3.1函数的概念及其表示课件-2025届高三数学一轮复习

必备知识·逐点夯实 第一节　函数的概念及其表示 第三章　函数及其应用 核心考点·分类突破 【课标解读】 【课程标准】 1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,理解函数图象的应用. 3.了解简单的分段函数,并能简单应用. 【核心素养】 数学抽象、数学运算、逻辑推理. 【命题说明】 考向考法 高考命题常以基本初等函数为载体,考查函数的表示法、定义域、值域.分段函数是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现. 预测 预计2025年高考在函数的定义域、值域、解析式仍会出题,一般在选择题或填空题中出现,对分段函数的考查比较灵活,各种题型都可能涉及. 必备知识·逐点夯实 知识梳理·归纳 1.函数的概念 概念 一般地,设A,B是非空的________,如果对于集合A中的__________ _____,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有______确定的 数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 三 要 素 对应 关系 y=f(x),x∈A 定义域 ___的取值范围A 值域 与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A} 实数集 任意一个 数x 唯一 x 2.同一个函数 (1)前提条件:①定义域______;②对应关系__________. (2)结论:这两个函数为同一个函数. 3.函数的表示法 (1)解析法:就是把两个变量之间的对应关系用一个等式来表示,这个等式叫做函 数的解析式. (2)列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系. (3)图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 微点拨①在函数定义中,集合B不一定是函数的值域,它包含了函数的值域,即值 域是集合B的子集.②两函数的值域与对应关系相同,但两函数不一定相同, 如y=x2(x≥0)与y=x2. 相同 完全一致 4.分段函数 若函数在其定义域的子集上,因__________不同而分别用几个不同的式子来表示, 这种函数称为分段函数. 微点拨 分段函数是一个函数而不是几个函数,分段函数的定义域等于各段函数 的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集. 对应关系 常用结论 1.直线x=a(a是常数)与函数y=f(x)的图象至多有1个交点. 2.特殊函数的定义域: (1)分式型函数,分母不为零的实数集合. (2)偶次方根型函数,被开方式非负的实数集合. (3)f(x)为对数式时,函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合. (4)若f(x)=x0,则定义域为{x|x≠0}. (5)正切函数y=tan x的定义域为{x|x≠kπ+,k∈Z}. 基础诊断·自测 1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y=1与y=x0是同一个函数.(　 　) 提示:函数y=1的定义域为R,而y=x0的定义域为{x|x≠0},其定义域不同,故不是同一个函数. (2)对于函数f:A→B,其值域是集合B.(　 　) 提示:值域是集合B的子集. (3)若A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|,其对应是从A到B的函数.(　 　) 提示:集合A中的元素0在集合B中无元素与之对应. (4)若两个函数的定义域与值域分别相同,则这两个函数是同一个函数.(　 　) 提示:只有两个函数的定义域,对应关系分别相同时,这两个函数才是同一个函数. 类型 辨析 改编 易错 题号 1 2 3 × × × × 2.(必修第一册P65例2·变形式)函数f(x)=x+3+,若f(a)=,则a=　　　　.  【解析】由a+3+=,化简得,3a2+2a-5=0,解得a=1或a=-, 均符合题意,所以a=1或-. 【加练备选】(2023·上海高考)已知函数f(x)=,则f(x)的值域为　　　　.  【解析】当x>0时,f(x)=2x>1,当x≤0时,f(x)=1,所以f(x)的值域为. 3.(忽视新元的范围致误)若函数f(2x)=4x-2x,则f(x)=　　　　　　.  【解析】由题意,f(2x)=4x-2x=-2x, 设t=2x,则f(t)=t2-t,t>0,所以f(x)=x2-x,x>0. 1或- x2-x(x>0) 核心考点·分类突破 考点一函数的概念 1.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下列四个图象中,能表示集合M到集合N的函数关系的是(　　) A.①②③④ B.①②③ C.②③ D.② 【解析】选C.对于①,定义域为{x|0≤x≤1},不符合题意;对于④,集合M中有的元素在集合N中对应两个值,不符合函数定义;②③符合题意. 2.(多选题)下列各组函数是同一个函数的为(　　) A.f(x)=x2-2x-1,g(s)=s2-2s-1 B.f(x)=x-1,g(x)= C.f(x)=,g(x)= D.f(x)=,g(x)=x 【解析】选AC.同一个函数应满足①定义域相同;②对应关系完全一致,只有A,C满足. 3.已知集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是　　　.(填序号)  ①f:x→y=x;②f:x→y=x;③f:x→y=x;④f:x→y=. 【解析】③中,f:x→y=x,x∈[0,4]时,y=x∈[0,]⊈Q,故不满足函数的定义. ③ 4.以下给出的同组函数中,是否表示同一个函数?为什么? ①f1:y=;f2:y=1;f3:y=x0. ②f1:y=;f2:y=()2;f3:y= ③f1:y= f2: f3: x x≤1 1<x<2 x≥2 y 1 2 3 【解析】①不是.f1(x)与f3(x)的定义域为{x∈R|x≠0},f2(x)的定义域为R. ②不是.f1(x)的定义域为R,f2(x)的定义域为{x∈R|x≥0},f3(x)的定义域为 {x∈R|x≠0}. ③是同一个函数.x与y的对应关系完全一致且定义域相同,它们是同一个函数 的不同表示方法. 解题技法 (1)函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应,即可以“多对一”,不能“一对多”,而B中有可能存在与A中元素不对应的元素. (2)构成函数的三要素中,定义域和对应关系相同,则值域一定相同. 考点二 函数的定义域 [例1](1)函数y=的定义域为(　　) A.[-2,2] B.(-1,2] C.(-1,0)∪(0,2] D.(-1,1)∪(1,2] 【解析】选C.由已知可得 解得-1<x<0或0<x≤2,因此函数y=的定义域为(-1,0)∪(0,2]. (2)已知函数f(x)=的定义域是R,则实数a的取值范围是(　　) A. (,+∞) B.(-12,0] C.(-12,0) D. (-∞,] 【解析】选B.由题意可知ax2+ax-3≠0对任意实数x都成立.当a=0时,显然成立; 当a≠0时,需Δ=a2+12a<0,解得-12<a<0. 综上所述,实数a的取值范围为(-12,0]. (3)金榜原创·易错对对碰 ①若函数y=f(x)的定义域是[0,2 025],则函数g(x)=的定义域为　　　　　　　　.  ②若函数f(x-1)的定义域为[0,2 025],则函数g(x)=的定义域为　　　　　　　　.  [-1,1)∪(1,2 024] [-2,1)∪(1,2 023] 【解析】①使函数f(x+1)有意义,则0≤x+1≤2 025,解得-1≤x≤2 024, 故函数f(x+1)的定义域为[-1,2 024]. 所以函数g(x)有意义的条件是 解得-1≤x<1或1<x≤2 024. 故函数g(x)的定义域为[-1,1)∪(1,2 024]. ②由函数f(x-1)的定义域为[0,2 025], 得函数y=f(x)的定义域为[-1,2 024], 则,-2≤x≤2 023且x≠1. 所以函数g(x)的定义域为[-2,1)∪(1,2 023]. 解题技法 1.由函数解析式求定义域 已知函数的解析式,其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可. 2.求抽象函数的定义域的策略 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出; (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 对点训练 1.函数f(x)=ln(4x-x2)+的定义域为(　　) A.(0,4) B.[0,2)∪(2,4] C.(0,2)∪(2,4) D.(-∞,0)∪(4,+∞) 【解析】选C.使函数有意义,需满足 解得0<x<2或2<x<4. 2.已知函数f(x)的定义域为[-1,2],则函数g(x)=f(2x)+的定义域为(　　) A.[0,1] B.[-1,0] C. [-,1] D. [-,0] 【解析】选D.由题意得解得-≤x≤0. 3.已知函数f(x)=的定义域为[2,+∞),则a=　　　　.  【解析】由题意可知,不等式2x-a≥0的解集为[2,+∞),则22-a=0,解得a=4. 当a=4时,由2x-4≥0,可得2x≥4=22,解得x≥2,符合题意. 【加练备选】 已知函数f(x)=ln(ax2+x+1)的定义域为R,则a的取值范围为　　　　.  【解析】由条件知,ax2+x+1>0在R上恒成立,当a=0时,x+1>0,x>-1,不满足条件, 故即a>. 4 (,+∞) 解题技法 求函数解析式的四种方法 考点三函数的解析式 [例2](1)(一题多法)已知f(2x+1)=4x2-6x+5,则f(x)=　　　　　　　　.  【解析】方法一(换元法)令2x+1=t(t∈R),则x=, 所以f(t)=4()2-6·+5=t2-5t+9(t∈R),所以f(x)=x2-5x+9(x∈R). 方法二(配凑法)因为f(2x+1)=4x2-6x+5=(2x+1)2-10x+4=(2x+1)2-5(2x+1)+9, 所以f(x)=x2-5x+9(x∈R). 方法三(待定系数法)因为f(x)是二次函数,所以设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则f(2x+1)=a(2x+1)2+b(2x+1)+c=4ax2+(4a+2b)x+a+b+c. 因为f(2x+1)=4x2-6x+5,所以解得所以f(x)=x2-5x+9(x∈R). x2-5x+9(x∈R) (2)已知f(+1)=x+2,则f(x)=　　　　　　　　.  【解析】方法一:设t=+1,则x=(t-1)2,t≥1, 代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1.故f(x)=x2-1,x≥1. 方法二:因为x+2=()2+2+1-1=(+1)2-1, 所以f(+1)=(+1)2-1,+1≥1,即f(x)=x2-1,x≥1. (3)f(x)满足2f(x)+f()=3x-1,则f(x)=　　　　　　　　　.  【解析】(构造方程组法)已知2f(x)+f()=3x-1　①, 以代替①中的x(x≠0),得2f()+f(x)=-1　②, ①×2-②,得3f(x)=6x--1,故f(x)=2x--(x≠0). x2-1(x≥1) 2x--(x≠0) 对点训练 1.已知f()=2x2-3x,则f(2)=(　　) A.-1 B.1 C.2 D.3 【解析】选A.令=2,则x=1, 所以f(2)=2-3=-1. 2.已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)=　　　　.  【解析】因为f(x)是一次函数, 可设f(x)=ax+b(a≠0), 所以3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17. 即ax+5a+b=2x+17, 所以解得 所以f(x)的解析式是f(x)=2x+7. 2x+7 3.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f()·-1,则f(x)=　　　　.  【解析】在f(x)=2f()·-1中,将x换成,则得f()=2f(x)·-1. 由 解得f(x)=+. + 4.设函数f(x)对x≠0的一切实数均有f(x)+2f()=3x,则f(2 023)=　　　　.  【解析】因为f(x)+2f() =3x, 所以f()+2f(x)=, 联立得-3f(x)=3x-, 所以f(x)=-x+, 所以f(2 023)=-2 023+2=-2 021. -2 021 考点四 分段函数及其应用 考情提示 一手考情:分段函数作为考查函数知识的载体,因其考查函数知识较全面而成为高考命题的热点,重点考查求值、解方程与不等式,涉及函数的零点、图象及性质等. 角度1　分段函数求值 [例3](1)(2023·三明模拟)已知函数f(x)=则f(f(-2))=　　　　.  【解析】f(f(-2))=f()=log3=-2. -2 (2)已知函数f(x)=若f(m)=3,则m的值为　　　　.  【解析】由题意可知或解得m=9. 9 解题技法 “分段函数——分段看”,遇到分段函数要时刻盯住自变量的范围,并根据自变量的范围选择合适的解析式代入. (1)求函数值:当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. (2)求自变量的值:先假设所求的值在分段函数定义域区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验. 对点训练 1.设函数f(x)=若f(f() )=4,则b=(　　) A.1 B. C. D. 【解析】选D.f()=3×-b=-b,若-b<1,即b>时, 则f(f())=f(-b)=3(-b)-b=4, 解得b=,不合题意舍去. 若-b≥1,即b≤时,则=4,解得b=. 2.已知f(x)=则f(2 024)=　　　　.  【解析】因为f(x)= 所以f(2 024)=f(2 023)=f(2 022)=…=f(1), 又f(1)=f(1-1)=f(0), f(0)=-ln(0+e)+2=-1+2=1, 所以f(2 024)=1. 1 角度2　分段函数与方程、不等式问题 [例4](1)已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值为(　　) A.-3 B.-1 C.1 D.3 【解析】选A.因为f(1)=21=2,所以f(a)+2=0,所以f(a)=-2. 当a≤0时,f(a)=a+1=-2,所以a=-3; 当a>0时,f(a)=2a=-2,方程无解.综上,a=-3. (2)(一题多法)设函数f(x)=则满足f(x)+f(x-)>1的x的取值范围是　　　 　.  【解析】方法一:当x>时,2x+>1恒成立,所以x>, 当0<x≤时,2x+x-+1>1,即2x+x>恒成立,所以0<x≤, 当x≤0时,x+1+x-+1>1,解得-<x≤0, 综上,x的取值范围是(-,+∞). 方法二:将不等式f(x)+f(x-)>1变形为f(x-)>1-f(x), 令y1=f(x-),y2=1-f(x),作出两个函数的图象如图所示: 由图象可知,满足f(x-)>1-f(x)的x的取值范围是(-,+∞). (-,+∞) 解题技法 解分段函数的方程、不等式 当自变量取值不确定时,往往要分类讨论求解;当自变量取值确定,但分段函数中含有参数时,只需依据自变量的情况,直接代入相应解析式求解. 提醒:求解与分段函数有关的方程(不等式)的问题时,要依据不同范围对应的不同解析式分别求解,最后将各段所求结果并起来. 对点训练 1.设函数f(x)=若f(f(a))-f(a)+2=0,则实数a的值为(　　) A.-1 B.--1 C.+1 D.-+1 【解析】选B.令f(a)=t,f(f(a))-f(a)+2=0,则f(t)=t-2,①t≤0时,t2+2t=t-2,则t2+t+2=0无解;②t>0时,-t2=t-2,所以t=1,所以f(a)=1.a≤0时,a2+2a=1,则a=--1;a>0时,-a2=1无解,综上,a=--1. 2.设函数f(x)=则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是(　　) A.(-∞,-1] B.(0,+∞) C.(-1,0) D.(-∞,0) 【解析】选D.函数f(x)的图象如图所示, 结合图象知,要使f(x+1)<f(2x), 则需所以x<0. 3.已知函数f(x)=则f(f())=　　　　　; 若当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b-a的最大值是　　　　　　.  【解析】由已知得f()=- ()2+2=,f()=+-1=,所以f(f() )=. 当x≤1时,由1≤f(x)≤3可得1≤-x2+2≤3,所以-1≤x≤1; 当x>1时,由1≤f(x)≤3可得1≤x+-1≤3,所以1<x≤2+. 综上,-1≤x≤2+,所以b=2+,a∈[-1,1],所以b-a的最大值为3+. 3+ 谢谢观赏！！ $$