第08讲 直线的点斜式方程、直线的两点式方程（5大题型）-2024-2025学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第08讲 直线的点斜式方程、直线的两点式方程 【知识梳理】 · 考点一：直线方程的点斜式 · 考点二：直线的两点式方程 · 考点三：直线的截距式方程 · 考点四：直线和坐标轴围成的面积问题 · 考点五：直线方程的综合问题 【知识梳理】 知识点一：直线的点斜式方程和斜截式方程 类别 点斜式 斜截式 适用范围 斜率存在 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和在y轴上的截距b 图示 方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 截距 直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距 知识点二：直线的两点式方程和截距式方程 名称 两点式 截距式 条件 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2，y1≠y2) 在x，y轴上的截距分别为a，b ( a≠0，b≠0) 示意图 方程 ＝ ＋＝1 适用范围 斜率存在且不为0 斜率存在且不为0，不过原点 【例题详解】 题型一：直线方程的点斜式 1．（23-24高二上·四川达州·期末）经过点且倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南·期中）过点且与直线垂直的直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高三上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(5，2),，则AB边上的高CD所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 题型二：直线的两点式方程 4．（21-22高二·全国）经过两点的直线方程都可以表示为（    ） A．＝ B．＝ C． D．＝ 5．（22-23高二上·安徽阜阳·期末）过点和点的直线在上的截距为（    ） A．1 B．2 C． D． 6．（22-23高二上·全国·课后作业）已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为( ) A． B． C． D． 题型三：直线的截距式方程 7．（23-24高二上·安徽滁州·期末）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．8 C． D． 8．（23-24高二上·天津南开·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 9．（23-24高二上·天津武清·期中）已知直线过点(2, 1)，且横截距、纵截距满足，则该直线的方程为（    ） A．2x+y-5=0 B．x+2y-4=0 C．x-2y=0或x+2y-4=0 D．x-2y=0或2x+y-5=0 题型四：直线和坐标轴围成的面积问题 10．（23-24高二上·河北邯郸）直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 11．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 12．（21-22高二上·全国·课后作业）过点且在两坐标轴上截距之和为0(不过原点)的直线方程为 ，此直线与两坐标轴围成的三角形面积为 . 题型五：直线方程的综合问题 13．（23-24高二上·上海·期末）已知直线过点． (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求直线的方程． 14．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 15．（23-24高二上·安徽安庆）已知点，求下列直线的方程： (1)求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程； (2)光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程． 【专项训练】 一、单选题 16．（23-24高二上·河南郑州·期末）过点，且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二上·甘肃白银·期末）若直线过点且与斜率为4的直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二上·北京顺义·期中）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 19．（23-24高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知直线经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）直线经过点，在轴上的截距为，在轴上的截距为，且满足，则直线的斜率为（    ） A．2 B． C． D．或 21．（2023高二·江苏·专题练习）直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高二上·湖北·阶段练习）直线过点，则直线与、正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 23．（23-24高二上·河南濮阳·阶段练习）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线：与的欧拉线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．3 24．（22-23高二上·湖北·阶段练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到点，如图，若光线经过的重心，则（    ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 25．（23-24高二上·浙江舟山·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 C．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为 D．过两点的直线方程为 26．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 D．经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示． 27．（23-24高二上·四川眉山）直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．当时，或； B．当时，； C．当时，过直线与的交点且平行于的直线方程为： D．当时，直线关于对称的直线方程为： 28．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知的三个顶点为，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为钝角 C．边上的中线所在的直线方程为 D．边所在的直线方程为 29．（23-24高二上·辽宁·期中）下列说法不正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．过，两点的所有直线的方程为 D．直线与直线互相平行，则 三、填空题 30．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则 . 31．（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知过点的直线在轴上的截距是其在轴上截距的3倍，则满足条件的一条直线的方程为 ． 32．（23-24高二上·四川眉山·阶段练习）已知直线l过点，且分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，则面积最小值为 ． 33．（2024高二上·全国·专题练习）直线l过点且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为 ，当的面积取最小值时直线l的一般式方程是 . 四、解答题 34．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线l经过点和点． (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 35．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）根据条件写出下列直线的方程： (1)斜率为，在轴上的截距是； (2)倾斜角为，在轴上的截距是； (3)倾斜角是直线的倾斜角的一半，且过点． 36．（2023高二上·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点． (1)求所在直线方程； (2)过点C作于点D，求所在直线的方程． 37．（23-24高二上·陕西咸阳·期中）在中，已知. (1)求边上中线所在的直线方程； (2)求边上的高所在的直线方程. 38．（22-23高二上·福建泉州）已知两点，. (1)求线段的垂直平分线； (2)直线过点且与线段有交点，求直线的倾斜角的取值范围. 39．（23-24高二上·安徽马鞍山）已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的点斜式方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为、B，当的面积最小时，求的斜截式方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 直线的点斜式方程、直线的两点式方程 【知识梳理】 · 考点一：直线方程的点斜式 · 考点二：直线的两点式方程 · 考点三：直线的截距式方程 · 考点四：直线和坐标轴围成的面积问题 · 考点五：直线方程的综合问题 【知识梳理】 知识点一：直线的点斜式方程和斜截式方程 类别 点斜式 斜截式 适用范围 斜率存在 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和在y轴上的截距b 图示 方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 截距 直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距 知识点二：直线的两点式方程和截距式方程 名称 两点式 截距式 条件 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2，y1≠y2) 在x，y轴上的截距分别为a，b ( a≠0，b≠0) 示意图 方程 ＝ ＋＝1 适用范围 斜率存在且不为0 斜率存在且不为0，不过原点 【例题详解】 题型一：直线方程的点斜式 1．（23-24高二上·四川达州·期末）经过点且倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线斜率，利用点斜式求出直线方程，得到答案. 【详解】直线斜率，故直线方程为，即. 故选：A 2．（23-24高二上·河南·期中）过点且与直线垂直的直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线的垂直关系,结合已知直线的斜率可得所求直线的斜率，由直线的点斜式方程结合已知条件即可求解. 【详解】因为直线的斜率为1，由题意，所求直线l的斜率为-1， 又直线l过点，所以由点斜式方程可知直线l的方程为：， 即， 故选：C 3．（21-22高三上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(5，2),，则AB边上的高CD所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的斜率，根据两直线垂直的性质，得出直线的斜率，从而得出直线的方程. 【详解】解：因为， 所以， 所以直线为：，即. 故选：C. 题型二：直线的两点式方程 4．（21-22高二·全国）经过两点的直线方程都可以表示为（    ） A．＝ B．＝ C． D．＝ 【答案】C 【分析】利用直线方程的两点式即可得出. 【详解】当时，由两点式可得直线方程为：＝， 化为：， 对于或时上述方程也成立， 因此直线方程为：. 故选：C. 5．（22-23高二上·安徽阜阳·期末）过点和点的直线在上的截距为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】求出直线AB的方程，解出直线在上的截距 【详解】过点和点的直线方程为即， 故直线在上的截距为1， 故选：A 6．（22-23高二上·全国·课后作业）已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得点M的坐标，由直线的两点式方程求解. 【详解】点M的坐标为(2,1)，由直线的两点式方程得，即. 故选：D 题型三：直线的截距式方程 7．（23-24高二上·安徽滁州·期末）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】对直线方程，令，即可求得结果. 【详解】对方程，令，解得； 故直线在轴上的截距为. 故选：A. 8．（23-24高二上·天津南开·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故C项正确. 故选：C. 9．（23-24高二上·天津武清·期中）已知直线过点(2, 1)，且横截距、纵截距满足，则该直线的方程为（    ） A．2x+y-5=0 B．x+2y-4=0 C．x-2y=0或x+2y-4=0 D．x-2y=0或2x+y-5=0 【答案】C 【分析】分截距为0和截距不为0时，根据直线过点（2，1）求解. 【详解】解：当截距为0时，设直线的方程为：， 因为直线过点(2, 1)，所以，即，则直线方程为：； 当截距不为0时，设直线方程为， 因为直线过点（2，1），所以，则， 所以直线方程为，即， 综上：直线的方程为： x-2y=0或x+2y-4=0， 故选：C 题型四：直线和坐标轴围成的面积问题 10．（23-24高二上·河北邯郸）直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率的几何意义结合二倍角公式可以先求出所求直线的斜率，再结合已知条件即可求出直线方程. 【详解】由题意不妨设直线与直线的斜率分别为，倾斜角分别为， 而，，又由二倍角公式， 所以有，整理得，解得或（舍去）， 所以设直线的方程为， 则直线与坐标轴分别交于， 所以由题意直线与坐标轴所围成的三角形的面积为， 解得，所以设直线的方程为， 当时，它可以变形为. 故选：C. 11．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】求出直线在坐标轴上的截距，再利用面积公式解方程可得. 【详解】令，得；令,得． 故与坐标轴围成的三角形的面积为，解得. 故选：B 12．（21-22高二上·全国·课后作业）过点且在两坐标轴上截距之和为0(不过原点)的直线方程为 ，此直线与两坐标轴围成的三角形面积为 . 【答案】 【分析】 设直线的截距式方程，将点坐标代入求解即可；先求出直线与坐标轴的交点，利用三角形面积公式求解即可. 【详解】 当直线不过原点时，可知直线在两坐标轴上的截距互为相反数，且不为0. 可设直线方程为，因为直线过，所以，解得， 所以直线方程为. 当直线方程为时，与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为， 故答案为. 题型五：直线方程的综合问题 13．（23-24高二上·上海·期末）已知直线过点． (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线过两点求出斜率，由点斜式方程求出直线方程； （2）设出直线的点斜式方程，列式运算即可得出直线方程. 【详解】（1）由直线过点，，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）直线过点，在轴和轴上的截距相等， 设直线的方程为，， 令得，令得，则， 解得或， 所以直线的方程为或. 14．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分直线过原点和不过原点，利用截距式直线方程解题即可； （2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可. 【详解】（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 当直线不过原点时，设直线为， 将代入可得， 所以直线的方程为； 当直线过原点时，直线的斜率为， 所以直线的方程为即． 综上，直线的方程为或； （2）设直线的方程为， 所以，， 所以， 当且仅当时，，（舍）， 所以直线的方程为即． 15．（23-24高二上·安徽安庆）已知点，求下列直线的方程： (1)求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程； (2)光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程． 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）根据题意，分直线过原点与不过原点讨论，结合直线的截距式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，求得点关于轴的对称点的坐标为，再由直线的点斜式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）当直线过原点时，满足在轴上的截距是轴上截距的2倍， 此时直线方程为，将代入，可得，化简可得； 当直线不过原点时，设直线方程为，且， 即，将代入，可得，解得， 则直线方程为，化简可得； 综上，直线方程为或. （2）点关于轴的对称点的坐标为， 由题意可知，反射光线所在的直线经过点与， 所以反射光线所在的直线斜率为， 则反射光线所在的直线方程为， 化简可得. 【专项训练】 一、单选题 16．（23-24高二上·河南郑州·期末）过点，且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】倾斜角为的直线斜率不存在，可解. 【详解】过点，且倾斜角为的直线垂直于轴， 其方程为. 故选：B 17．（23-24高二上·甘肃白银·期末）若直线过点且与斜率为4的直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线垂直的斜率关系求出斜率，然后可得直线方程. 【详解】因为直线与斜率为4的直线垂直， 所以直线的斜率为， 又直线过点， 所以直线的方程为，即． 故选：A 18．（23-24高二上·北京顺义·期中）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时，方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 则，解得， 所以直线方程为， 综上所求直线方程为或. 故选：C. 19．（23-24高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知直线经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意首先确定，的范围，然后逐一考查所给命题的真假即可. 【详解】已知直线经过第一、二、三象限，则直线在轴上的截距，在轴上的截距， 由直线的斜率小于1，可知，结合可得， 对于A，由绝对值的性质可知，故选项A错误， 对于B，由幂函数的单调性可知，故选项B错误， 对于C，由不等式的性质，可得，，则，故选项C错误， 对于D，，，则，故选项D正确. 故选：D 20．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）直线经过点，在轴上的截距为，在轴上的截距为，且满足，则直线的斜率为（    ） A．2 B． C． D．或 【答案】C 【分析】由题意设直线的方程为，列出关于的方程组，求解即可. 【详解】由题意设直线的方程为，则①， 又，∴②， 由①②解得，或，， 又由知，则，， 则直线的斜率为． 故选：C． 21．（2023高二·江苏·专题练习）直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切的二倍角公式，结合三角形面积公式进行求解即可. 【详解】， 所以直线的斜率为负值，因此直线的倾斜角为钝角， 设直线l的倾斜角为，则 因为，所以或舍去 设直线l的方程为，则直线l与坐标轴的交点分别为，， 由，得， 故直线l的方程可能是，显然ABD不符合， ，或， 故选：C 22．（23-24高二上·湖北·阶段练习）直线过点，则直线与、正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】依题意可得且、，利用基本不等式求出的最小值，从而求出三角形面积的最小值. 【详解】因为直线过点，所以， 令，可得，即直线与轴交于点， 令，可得，即直线与轴交于点， 依题意可得、，所以，则，当且仅当， 即、时取等号， 所以直线与、正半轴围成的三角形的面积，当且仅当、时取等号， 即直线与、正半轴围成的三角形的面积最小值为. 故选：B 23．（23-24高二上·河南濮阳·阶段练习）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线：与的欧拉线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据三角形顶点坐标得出重心与外心, 求出三角形欧拉线,根据直线平行得解. 【详解】由的顶点,知, 的重心为，即, 因为,所以三角形为直角三角形, 所以外心为斜边中点, 即, 所以可得的欧拉线方程,即, 因为与平行, 所以,解得. 故选：C.    24．（22-23高二上·湖北·阶段练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到点，如图，若光线经过的重心，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据题意，建立坐标系，设点的坐标，可得关于直线的对称点的坐标，和关于轴的对称点的坐标，由，，四点共线可得直线的方程，由于过的重心，代入可得关于的方程，解之可得的坐标，进而可得的值，即可得答案． 【详解】根据题意，建立如图所示的坐标系，可得，， 故直线的方程为， 又由，，，则 的重心为， 设，其中，点关于直线 的对称点，则有， 解得，即， 易得关于 轴的对称点， 由光的反射原理可知，，，四点共成直线的斜率， 故直线的方程为， 由于直线过 的重心，代入化简可得， 解得：或 舍，即，故， 故选：C． 二、多选题 25．（23-24高二上·浙江舟山·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 C．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为 D．过两点的直线方程为 【答案】AB 【分析】求出直线的斜率判断A；求出直线的横纵截距计算判断B；举例说明判断CD. 【详解】对于A，直线的斜率为，其倾斜角为，A正确； 对于B，直线交轴分别于点， 该直线与坐标轴围成三角形面积为，B正确； 对于C，过点与原点的直线在两坐标轴上的截距都为0，符合题意， 即过点且在两坐标轴上的截距之和为的直线可以是直线，C错误； 对于D，当时的直线或当时的直线方程不能用表示出，D错误. 故选：AB 26．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 D．经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示． 【答案】AD 【分析】对于A：根据可求倾斜角的取值范围；对于B：根据两直线垂直的条件求出的值即可判断；对于C：分截距是否为0两种情况求解可判断；对于D：对斜率为0、斜率不存在特殊情况讨论可以确定所求直线均可用表示. 【详解】对于A：直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故A正确. 对于B：当时，直线与直线斜率分别为，斜率之积为，故两直线相互垂直，所以充分性成立， 若“直线与直线互相垂直”，则， 故或，所以得不到，故必要性不成立，故B错误. 对于C：截距为0时，设直线方程为，又直线过点， 所以可得，所以直线方程为， 当截距不为0时，调直线方程为，又直线过点， 所以可得，所以直线方程为， 所以过点且在轴，轴截距相等的直线方程为或，故C错误； .对于D：经过平面内任意相异两点的直线： 当斜率等于0时，，方程为，能用方程表示； 当斜率不存在时，，方程为，能用方程表示； 当斜率不为0且斜率存在时，直线方程为， 也能用方程表示，故D正确. 故选：AD. 27．（23-24高二上·四川眉山·阶段练习）直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．当时，或； B．当时，； C．当时，过直线与的交点且平行于的直线方程为： D．当时，直线关于对称的直线方程为： 【答案】BD 【分析】 对于A、B选项，根据两条直线互相平行和垂直的充要条件即可判断；对于C选项，求出直线的点斜式方程即可判断；对于D选项，先求出两条直线的交点，再求出直线关于的对称点，根据直线上的两点即可求出直线方程，进一步判断即可. 【详解】对于A：当时，有，此方程无解，故A错误； 对于B：令，解得，此时，，，故B正确； 对于C：当时，，，联立，得直线与的交点为，平行于的直线斜率为1， 故过直线与的交点且平行于的直线方程为：，故C错误； 对于D：当时，直线与的交点为,易知点在直线上， 设该点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以，因为，所以， 所以所求直线方程为，即，故D正确. 故选：BD. 28．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知的三个顶点为，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为钝角 C．边上的中线所在的直线方程为 D．边所在的直线方程为 【答案】BCD 【分析】利用斜率公式可判断A选项；利用斜率与倾斜角的关系可判断B选项；利用直线的点斜式方程可判断CD选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，所以，直线的倾斜角为钝角，B对； 对于C选项，线段的中点为，则， 所以，边上的中线所在的直线方程为，即，C对； 对于D选项，边所在的直线方程为，即，D对. 故选：BCD. 29．（23-24高二上·辽宁·期中）下列说法不正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．过，两点的所有直线的方程为 D．直线与直线互相平行，则 【答案】ABC 【分析】根据直线一般式中平行和垂直满足的关系即可判断AD，根据截距式方程的定义即可判断B,根据两点式的适用条件即可判断C. 【详解】对于A, 直线与直线互相垂直,则需要满足：，解得或，故“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件， 对于B , 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为和， 对于C，当或时，不能用表示两点的直线， 对于D，若直线与直线互相平行，则满足，解得，D说法正确， 故选：ABC 三、填空题 30．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则 . 【答案】或 【分析】利用截距的概念分类讨论计算即可. 【详解】当时，直线方程为，不符合题意， 当时，令时，令时， 依题意有：，解得：或， 综上：或， 故答案为：或. 31．（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知过点的直线在轴上的截距是其在轴上截距的3倍，则满足条件的一条直线的方程为 ． 【答案】（答案不唯一：或） 【分析】分截距是否为0分类讨论即可求解. 【详解】由题意若过点的直线在坐标轴上的截距均为0，则显然满足题意，即， 否则设满足题意的直线方程为，将代入得，即也满足题意. 故答案为：（答案不唯一：或）. 32．（23-24高二上·四川眉山·阶段练习）已知直线l过点，且分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，则面积最小值为 ． 【答案】24 【分析】根据题意，设直线的方程为，分别表示出坐标，结合三角形的面积公式代入计算，再由基本不等式即可得到结果. 【详解】     由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为， 则直线的方程为， 因为直线分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，所以， 令，则，即， 令，则，即， 所以 其中，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，即面积最小值为. 故答案为： 33．（2024高二上·全国·专题练习）直线l过点且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为 ，当的面积取最小值时直线l的一般式方程是 . 【答案】 8 【分析】设直线截距式方程，由题意得，利用基本不等式求出面积的最小值，得解. 【详解】设直线l的方程为， 因为直线l过点，所以. 又， 所以， 即，当且仅当，即时取等号， 所以， 此时直线l的方程为，即. 故答案为：8；. 四、解答题 34．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线l经过点和点． (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【答案】(1)， ； (2)16 【分析】（1）根据两点式直线写出直线方程，再转化为截距式； （2）由（1）得出直线在两坐标轴上的截距，然后直接计算三角形面积． 【详解】（1）由已知得直线l的两点式方程为，即， 整理得．所以截距式方程为． （2）由（1）知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8， 所以围成的图形的面积为． 35．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）根据条件写出下列直线的方程： (1)斜率为，在轴上的截距是； (2)倾斜角为，在轴上的截距是； (3)倾斜角是直线的倾斜角的一半，且过点． 【答案】(1)或； (2)或； (3)或． 【分析】（1）利用斜截式方程求解即可； （2）先由倾斜角求出斜率，再设直线方程为，将代入求解即可； （3）根据倾斜角的关系求出直线斜率，再将代入即可求解. 【详解】（1）因为直线斜率为，在轴上的截距是， 所以由斜截式可得直线方程为或. （2）因为直线倾斜角为，所以该直线斜率为， 设直线方程为，又因为在轴上的截距是， 所以将代入解得直线方程为或. （3）因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为， 所以由题意得所求直线的倾斜角为，斜率为， 设所求直线为，将代入可得， 所以所求直线方程为或． 36．（2023高二上·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点． (1)求所在直线方程； (2)过点C作于点D，求所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出所在直线的斜率，然后求出所在的直线方程. （2）根据，由求出，进而求出所在直线的方程. 【详解】（1），所在直线的斜率为， 又， 所在直线方程是，即． （2）因为， 所以, 又因为， 所以所在直线方程为， 即. 37．（23-24高二上·陕西咸阳·期中）在中，已知. (1)求边上中线所在的直线方程； (2)求边上的高所在的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可求出两点的中点，从而由两点求出边上中线所在直线方程； （2）由两点斜率求出高所在直线斜率，利用点斜式从而求解. 【详解】（1）由题意知，所以线段中点坐标为， 所以可得边上中线所在的直线斜率， 所以可得直线方程为：，即； 故所求直线方程为：. （2）由题意知所在直线斜率， 所以可得边上的高所在的直线斜率， 所以可得直线方程为：，即. 故所求直线方程为：. 38．（22-23高二上·福建泉州·阶段练习）已知两点，. (1)求线段的垂直平分线； (2)直线过点且与线段有交点，求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点坐标和垂直的斜率关系，根据点斜式即可求解， （2）求出的斜率进而得其倾斜角，即可求解的倾斜角. 【详解】（1），的中点为 且, 所以线段的垂直平分线方程为，即 （2）直线的斜率分别为 因此直线的倾斜角分别为 所以直线与线段有交点，则倾斜角的范围为 39．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的点斜式方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为、B，当的面积最小时，求的斜截式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出直线的点斜式方程，利用截距和为零建立斜率的方程，求解斜率即可写出点斜式方程； （2）先利用截距表示的面积，然后利用基本不等式求解最值，即可得到所求直线的方程. 【详解】（1）由题意知，的斜率存在且不为0， 设斜率为，则的点斜式方程为，则它在两坐标轴上截距分别为和， 所以，解得（此时直线过原点，舍去）或， 所以的点斜式方程为. （2）由（1）知，，， 所以的面积， 当且仅当即时，等号成立，的点斜式方程为，即， 所以的斜截式方程为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$