2024年全国一卷数学新高考题型细分S1-3——圆锥曲线 单选填空3 双曲线（易～中下）

2024年全国一卷新高考题型细分S1-3 ——圆锥曲线 单选填空3 双曲线（易~中下） 1、 试卷主要是2024年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计202套。其中全国高考真题4套，广东47套，山东22套，江苏18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题型纯粹按照个人经验进行分类，没有固定的标准。 4、 《圆锥曲线——单选填空》题目分类有：椭圆（易~中档），双曲线（易~中档），抛物线（易~中档），其他等，大概251道题。 双曲线（易）： 1. （2024年粤J125新会华侨二模）1．双曲线的离心率为（[endnoteRef:2]    ） A． B．2 C． D．3 （易） [2: 1．C 【分析】由双曲线的方程可得，a，b，c的值，根据离心率公式即可求解. 【详解】由双曲线的方程可得， ，，， 所以. 故选：C. ] 2. （2024年粤J129佛山二模）1．已知双曲线，则其渐近线方程为（ [endnoteRef:3] ） A． B． C． D． （易） [3: 1．C 【分析】利用双曲线方程，求解渐近线方程即可． 【详解】由于双曲线为，所以其渐近线方程为. 故选：C. ] 3. （2024年鄂J23荆州四适）12．已知双曲线经过点，则C的渐近线方程为[endnoteRef:4] ． （易） [4: 12． 【分析】根据双曲线过点求出a，然后可得. 【详解】因为双曲线经过点，所以，解得， 又，所以渐近线方程为. 故答案为：. ] 4. （2024年鲁J31威海二模）3．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（   [endnoteRef:5] ） A． B． C． D． （易） [5: 3．D 【分析】根据公式求出，结合焦点位置即可得渐近线方程. 【详解】由题知，，解得， 又双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为. 故选：D ] 5. （2024年鲁J42青岛二适）2．已知双曲线的一条渐近线方程为，则（  [endnoteRef:6]  ） A．1 B．2 C．8 D．16 （易） [6: 2．A 【分析】利用双曲线方程先含参表示渐近线方程，再待定系数计算即可. 【详解】依题意，得， 令，即的渐近线方程为， 所以. 故选：A ] 6. （2024年苏J37苏锡常镇二调）2．已知双曲线C：经过点，则C的渐近线方程为（[endnoteRef:7]    ） A． B． C． D． （易） [7: 2．B 【分析】求出双曲线方程再根据双曲线渐近线的求法得解. 【详解】因为双曲线C：经过点， 所以，渐近线方程为. 故选：B ] 7. （2024年浙J20丽湖衢二模）2. 双曲线的渐近线方程为，则（ [endnoteRef:8] ） A. B. C. D. 2 （易） [8: 【答案】D 【解析】 【分析】借助渐近线的定义计算即可得. 【详解】由题意可得，又，故. 故选：D. ] 8. （2024年湘J01长郡一模）1. 已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（[endnoteRef:9] ） A. B. C. D. （易） [9: 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的标准形式结合渐近线方程求解即可. 【详解】因为双曲线方程为：， 所以渐近线方程为：. 故选：D ] 双曲线（基础）： 9. （2024年闽J20莆田三模）6．已知圆，，P是圆C上的动点，线段的垂直平分线与直线（点C是圆C的圆心）交于点M，则点M的轨迹是（  [endnoteRef:10]  ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 （基础） [10: 6．C 【分析】利用双曲线的定义结合垂直平分线的性质判定即可. 【详解】由题意可得圆心，半径. 因为M是线段的垂直平分线，所以， 则. 因为，所以点M的轨迹是以A，C为焦点的双曲线. 故选：C ] 10. （2024年浙J07金丽衢二联）4. 双曲线的离心率e的可能取值为（[endnoteRef:11] ） A. B. C. D. 2 （基础） [11: 【答案】A 【解析】 【分析】由题得到或，再利用离心率，即可求出结果. 【详解】由，得到或， 当时，， 当，双曲线，， 所以， 故选：A. ] 11. （2024年粤J29珠海一中）3．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为（  [endnoteRef:12]  ） A． B．2 C． D． （基础） [12: 【答案】A 【分析】根据渐近线的倾斜角求出渐近线的斜率，进而求得，再根据点到直线的距离公式可求出结果. 【详解】因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为，， 所以该渐近线的方程为，所以， 解得或（舍去），所以， 此双曲线的右焦点坐标为，到一条渐近线的距离为. 故选：A ] 12. （2024年粤J44梅州二月检）6. 如果双曲线的离心率为2，那么椭圆的离心率为（ [endnoteRef:13] ） A. B. C. D. （基础） [13: 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线、椭圆的标准方程与离心率的定义计算即可求解. 【详解】由题意知，双曲线的离心率为2， 则，解得，得， 所以椭圆的离心率为. 故选：D ] 13. （2024年苏J07百师联盟）4. 若双曲线的实轴长为2，离心率为，则双曲线的左焦点到一条渐近线的距离为（ [endnoteRef:14] ） A. B. C. 1 D. 2 （基础） [14: 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件列方程组求出，然后利用点到直线的距离求解即可. 详解】由已知得，解得， 则双曲线的左焦点，一条渐近线， 故双曲线的左焦点到一条渐近线的距离为. 故选：A. ] 14. （2024年湘J47长沙雅礼二模）3．中心在坐标原点，离心率为的圆锥曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（    [endnoteRef:15]） A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x （基础） [15: 3．D 【分析】根据离心率可求出，再根据焦点位置可得出渐近线方程. 【详解】∵=，∴，∴. ∵双曲线的焦点在y轴上，∴双曲线的渐近线方程为y=±x. ∴所求双曲线的渐近线方程为y=±x. 故选：D. ] 15. （2024年粤J01）已知双曲线的实轴长为8，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的渐近线方程为（ [endnoteRef:16] ） A. B. C. D. （基础） [16: 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件分别求双曲线的，再代入渐近线方程. 【详解】椭圆的焦点在轴上，其中，，， 所以焦点坐标为和， 双曲线的焦点为和，即，实轴长，则， 那么 所以双曲线的渐近线方程为，即. 故选：B ] 16. （2024年湘J42岳阳三检）12．已知双曲线过点，且渐近线方程为，则的离心率为[endnoteRef:17] ． （基础） [17: 12．/ 【分析】分焦点在轴或轴上两种情况，设出双曲线方程，依题意，得到方程组，解之即得离心率. 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，其方程为，依题有，方程组无解； 当双曲线的焦点在轴上时，其方程为，依题有，解得， 则. 故答案为：. ] 17. （2024年湘J05长沙调研）4. 已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为（ [endnoteRef:18] ） A. B. C. D. （基础） [18: 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用双曲线的几何性质，求得，结合，即可求解. 【详解】由双曲线，可得其渐近线为， 不妨取，即，且焦点， 因为焦点到一条渐近线的距离为2，可得， 所以双曲线的离心率. 故选：B. ] 18. （2024年粤J132华师附五月适）12．已知圆锥曲线的焦点在轴上，且离心率为2，则 [endnoteRef:19] ． （基础） [19: 12． 【分析】由圆锥曲线是双曲线，方程表示成标准方程，由离心率求的值. 【详解】圆锥曲线的离心率为，则该圆锥曲线是双曲线， 将方程化成焦点在轴上的标准形式， 由离心率， 有，得． 故答案为： ] 19. （2024年粤J139深圳外国语九模）3．已知p：双曲线C的方程为，q：双曲线C的渐近线方程为，则（    [endnoteRef:20]） A．p是q的充要条件 B．p是q的充分不必要条件 C．p是q的必要不充分条件 D．p是q的既不充分也不必要条件 （基础） [20: 3．B 【分析】根据双曲线的性质，判断充分必要条件，即可判断选项. 【详解】若双曲线的方程为，则渐近线方程为， 若双曲线C的渐近线方程为，则双曲线的方程为， 所以，但， 所以是的充分不必要条件. 故选：B ] 20. （2024年鄂J19黄冈八模）1．双曲线的渐近线方程为（   [endnoteRef:21] ） A． B． C． D． （基础） [21: 1．A 【分析】根据双曲线渐近线的求法求得正确答案. 【详解】由解得双曲线的渐近线方程为. 故选：A ] 21. （2024年鄂J18四月调）4．双曲线的两条渐近线的夹角的大小等于（   [endnoteRef:22] ） A． B． C． D． （基础） [22: 4．B 【分析】求得双曲线的两条渐近线方程，得到斜率和倾斜角，再求出渐近线夹角的大小. 【详解】双曲线的两条渐近线的方程为， 由直线的斜率为，可得倾斜角为， 的斜率为，可得倾斜角为， 所以两条渐近线的夹角的大小为， 故选：B. ] 22. （2024年冀J47唐山二模）3．若一条双曲线的实轴及虚轴分别为另一条双曲线的虚轴及实轴，则它们互为共轭双曲线．已知双曲线的标准方程为，则的共轭双曲线的离心率为（ [endnoteRef:23]   ） A． B． C． D．2 （基础） [23: 3．A 【分析】根据题意结合双曲线求出共轭双曲线，并计算共轭双曲线离心率即可. 【详解】由题意可知，双曲线的标准方程为， 所以共轭双曲线为， 所以共轭双曲线的离心率为. 故选：A. ] 23. （2024年冀J46石家庄二检）3．已知曲线，则“”是“曲线的焦点在轴上”的（  [endnoteRef:24]  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （基础） [24: 3．A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及椭圆、双曲线的特征判断即可. 【详解】当时曲线表示焦点在轴上的椭圆，故充分性成立； 当时曲线表示焦点在轴上的双曲线， 故由曲线的焦点在轴上推不出，即必要性不成立； 所以“”是“曲线的焦点在轴上”的充分不必要条件. 故选：A ] 24. （2024年冀J45石家庄三检）4．已知双曲线的实半轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为（    [endnoteRef:25]） A． B． C． D． （基础） [25: 4．B 【分析】设双曲线的上焦点为，由题意可得，可求，由已知可求，可求渐近线方程. 【详解】设双曲线的上焦点为， 双曲线的渐近线方程为， 由点到直线的距离公式可得， 又双曲线的实半轴长为，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，即. 故选：B. ] 25. （2024年冀J30保定二模）5．已知双曲线的离心率为方程的解，则的渐近线的斜率的绝对值为（ [endnoteRef:26]   ） A． B． C． D． （基础） [26: 5．D 【分析】求出方程的根得到离心率，再利用即可得到答案. 【详解】因为方程的解为或， 且双曲线的离心率大于1，所以．由，解得． 故选：D. ] 26. （2024年鲁J30泰安二模）5．已知双曲线，则“”是“双曲线的离心率为”的（[endnoteRef:27]    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （基础） [27: 5．A 【分析】分类讨论双曲线焦点所在位置，结合离心率可得的取值范围为，再根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若双曲线的离心率为，则有： 当双曲线的焦点在x轴上，则，解得， 可得，解得； 当双曲线的焦点在y轴上，则，解得， 可得，解得； 综上所述：的取值范围为. 显然是的真子集， 所以“”是“双曲线的离心率为” 充分不必要条件. 故选：A. ] 27. （2024年鲁J45泰安三模）5．已知为双曲线（，）的右焦点，直线与的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，是面积为4的直角三角形，则的方程为（   [endnoteRef:28] ） A． B． C． D． （基础） [28: 5．B 【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性求出渐近线方程，再结合给定面积计算得解. 【详解】由为直角三角形，及双曲线的对称性知，且， 则的渐近线方程为，即，由的面积为4，得，解得， 又，因此， 所以的方程为. 故选：B ] 双曲线（中下）： 28. （2024年浙J40台州二评）8．设，是双曲线：的左、右焦点，点分别在双曲线的左、右两支上，且满足，，则双曲线的离心率为（[endnoteRef:29]    ） A．2 B． C． D． （中下） [29: 8．B 【分析】设与的交点为，，进而根据下向量关系得，再结合双曲线的性质即可得，，进而结合余弦定理求得，最后在中利用余弦定理求得，进而可得答案. 【详解】解：如图，设与的交点为，， 因为，所以， 所以，由双曲线的定义可知：，， 因为，所以， 所以，， 所以，， 所以，在中，， 所以 ，由余弦定理有：， 代入，，，整理得， 解得，（舍）， 所以，,，， 所以，在中，由余弦定理有：， 代入数据整理得：， 所以，双曲线的离心率为：. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用向量的关系得到，进而在中结合余弦定理求得. ] 29. （2024年冀J27名校联盟三模）5．已知是坐标原点，是双曲线右支上任意一点，过点作双曲线的切线，与其渐近线交于A，两点，若的面积为，则双曲线的离心率为（    [endnoteRef:30]） A． B． C． D．2 （中下） [30: 5．C 【详解】不妨设是双曲线在第一象限的一点， 不妨设，得，得，所以， 则在的切线斜率， 所以在点处的切线方程为， 又由，可得切线方程为，所以与x轴交点坐标为 不妨设是切线与渐近线在第一象限的交点， 是切线与渐近线在第四象限的交点，双曲线的渐近线方程是， 联立，解得， 联立，解得， 所以， 解得，所以，所以, 故选：C. ] 30. （2024年闽J23厦门四检）8．已知双曲线，过右焦点作一条渐近线的垂线，垂足为，点在上，且，则的离心率为（ [endnoteRef:31]   ） A． B． C．2 D．3 （中下） [31: 8．B 【分析】利用渐近线方程和过焦点的垂线方程可求得垂足点A坐标为，再由向量关系去求出点的坐标，再代入双曲线方程可得离心率的关系式，最后可解得. 【详解】 由右焦点作一条渐近线的垂线，可设直线方程为：， 与该渐近线方程：，联立方程组解得：， 即点A坐标为，再设点，则由可得： ，即， 把该点代入椭圆方程可得：， 化简得：，由双曲线的离心率可得： ，解得：， 因为双曲线的离心率，所以， 故选：B. ] 31. （2024年闽J24漳州四检）8．已知双曲线左、右焦点分别为，过的直线与的渐近线及右支分别交于两点，若，则的离心率为（  [endnoteRef:32]  ） A． B．2 C． D．3 （中下） [32: 8．C 【分析】根据题意分析可知为的中点，且，结合点到直线的距离公式可得，根据双曲线的定义结合勾股定理运算求解. 【详解】因为，可知为的中点，    且为的中点，可知∥， 又因为，可知，则， 则点到直线的距离， 可得， 由可得， 整理得，则，整理得， 所以的离心率为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：1．椭圆、双曲线离心率（离心率范围）的求法：求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值；2．焦点三角形的作用：在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． ] 32. （2024年粤J124广州天河三模）5．已知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为（   [endnoteRef:33] ） A． B． C． D．3 （中下） [33: 5．C 【分析】根据双曲线定义可得，，即可在焦点三角形中，利用余弦定理求解,由离心率公式即可求解. 【详解】根据题意可知点在右支上，则，又， ，， ，则在中，， ，故. 故选：C． ] 33. （2024年冀J39承德二模）13．已知双曲线分别为其左､右焦点，为双曲线上一点，，且直线的斜率为2，则双曲线的离心率为 [endnoteRef:34] . （中下） [34: 13． 【分析】在直角三角形中，由直线的斜率为2得到，进一步由双曲线定义求出，再利用勾股定理建立的等量关系，即可求出离心率的值. 【详解】由于直线的斜率为2，因此，又，故， 由双曲线定义得，因此， 又，所以， 故双曲线的离心率为， 故答案为：. ] 34. （2024年湘J38怀化二模）14．已知双曲线，过点的直线交双曲线于两点，交轴于点（点与双曲线的顶点不重合），若，则当时，点坐标为[endnoteRef:35] ． （中下） [35: 14． 【分析】设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及向量坐标运算结合已知列式求解即得. 【详解】显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，则， 由消去y并整理得， ，则且，设， 于是，， 由，得，则， ，而，因此，解得， 所以点坐标为. 故答案为：    【点睛】思路点睛：直线与双曲线相交问题，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． ] 35. （2024年冀J40邯郸模拟）7．已知为坐标原点，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，若直线和的倾斜角分别为和，且，则双曲线的离心率为（  [endnoteRef:36]  ） A． B．5 C．2 D． （中下） [36: 7．B 【分析】由已知计算可得所以直线的斜率为，直线的斜率为，设，由，解得，代入双曲线方程计算即可求得结果. 【详解】由题意得， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 设，则有，解得， 代入双曲线方程，得， 又，所以， 化简可得：，， 所以，解得或(,舍). 故选：B ] 36. （2024年冀J35部分中学评估）7．如图，双曲线的左焦点为（其中），且，，直线FA分别与双曲线的两条渐近线交于M，N两点．若，则双曲线的离心率为（ [endnoteRef:37]   ） A． B． C． D． （中下） [37: 7．A 【分析】本题根据已知条件提供的图形可知直线的斜率存在且不为零，将直线代入渐近线方程可得一元二次方程，利用根与系数的关系可求得线段MN的中点坐标，再利用等腰三角形中有，等价于两线段所在直线的斜率之积等于即可求解. 【详解】直线FA的方程为，双曲线的渐近线方程为， 此渐近线方程可以写成的形式， 联立并消去y得， 设，，由韦达定理得， 设线段MN的中点为，则，， 所以． 由得，故， 即化简得， 所以离心率为. 故选：A． ] 37. （2024年鄂J21黄冈二模）7．过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为交另一条渐近线于点，且点在点之间，若，则双曲线的渐近线方程为（  [endnoteRef:38]  ） A． B． C． D． （中下） [38: 7．B 【分析】设渐近线的倾斜角为，则，由点到直线的距离和双曲线的性质得到，再由题中几何关系得到，解方程即可求出. 【详解】 设渐近线的倾斜角为，则， 又到渐近线的距离为， 又，所以， 所以，所以， 所以， 即，解得， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：B. ] 38. （2024年浙J36名校联盟三联考）8．设为原点，为双曲线的两个焦点，点在上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为（[endnoteRef:39]    ） A． B． C． D． （中下） [39: 8．B 【分析】设，由题意列出含的方程组，解出的关系式，进而求出双曲线的渐近线即可. 【详解】 设 ，由双曲线的定义知 ， 在 中，由余弦定理得：， 所以 ， 再由，为的中点，延长至，使， 所以四边形为平行四边形，且， 在中，由余弦定理知：， 在中，由余弦定理知：， 因为，则， 可知， 所以 ③， 由得，   把代入得， 化简得 ， 所以渐近线方程为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：由四点共圆的四边形四个边的平方和等于两条对角线的平方和是解决本题的关键. ] 39. （2024年浙J35金华义乌三模）13．若圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2，则双曲线的离心率为[endnoteRef:40] . （中下） [40: 13． 【分析】根据条件，将弦长转化为圆心到渐近线的距离，进而可得出与的关系，求解即可. 【详解】对于双曲线，其渐近线方程为， 对于圆，有， 圆心为，半径， 渐近线被圆截得的弦长为，所以圆心到渐近线的距离为， 由点到直线距离公式得：，所以， 所以，解得，所以双曲线的离心率为. 故答案为：. ] 40. （2024年浙J32北斗星盟联考）8．设双曲线：（，）的左焦点为，过坐标原点的直线与交于，两点，，，则的离心率为（ [endnoteRef:41]   ） A． B． C． D． （中下） [41: 8．B 【分析】设，结合已知条件和双曲线的定义求得，利用余弦定理列方程，解方程求得，由此求得离心率. 【详解】如图，设双曲线的右焦点为，连接，. 由双曲线的对称性可得：，， 则四边形是平行四边形，又因为，则， 设，由双曲线的定义可得：， 在中，由余弦定理可得： 所以， 整理可得：，解得：或（舍去）， 则，， 在中，由余弦定理可得： 所以， 整理可得：，所以. 故选：B. ] 41. （2024年浙J31五校联考）8．已知双曲线上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ [endnoteRef:42]   ） A． B． C． D． （中下） [42: 8．A 【分析】设点，则可取，代入双曲线方程整理可得，结合渐近线列式求解即可. 【详解】由题意可知：双曲线的渐近线方程为， 设点，则可取， 则，整理得， 解得，即，可得，则， 所以该双曲线离心率的取值范围是． 故选：A. 【点睛】关键点点睛：1.巧妙设点：设点，根据垂直和长度关系可取； 2.根据渐近线的几何意义可得：. ] 42. （2024年粤J136茂名高州一模）15．已知双曲线，直线分别与的左、右支交于两点，为坐标原点，若的面积为，则直线的方程为[endnoteRef:43] . （中下） [43: 15． 【分析】联立直线与曲线方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，借助韦达定理表示的面积并计算即可得解. 【详解】联立，消去，得， 令，，则，， ，，解得， 由直线过定点，故， ， 解得或（舍去），，直线的方程为. 故答案为：. ] 43. （2024年粤J134揭阳二模）14．已知分别是双曲线的左､右焦点，是的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则 [endnoteRef:44] . （中下） [44: 14．2 【分析】根据双曲线的定义求解． 【详解】双曲线的实半轴长为， 延长交直线于点，由题意有，， 又是中点，所以， 故答案为：2.    ] 44. （2024年鄂J24荆州三适）8．斜率为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线于两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的渐近线方程为（[endnoteRef:45]    ） A． B． C． D． （中下） [45: 8．D 【分析】利用点差法代入计算得，然后结合，可得，设直线的倾斜角为，则可得，从而得，即可得双曲线的渐近线方程. 【详解】设的中点为，设，则，得，则，设直线的倾斜角为，又，所以，可得，所以直线的倾斜角为，则的斜率为，所以，所以双曲线的渐近线方程为， 故选： 【点睛】一般在圆锥曲线中涉及中点弦的问题通常采用点差法计算，根据中点的坐标代入计算得与的关系. ] 45. （2024年苏J02前黄一模）13. 已知是双曲线上任意一点，若到的两条渐近线的距离之积为，则上的点到焦点距离的最小值为[endnoteRef:46]__________． （中下） [46: 【答案】 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】所求的双曲线方程为，则渐近线方程为， 设点，则， 点到的两条浙近线的距离之积为， 解得：，故双曲线方程为：， 故，故双曲线上的点到焦点距离的最小值为． 故答案为：． ] 46. （2024年苏J05常州调研）7. 已知点在双曲线上，过点P作双曲线的渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若，，则（ [endnoteRef:47] ） A. B. 2 C. D. （中下） [47: 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分别写出直线、的方程，将其分别与渐近线方程联立求得点的坐标，利用平面向量数量积的坐标公式计算代入,解方程即得. 【详解】 如图，直线的方程为：，由， 解得，； 直线的方程为：，， 解得，， ，， 故， 解得：. 故选：C． ] 47. （2024年湘J30教盟二联考）6. 已知双曲线的左、右焦点分别是为坐标原点，以为直径的圆与双曲线交于点，且在上的投影向量为，则双曲线的离心率为（[endnoteRef:48] ） A. 2 B. 3 C. 4 D. （中下） [48: 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到点坐标关于的表示，再将其代入双曲线方程得到关于的齐次方程，从而得解. 【详解】不妨设点在第二象限，如图， 因为在上的投影向量为，则， 又，所以， 又在双曲线上，，则， 即，整理得， 所以，解得或（舍去），. 故选：D. ] 48. （2024年苏J24苏锡常镇一调）6. 在平面直角坐标系中，已知为双曲线的右顶点，以为直径的圆与的一条渐近线交于另一点，若，则的离心率为（ [endnoteRef:49] ） A. B. 2 C. D. 4 （中下） [49: 【答案】B 【解析】 【分析】由渐近线方程和⊥求出，由勾股定理得到，从而求出离心率. 【详解】由题意得，⊥，双曲线的一条渐近线方程为， 故，即， 又，所以， 由勾股定理得，即， 解得， , 故选：B. ] 49. （2024年冀J10承德二模）6. 已知分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（ [endnoteRef:50] ） A. 3 B. C. D. 2 （中下） [50: 【答案】C 【解析】 【分析】设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，运用双曲线的定义和条件可得，，，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值． 【详解】设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点， 由双曲线的定义可得， 由，可得，，， 由可得， 在三角形中，由余弦定理可得： ， 即有，化简可得， 所以双曲线的离心率． 故选：C． ] 50. （2024年湘J49长沙长郡三模）7．过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线交于两点．若，则（ [endnoteRef:51]   ） A． B． C． D． （中下） [51: 7．D 【分析】根据双曲线的定义，结合焦点三角形以及余弦定理即可求解. 【详解】设双曲线的右焦点为,连接, 由题意可得， 设 由余弦定理可得, 即，解得， 所以，故． 故选：D ] 51. （2024年湘J45长沙一中一模）4．已知点A为双曲线的左顶点，点B和点C在双曲线的左支上，若是等腰直角三角形，则的面积是（ [endnoteRef:52]   ） A．4 B． C． D． （中下） [52: 4．C 【分析】双曲线的左顶点，设，根据图形特征求出点坐标，从而可求的面积. 【详解】由题意得，点B和点C在双曲线的左支上， 若是等腰直角三角形，设，由对称性有， 则有 ，代入双曲线方程，解得，， 则有等腰直角三角形的斜边，三角形的高， 所以. 故选：C. ] 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$