第09讲 直线的一般式方程（6大题型）-2024-2025学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第09讲 直线的一般式方程 【知识梳理】 · 考点一、直线的一般式方程 · 考点二：直线一般方程和其他形式的转化 · 考点三：一般式下直线的平行与垂直的问题 · 考点四：由两条直线平行或垂直求直线方程 · 考点五：直线过定点问题 · 考点六：直线一般方程的综合问题 【知识梳理】 知识点一　直线的一般式方程 关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 知识点二　直线的五种形式的方程 形式 方程 局限 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线 两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2 截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 无 知识点三　直线各种形式方程的互化 知识点四　一般式下直线的平行与垂直 设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)， 则l1∥l2⇔l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 【例题详解】 题型一、直线的一般式方程 1．（23-24高二上·贵州毕节·期末）若直线的斜率小于0，那么该直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024高二上·全国·专题练习）过点和，的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线l的倾斜角为，且在y轴上的截距为，则l的方程为（    ） A． B． C． D． 题型二：直线一般方程和其他形式的转化 4．（23-24高二上·湖北·期末）过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·贵州遵义·期末）已知直线过点，且倾斜角为直线倾斜角的一半，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·湖北·期末）已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则l的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 题型三：一般式下直线的平行与垂直的问题 7．（23-24高二下·河南）已知直线，䒴，，则（    ） A．或 B． C．或 D． 8．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知直线：与：互相垂直，则实数（    ） A．1 B． C．1或 D．1或2 9．（21-22高二上·北京昌平·期中）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．向量是直线的一个方向向量 C．过点与直线平行的直线方程为 D．若直线，则 题型四：由两条直线平行或垂直求直线方程 10．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 11．（23-24高二上·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 12．（23-24高二上·陕西汉中·阶段练习）已知直线 与直线交于点. (1)求过点且平行于直线的直线的方程； (2)求过点且垂直于直线的直线的方程； (3)求过点并且在轴上的截距是在轴上截距2倍的直线的方程. 题型五：直线过定点问题 13．（23-24高二上·北京·期中）已知直线方程，则可知直线恒过定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 14．（2023高二上·全国）已知，满足，则直线必过定点（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·河北石家庄·期中）不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型六：直线一般方程的综合问题 16．（23-24高二上·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求AC边的垂直平分线 17．（23-24高二上·湖北武汉·期中）在中，边所在的直线斜率为，其中顶点点坐标为，顶点的坐标为． (1)求边上的高所在的直线方程； (2)若，的中点分别为，，求直线的方程． 18．（23-24高二上·江苏无锡）如图，平面直角坐标系内，为坐标原点，点在轴正半轴上，点B在第一象限内，. (1)若，求的面积的最大值和取得面积最大值时的直线的方程； (2)设，若，求证：直线过一定点，并求出此定点的坐标. 【专项训练】 一、单选题 19．（23-24高二下·山东青岛）直线和直线垂直，则的值为（    ） A．1 B．0或1 C．0或-1 D．-1 20．（23-24高三上·山东青岛·期末）“”是“直线与平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 21．（23-24高二下·湖南常德·开学考试）已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则l的方程为（    ） A． B． C． D．或 22．（23-24高二下·河南·开学考试）已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知直线过点，且直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 24．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线，,，则下列结论正确的是（    ） A．直线l恒过定点 B．当时，直线l的倾斜角为 C．当时，直线l的斜率不存在 D．当时，直线l与直线不垂直 25．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 26．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知直线：与直线，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C．15 D． 二、多选题 27．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知直线与直线，下列说法正确的是（） A．当时，直线的倾斜角为 B．直线恒过点 C．若，则 D．若，则 28．（23-24高二上·浙江湖州·期末）对于直线l：（，），下列说法正确的是（    ） A．直线l的一个方向向量为 B．直线l恒过定点 C．当时，直线l的倾斜角为60° D．当且时，l不经过第二象限 29．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知直线，，则（   ） A．过定点 B．当时， C．当时， D．当时，的斜率不存在 30．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）已知直线：，其中，则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．若直线与直线平行，则 C．当时，直线的倾斜角为 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 31．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知直线的方程为，直线的方程为，（    ） A．则直线的斜率为 B．若，则 C．若，则或 D．直线过定点 32．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知的三个顶点分别是，且边上的高所在的直线方程为，则以下结论正确的是（    ） A． B．边上的中线所在的直线方程为 C．过点且平行于的直线方程为 D．三边所在的直线中，直线的倾斜角最大 三、填空题 33．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知，设直线，，若，则 . 34．（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，直线（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0恒过定点 . 35．（2024高二上·全国·专题练习）如图，已知直线过点，且与轴，轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，则三角形面积的最小值为 ． 36（23-24高二上·天津武清）下列说法正确的是 ． ①直线（）必过定点 ②直线在y轴上的截距为4 ③直线的倾斜角为120° ④过点且垂直于直线的直线方程为 四、解答题 37．（23-24高二上·江西九江·期末）（1）直线与直线平行，求的值； （2）直线与直线垂直，求的值. 38．（23-24高二上·北京石景山·期末）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点. (1)求边所在直线的方程； (2)求对角线所在直线的方程. 39．（2023高二上·江苏）已知ABC的三个顶点分别为. (1)求边AB所在直线的方程； (2)求边AC上的中线BD所在直线的方程. 40．（23-24高二上·甘肃白银·期中）已知直线方程为，其中． (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 直线的一般式方程 【知识梳理】 · 考点一、直线的一般式方程 · 考点二：直线一般方程和其他形式的转化 · 考点三：一般式下直线的平行与垂直的问题 · 考点四：由两条直线平行或垂直求直线方程 · 考点五：直线过定点问题 · 考点六：直线一般方程的综合问题 【知识梳理】 知识点一　直线的一般式方程 关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 知识点二　直线的五种形式的方程 形式 方程 局限 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线 两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2 截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 无 知识点三　直线各种形式方程的互化 知识点四　一般式下直线的平行与垂直 设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)， 则l1∥l2⇔l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 【例题详解】 题型一、直线的一般式方程 1．（23-24高二上·贵州毕节·期末）若直线的斜率小于0，那么该直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据直线过定点、且斜率小于0可得答案. 【详解】直线过定点， 且斜率， 故该直线不经过第三象限. 故选：C. 2．（2024高二上·全国·专题练习）过点和，的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用直线的截距式方程求得直线的方程，再化为一般式方程，即可求解. 【详解】由直线过点和，可得直线的截距式得直线方程为， 整理得，即直线的一般式方程为. 故选：C. 3．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线l的倾斜角为，且在y轴上的截距为，则l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出斜截式方程，再化为一般式． 【详解】直线l的倾斜角为，则l的斜率， 所以l的方程为，即． 故选：A 题型二：直线一般方程和其他形式的转化 4．（23-24高二上·湖北·期末）过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线互相垂直可得所求直线的斜率，利用直线的点斜式方程即得. 【详解】由直线可得其斜率为：，则与其垂直的直线斜率为， 故过点且与直线垂直的直线方程为，即：. 故选：C. 5．（23-24高二上·贵州遵义·期末）已知直线过点，且倾斜角为直线倾斜角的一半，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线倾斜角和斜率关系即可得出直线方程. 【详解】设直线的倾斜角为，则，解得， 因为直线倾斜角为直线倾斜角的一半， 所以直线倾斜角为，从而， 即直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为， 即. 故选：A. 6．（23-24高二上·湖北·期末）已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则l的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】按等腰三角形的底边和腰分类讨论求出直线的倾斜角，进而利用点斜式即可求出的方程. 【详解】直线的斜率为，所以倾斜角为， 因为直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形， 当等腰三角形底边在轴上时，直线的倾斜角为，斜率为， 当等腰三角形腰在轴上时，直线的倾斜角为，斜率为， 所以由点斜式可得的方程为或， 整理得的方程为或， 故选：D 题型三：一般式下直线的平行与垂直的问题 7．（23-24高二下·河南）已知直线，䒴，，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由两直线平行和垂直的条件，列方程求解. 【详解】已知直线， 由，得，且，解得， 由，得，故. 故选：B. 8．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知直线：与：互相垂直，则实数（    ） A．1 B． C．1或 D．1或2 【答案】D 【分析】根据两条直线垂直的充要条件可得. 【详解】由题意知，不同时为，且也不同时为， 则两直线， 化简得，解得，或. 故选：D. 9．（21-22高二上·北京昌平·期中）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．向量是直线的一个方向向量 C．过点与直线平行的直线方程为 D．若直线，则 【答案】D 【分析】求出直线的倾斜角可判断A，由直线的方向向量可判断B，由直线平行设所求，代点即可判断C，由直线垂直可判断D 【详解】对于A：的斜率为，所以直线的倾斜角为，故A错误； 对于B：因为直线的方向向量为或， 所以的方向向量为或，故B错误； 对于C：因为与直线平行的直线方程可设为， 又直线过点，故，解得， 故所求直线为，故C错误； 对于D：，，则， 所以，故D正确； 故选：D 题型四：由两条直线平行或垂直求直线方程 10．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出交点，后依据垂直求出所求直线的斜率，再求方程即可. （2）结合求出的交点，后依据平行求出所求直线的斜率，再求方程即可. 【详解】（1）联立方程与，解得，，故， 而的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. （2）易知的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. 11．（23-24高二上·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定，然后通过两点的坐标确定方程； （2）先确定直线的斜率，然后通过点的坐标和斜率确定方程. 【详解】（1）由于，，故，而，故的方程是，即. （2）由于直线的斜率是，且不在直线上. 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 12．（23-24高二上·陕西汉中·阶段练习）已知直线 与直线交于点. (1)求过点且平行于直线的直线的方程； (2)求过点且垂直于直线的直线的方程； (3)求过点并且在轴上的截距是在轴上截距2倍的直线的方程. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意，求得点的坐标，设直线的方程为，将点的坐标代入，即可得到结果； （2）根据题意，设直线的方程为，将点的坐标代入，即可得到结果； （3）根据题意，分直线经过原点与不经过原点讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由，得，所以交点， 设过点且平行于直线的直线方程为， 将点坐标代入，解得， 则直线方程是:. （2）求过点且垂直于直线的直线方程为， 将点坐标代入，解得， 则直线方程是:. （3）当直线过原点时，设直线方程为， 将点坐标代入，可得， 则，化简可得； 当直线不过原点时，设直线方程为， 由条件可得，解得， 则，化简可得； 综上所述，直线的方程为或, 题型五：直线过定点问题 13．（23-24高二上·北京·期中）已知直线方程，则可知直线恒过定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，令，解得即可. 【详解】直线，即，令，解得， 所以直线恒过点. 故选：B 14．（2023高二上·全国·专题练习）已知，满足，则直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件消去，令的系数为0即可. 【详解】由，得， 代入直线方程中， 得，即， 令，解得， 所以该直线必过定点. 故选：D 15．（23-24高二上·河北石家庄·期中）不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出的关系，然后利用基本不等式求出的最小值. 【详解】由直线， 得：，即恒过点， 因为直线过此定点，其中m，n是正实数 所以， 则， ，当且仅当时取等号； 故选：B 题型六：直线一般方程的综合问题 16．（23-24高二上·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求AC边的垂直平分线 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出中点，则可得到中线的直线方程； （2）根据直线垂直得到高的斜率，则得到边上的高的直线方程； （3）求出AC的中点，再根据斜率垂直则得到斜率，即可得到直线方程. 【详解】（1），，由中点坐标公式得中点为， 又，由直线方程的两点式得边上的中线的直线方程为， 整理得：. （2），，则，所以边上的高的直线的斜率为， 又，则边上的高的直线方程为， 整理得：． （3）因为，，则其中点坐标为， 而，则AC边的垂直平分线的斜率为1，其方程为：， 即. 17．（23-24高二上·湖北武汉·期中）在中，边所在的直线斜率为，其中顶点点坐标为，顶点的坐标为． (1)求边上的高所在的直线方程； (2)若，的中点分别为，，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）为边上的高所在的直线与所在的直线互相垂直且过点，利用点斜式计算可得； （2）首先求出的中点的坐标，依题意，则，即可求出的方程. 【详解】（1）由题意知边上的高过，， 因为边上的高所在的直线与所在的直线互相垂直， 故高线的斜率为， 所以边上的高所在的直线方程为：，即； （2）由已知点坐标为，，故的中点为， 因为是的一条中位线，所以， 而，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，化简可得． 18．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）如图，平面直角坐标系内，为坐标原点，点在轴正半轴上，点B在第一象限内，. (1)若，求的面积的最大值和取得面积最大值时的直线的方程； (2)设，若，求证：直线过一定点，并求出此定点的坐标. 【答案】(1)， (2)证明见解析，直线恒过定点. 【分析】（1）设，由距离公式结合基本不等式得出，进而得出的面积的最大值，并由取等条件得出直线AB方程； （2）讨论直线的斜率，设出直线方程，由得出，进而得出定点. 【详解】（1）设. 由，得，即. ， 当且仅当时取等号. 所以的面积， 当的面积取最大值时，， 直线的方程为：，即. （2） 若直线的斜率不存在，有，又，解得， 即直线的方程为； 若直线的斜率存在，则直线的方程， 化简得， 两边同除，又， 所以，整理得， 得过定点所以直线恒过定点. 【专项训练】 一、单选题 19．（23-24高二下·山东青岛）直线和直线垂直，则的值为（    ） A．1 B．0或1 C．0或-1 D．-1 【答案】B 【分析】由两直线垂直直接计算. 【详解】由两直线垂直可知， 解得或， 故选：B. 20．（23-24高三上·山东青岛·期末）“”是“直线与平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与平行”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】当时，直线与平行； 当直线与平行时， 有且，解得， 故“”是“直线与平行”的充要条件， 故选：C 21．（23-24高二下·湖南常德·开学考试）已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则l的方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【详解】设，直线过和， 当时，直线、直线与轴围成的三角形是不是等腰三角形.所以直线的斜率存在. 设关于轴的对称点为， 当直线过两点时，，三角形是等腰三角形， 同时由于直线的斜率为，倾斜角为，所以三角形是等边三角形， 所以，此时直线的方程为，即， 设直线与轴相交于点，如图所示，若， 则，所以直线，也即直线的斜率为， 对应方程为，即， 综上直线方程为或， 故选：D 22．（23-24高二下·河南·开学考试）已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的方向向量的概念求出直线的斜率，再用点斜式求直线的方程. 【详解】因为的一个方向向量为，所以设的斜率为，由点斜式得：直线方程为：. 故选：B 23．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知直线过点，且直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得直线的倾斜角为，得到的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，其中， 由直线，可得斜率为，即，可得， 根据题意，可得直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 因为直线经过点，可得直线的方程为，即. 故选：D 24．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线，,，则下列结论正确的是（    ） A．直线l恒过定点 B．当时，直线l的倾斜角为 C．当时，直线l的斜率不存在 D．当时，直线l与直线不垂直 【答案】B 【分析】中，令时,可求得l的必过点，可判定选项A；根据斜率公式求得直线l的斜率，进而可求得直线l的倾斜角，可判定选项B; 当时，求得直线l的斜率，即可判定选项C；当时，求得直线l的斜率，在求得直线得斜率，即可判定两者的位置关系，可判定选项D. 【详解】中，令时， 可得l恒过定点，故选项A错误； 当时，直线的斜率为， 则若倾斜角为时，，且， 则，故选项B正确； 当时，直线l为，斜率为， 故选项C错误； 当时，直线l的斜率为， 又, 所以， 则直线l与直线垂直，故选项D错误. 故选：B. 25．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所过的定点，再分别求出的斜率，结合图象即可得解. 【详解】直线化为， 令，解得， 所以直线过定点， ， 因为直线与线段有公共点， 结合图象可得直线斜率的取值范围为. 故选：A. 26．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知直线：与直线，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C．15 D． 【答案】B 【分析】根据直线的垂直关系推出，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知直线：与直线，， 则，即， 故， 当且仅当，结合，即时等号成立。 故的最小值为， 故选：B 二、多选题 27．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知直线与直线，下列说法正确的是（） A．当时，直线的倾斜角为 B．直线恒过点 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系判断A，利用直线过定点的求解判断B，利用直线平行与垂直的性质判断CD，从而得解. 【详解】A中，当时，直线的斜率，设其倾斜角为， 所以，则，所以A不正确； B中，直线，整理可得， 令，可得， 即直线恒过定点，所以B正确； C中，当时，两条直线方程分别为：， 则两条直线重合，所以C不正确； D中，当时，两条直线方程分别为：， 显然两条直线垂直，所以D正确. 故选：BD. 28．（23-24高二上·浙江湖州·期末）对于直线l：（，），下列说法正确的是（    ） A．直线l的一个方向向量为 B．直线l恒过定点 C．当时，直线l的倾斜角为60° D．当且时，l不经过第二象限 【答案】ABD 【分析】由直线方程的相关性质逐一判断即可. 【详解】对于A：直线l的一个方向向量为，A正确； 对于B：直线l的方程可化为，所以直线l恒过定点，B正确； 对于C：当时，直线l的斜率为，此时倾斜角为，C错误； 对于D：当且时，直线l为，所以l不经过第二象限，D正确. 故选：ABD. 29．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知直线，，则（   ） A．过定点 B．当时， C．当时， D．当时，的斜率不存在 【答案】ABD 【分析】令的系数等于零求出定点即可判断A；当时，求出两直线方程，利用斜率关系即可判断BD；当时，求出两直线方程，利用斜率关系即可判断C. 【详解】对于A，直线的方程化为，令，解得， 所以直线过定点，正确； 对于B，当时，，，所以，正确； 对于C，当时，其斜率为2，其斜率为0，故两直线相交，错误； 对于D，当时，，直线的倾斜角为，故的斜率不存在，正确. 故选：ABD. 30．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）已知直线：，其中，则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．若直线与直线平行，则 C．当时，直线的倾斜角为 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC 【分析】由直线的点斜式方程可判定A；由两直线平行，斜率相等可判定B；对于C、D，分别求出直线即可判断. 【详解】由已知，直线：， 则直线过定点，A正确； 若直线与直线平行，则， 得，或，B错误； 当时，直线：，则， 所以倾斜角为，C正确； 当时，直线：，其在轴上的截距分别为， 不相等，D错误. 故选：AC. 31．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知直线的方程为，直线的方程为，（    ） A．则直线的斜率为 B．若，则 C．若，则或 D．直线过定点 【答案】CD 【分析】根据时，直线的斜率不存在，即可判断A；根据两直线平行的充要条件计算即可判断B；根据两直线垂直的充要条件计算即可判断C；令的系数等于零求出定点即可判断D. 【详解】对于A，当时，直线的斜率不存在，故A错误； 对于B，若，则，解得或， 经检验，两个都符合题意，所以或，故B错误； 对于C，若，则，解得或，故C正确； 对于D，直线的方程化为， 令，解得， 所以直线过定点，故D正确. 故选：CD. 32．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知的三个顶点分别是，且边上的高所在的直线方程为，则以下结论正确的是（    ） A． B．边上的中线所在的直线方程为 C．过点且平行于的直线方程为 D．三边所在的直线中，直线的倾斜角最大 【答案】BC 【分析】对于A，利用高线所在直线方程，代入点的坐标，建立方程，可得答案；对于B，利用中点坐标公式，根据斜率公式以及点斜式方程，可得答案；对于C，根据斜率公式以及点斜式方程，可得答案；对于D，根据斜率与倾斜角的关系，可得答案. 【详解】对于A，在直线上，，故A不正确； 对于B，的中点为，，∴斜率为， 则直线方程为，即，故B正确； 对于C，直线方程为， 整理可得，故C正确； 对于D，，， 直线的倾斜角大于直线的倾斜角，故D不正确， 故选：BC． 三、填空题 33．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知，设直线，，若，则 . 【答案】 【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程，解得即可. 【详解】由题意得 当时，直线重合，舍去，故. 故答案为：. 34．（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，直线（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0恒过定点 . 【答案】（－1，－1） 【详解】 解析：方程（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0可化为（x－y）m＋（2x＋2y＋4）＝0.由得所以定点坐标是（－1，－1）. 【考查意图】直线过定点. 35．（2024高二上·全国·专题练习）如图，已知直线过点，且与轴，轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，则三角形面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】设出直线的截距式方程，推出截距关系式，写出面积的表达式，再由不等式得最值． 【详解】设直线为， 因为直线过点，则， 三角形面积为， 利用均值不等式，，即， 当且仅当等号成立， 于是，三角形面积为． 故答案为： 36（23-24高二上·天津武清·阶段练习）下列说法正确的是 ． ①直线（）必过定点 ②直线在y轴上的截距为4 ③直线的倾斜角为120° ④过点且垂直于直线的直线方程为 【答案】①③④ 【分析】①③由直线方程直接确定定点坐标、斜率，进而得倾斜角判断正误；②令求截距；④根据垂直关系，应用点斜式写出直线方程. 【详解】①直线，过定点，对； ②令，则，故在y轴上的截距为，错； ③由，即斜率为，结合倾斜角与斜率关系及其范围可得倾斜角为120°，对； ④过点且垂直于直线的直线方程为，即，对. 故答案为：①③④ 四、解答题 37．（23-24高二上·江西九江·期末）（1）直线与直线平行，求的值； （2）直线与直线垂直，求的值. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）根据两直线平行的充要条件计算即可； （2）根据两直线垂直的充要条件计算即可. 【详解】（1）因为直线与直线平行， 所以，解得， 经检验，当时，两直线重合， 所以； （2）因为直线与直线垂直， 所以，解得或. 38．（23-24高二上·北京石景山·期末）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点. (1)求边所在直线的方程； (2)求对角线所在直线的方程. 【答案】(1)BC所在直线方程为，AD所在直线方程为 (2) 【分析】（1）求出，由点斜式求出直线方程； （2）求出的中点坐标，再根据垂直关系得到，利用点斜式写出直线方程，得到答案. 【详解】（1）由菱形的性质可知，则. 所以边所在直线的方程为，即； 边所在直线的方程为，即. （2）线段的中点为， 由菱形的几何性质可知，且为的中点，则， 所以对角线所在直线的方程为，即. 39．（2023高二上·江苏·专题练习）已知ABC的三个顶点分别为. (1)求边AB所在直线的方程； (2)求边AC上的中线BD所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线方程的两点式求解； （2）先求得AC的中点，再由点B的坐标，利用直线方程的两点式求解. 【详解】（1）解：由两点式得边AB所在直线的方程为， 即. （2）由题意，得点D的坐标为， 由两点式，得BD所在直线的方程为， 即. 40．（23-24高二上·甘肃白银·期中）已知直线方程为，其中． (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程． 【答案】(1) (2)△AOB面积的最小值为4，此时的直线方程. 【分析】（1）把直线方程整理成关于的方程，由恒等式知识可得定点坐标，点到直线的距离的最大时，一定有与该直线垂直，可得结论． （2）求出直线与两坐标轴交点坐标，得三角形面积，然后由基本不等式得最小值及参数值． 【详解】（1）直线方程为， 可化为， 令，解得，所以直线恒过定点. 设定点为，当变化时，与该直线垂直时，点到直线的距离最大， 可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，为 （2）由于直线经过定点，直线的斜率存在且， 可设直线方程为可得与轴､轴的负半轴交于，两点，∴，，解得. ∴， 当且仅当时取等号，面积的最小值为4， 此时直线的方程为：，即：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$