容易知道，设直线的方程为：，则直线的方程为：，求出，两点坐标，则，设的外接圆的半径分别为，，由正弦定理得，，可知，再利用基本不等式即可求值. 【详解】由已知得，，，由双曲线的对称性，不妨设在第一象限， 所以，， 所以， 设直线的方程为：，则直线的方程为：， 同时令，则，， 所以， 设的外接圆的半径分别为，， 由正弦定理得， ，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以. 故选：A 【点睛】结论点睛：若、分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线上一动点，则直线与直线的斜率之积为定值. ] 22. （2024年浙J04温州一适，末）16. 斜率为1的直线与双曲线（）交于两点，点是曲线上的一点，满足，和的重心分别为，的外心为，记直线，，的斜率为，，，若，则双曲线的离心率为[endnoteRef:23]______. （中档） [23: 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与双曲线的性质，得出二级结论斜率之积为定值，取的中点，得到，再由，，结合所以，求得，利用，即可求解. 【详解】若直线与双曲线有两个交点，设的中点为， 联立方程组，整理得， 可得，则， 又由在直线上，可得， 所以，所以， 即直线与双曲线相交线的中点与原点的连线的斜率与直线的斜率之积为定值， 如图所示，取的中点， 因为的重心在中线上，的重心在中线上， 所以，，可得， 即， 又由，可得，可得 因为，且的外心为点，则为线段的中点， 可得，因为，所以， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】知识方法：求解圆锥曲线的离心率的常见方法： 1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； 2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解； 3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题. ] 23. （2024年粤J02佛山一中一模）已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，过点的直线l与双曲线E的左、右两支分别交于点A，B，弦AB的中点为M且.若过原点O与点M的直线的斜率不小于，则双曲线E的离心率的取值范围为（ [endnoteRef:24] ） A. B. C. D. （中档） [24: 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：连接，，结合双曲线的定义，再由条件列出不等式，代入计算，即可得到结果；方法二：连接，，可得，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，表示出，列出不等式，即可得到结果. 【详解】 方法一：如图，设双曲线E的半焦距为c，连接，，因为， 所以.设， 由双曲线的定义，得，， 所以，，， 所以，即. 设，则， 所以，解得. 又，所以， 解得，所以，即，所以. 故选：B. 方法二：如图，设双曲线E的半焦距为c，连接，，因为，所以. 设，由双曲线的定义，得，，所以. 设直线l的方程为，，. 由，消去x并整理，得. ， 因为直线l与双曲线E的两支相交，所以，即. 由，得.结合，化简得①. 由，两式相减，得，即②， ②代入①化简，得， 所以，即，所以. 故选：B. ] 24. （2024年鄂J05七市调研）13. 已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线的倾斜角分别为，则__________；当取最小值时，的面积为____[endnoteRef:25]______． （中档） [25: 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据双曲线的几何性质，斜率公式，以及基本不等式，即可分别求解. 【详解】设，则，可得， 又因为分别为双曲线的左右顶点，可得， 所以； 又由，所以， 当且仅当时，等号成立，所以，解得， 所以，所以， 所以的面积为. 故答案为：；. ] 25. （2024年粤J18执信二调）15. 过双曲线的右支上一点，分别向⊙和⊙作切线，切点分别为，则的最小值为[endnoteRef:26]________. （中档） [26: 【答案】17 【解析】 【分析】根据双曲线和圆的方程可确定双曲线焦点与圆的圆心重合，利用勾股定理表示出切线长，将问题转化为的最小值问题，利用双曲线定义和三角形三边关系可求得最小值. 【详解】由，得，所以双曲线的焦点坐标为， 由圆的方程知：圆圆心的坐标为，半径， 圆圆心的坐标为，半径， 分别为两圆切线， ， ， 为双曲线右支上的点，且双曲线焦点为， 又（当为双曲线右顶点时取等号）， ， 即的最小值为. 故答案为：17. ] 26. （2024年粤J21中附一调）15. 已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，若C与直线有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得，则双曲线离心率取值范围范围为[endnoteRef:27]___________. （中档） [27: 【答案】 【解析】 【分析】由直线与双曲线有交点，得在一三象限的渐近线的斜率大于1，得出的一个范围．双曲线上存在不是顶点的P，使得，与轴交于点，由平面几何的知识及双曲线定义得，在直角三角形中由边的关系得不等式，得出的范围，同时由的范围又是一个不等关系，从而得出离心率范围． 【详解】双曲线C与直线有交点，则，，解得， 双曲线上存在不是顶点的P，使得，则点在右支上， 设与轴交于点，由对称性，所以， 所以， ， 所以，由得，所以， 又中，，， 所以，即， 综上，． 故答案为：． ] 27. （2024年粤J19执信冲刺）15. 已知过原点的直线与双曲线交于M，N两点，点M在第一象限且与点Q关于x轴对称，，直线NE与双曲线的右支交于点P，若，则双曲线的离心率为[endnoteRef:28]_____． （中档） [28: 【答案】## 【解析】 【分析】先设出相关点的坐标，利用求得点坐标，推理证明（二阶结论），再利用和整体代入即得的齐次式，计算即得离心率. 【详解】 如图，设，则，,根据可得: ,故， 因点均为双曲线上的点，则 由① 因为，所以②，又③， 将②，③两式代入①式得：．故双曲线的离心率． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的方程与几何性质以及关于双曲线的二阶结论 是否熟悉.关键在于能否建立四条直线的斜率之间的数量关系，通过代入消去未知量，得出的齐次式. ] 28. （2024年湘J41永州三模）8．已知，分别是双曲线的左、右焦点，点为坐标原点，过的直线分别交双曲线左、右两支于，两点，点在轴上，，平分，其中一条渐近线与线段交于点，则（  [endnoteRef:29]  ） A． B． C． D． （中档） [29: 8．B 【分析】由可得，结合角平分线的性质和双曲线的定义可得，从而可得，在中，由余弦定理可得，进而可得，而，从而可求解. 【详解】 如图 , , , ， 设,则， 平分 , , , 由双曲线定义可知， ，即, 在中，由余弦定理知 化简得 , 由得 , 不妨令一条渐近线与线段的交点在第一象限，则 , . 故选：B 【点睛】关键点点睛：这道题的关键是由可得，结合角平分线的性质和双曲线的定义可得，从而可得. ] 29. （2024年粤J109珠海一中冲刺，末）14．过双曲线的右焦点的直线分别在第一､第二象限交的两条渐近线于两点，且.若，则双曲线的离心率为[endnoteRef:30] . （中档） [30: 【答案】 【分析】根据渐近线的斜率与倾斜角的关系，结合正切二倍角的公式、正切的定义、勾股定理、双曲线离心率的公式进行求解即可. 【详解】由题意可知该双曲线的渐近线方程为，如图所示： 令，于是有， 由双曲线和两条渐近线的对称性可得：， 因为，所以， 即， 在直角三角形中，设， 根据勾股定理可得：，或舍去， 即， 在直角三角形中， ， 由勾股定理可知：， 因为，所以 ，或舍去， 由， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用二倍角的正切公式、由已知等式化简成为的齐次方程，进而求出双曲线的离心率. ] 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$