专题21.2 二次根式的乘除（6考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（华东师大版）

专题21.2 二次根式的乘除 目录 【典型例题】 1 【考点一 二次根式的乘法】 1 【考点二 二次根式的除法】 2 【考点三 二次根式的乘除混合运算】 3 【考点四 最简二次根式的判断】 5 【考点五 化为最简二次根式】 7 【考点六 已知最简二次根式求参数】 8 【过关检测】 9 【典型例题】 【考点一 二次根式的乘法】 例1．（2024·山西忻州·三模）计算： ． 【变式训练】 1.（2024·山西太原·二模）计算的结果为 ． 2.（2024·山西晋城·二模）计算的结果为 ． 3.（23-24八年级下·湖南湘西·期中）计算的结果为 ． 【考点二 二次根式的除法】 例2.（23-24八年级下·福建福州·期中）计算： ． 【变式训练】 1.（2024·山西阳泉·三模）计算：的结果为 ． 2.（23-24八年级下·湖南长沙·期中）计算 ． 3.（23-24八年级下·天津和平·期中）计算： ； ； ． 【考点三 二次根式的乘除混合运算】 例3.（2024八年级下·安徽·专题练习）计算：． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·上海杨浦·期中）计算：． 2.（23-24八年级下·吉林·期中）计算：． 3.（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点四 最简二次根式的判断】 例4. （23-24八年级下·新疆阿克苏·期中）下列二次根式不是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）下列各式中，为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2.（2024八年级下·安徽·专题练习）下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 3.（23-24八年级下·山东烟台·期中）在根式①；②；③；④，最简二次根式是（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【考点五 化为最简二次根式】 例5.（23-24八年级下·山东烟台·期中）将 化为最简二次根式为 ． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）将化为最简二次根式是 ． 2.（23-24八年级上·陕西西安·期末）化简： ． 3.（23-24八年级上·四川成都·期末）化简： ． 【考点六 已知最简二次根式求参数】 例6. （23-24八年级下·山东日照·期中）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值 ． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·吉林·阶段练习）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： ． 2.（2023八年级上·全国·专题练习）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 ． 3.若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为 ． 【过关检测】 一、单选题 1．（2024·湖南·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C．14 D． 2．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）下列运算结果正确的是（） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）若（为整数），则等于（    ） A．7 B．9 C．11 D．12 5．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）观察下列各式：应用运算规律化简的结果为（   ） A．2023 B．2024 C． D． 二、填空题 6．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）计算 ． 7．（23-24八年级下·重庆秀山·阶段练习）已知，，则的值为 ． 8．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式， . 9．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b，若，则 ． 10．（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积．这个公式称为海伦-秦九韶公式，在中，，则的面积是 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）计算： (1) (2) 12．（23-24八年级下·河南安阳·期中）计算： (1)； (2)． 13．（23-24八年级下·河南漯河·期末）计算： (1)； (2)． 14．（23-24八年级下·江苏南京·期末）（1）填空：______，______（填“”、“”或“=”）； （2）若，，求证． 15．（2024八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． (3)． 16．（23-24八年级下·河南许昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________； (2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 17．（23-24八年级下·山东济南·期中）对于，同学们都会化简，如果分母是的形式，该怎么办呢？我们可以利用平方差公式，将分子、分母同乘以，从而化去分母中的根号，如． 根据以上介绍，请你解答下面的问题： (1)直接写出化简结果①______，②______； (2)化简：． 18．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． (1)①请你写一个有“穿墙”现象的数； ②按此规律，若（a，b为正整数），则的值为______； (2)你能只用一个正整数n（）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.2 二次根式的乘除 目录 【典型例题】 1 【考点一 二次根式的乘法】 1 【考点二 二次根式的除法】 2 【考点三 二次根式的乘除混合运算】 3 【考点四 最简二次根式的判断】 5 【考点五 化为最简二次根式】 7 【考点六 已知最简二次根式求参数】 8 【过关检测】 9 【典型例题】 【考点一 二次根式的乘法】 例1．（2024·山西忻州·三模）计算： ． 【答案】5 【分析】根据二次根式的乘法运算解答即可． 本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】． 故答案为：5． 【变式训练】 1.（2024·山西太原·二模）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法．根据二次根式的乘法运算法则计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 2.（2024·山西晋城·二模）计算的结果为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的乘法；根据二次根式的乘法法则，把被开方数相乘再化简即可． 【详解】解：； 故答案为：3． 3.（23-24八年级下·湖南湘西·期中）计算的结果为 ． 【答案】10 【分析】根据二次根式的乘法公式计算即可． 本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】， 故答案为：10． 【考点二 二次根式的除法】 例2.（23-24八年级下·福建福州·期中）计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的除法运算，直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【变式训练】 1.（2024·山西阳泉·三模）计算：的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 2.（23-24八年级下·湖南长沙·期中）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则计算即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 3.（23-24八年级下·天津和平·期中）计算： ； ； ． 【答案】 / 【分析】本题考查二次根式的除法运算，解题的关键是掌握二次根式除法运算法则，根据二次根式除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：； ； ． 故答案为：；；． 【考点三 二次根式的乘除混合运算】 例3.（2024八年级下·安徽·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法的应用，根据二次根式的乘除法法则， 系数相乘除， 被开方数相乘除， 根指数不变，计算后求出即可 ． 【详解】解： 【变式训练】 1.（23-24七年级下·上海杨浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，把除法转化为乘法，约分即可作答． 【详解】解： ． 2.（23-24八年级下·吉林·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘除，掌握二次根式的乘除的运算法则，是解题的关键．根据二次根式的乘除混合运算法则，即可求解． 【详解】解：原式= =． 3.（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可； （4）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 ； （3）原式； （4）原式． 【考点四 最简二次根式的判断】 例4. （23-24八年级下·新疆阿克苏·期中）下列二次根式不是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：，而其它二次根式是最简二次根式， 故选：A． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）下列各式中，为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或分式，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中如果含有开方开的尽的因数或因式，也不是最简二次根式． 根据最简二次根式的定义即可判断． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、是最简二次根式，故本选项符合题意； C、不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：B． 2.（2024八年级下·安徽·专题练习）下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的定义：被开方数中不含有开得尽方的因数或因式，被开方数中不含有分母；属于基础题型，熟知最简二次根式的定义是正确判断的关键．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、被开方数中含有分母，不是最简二次根式，本选项错误； B、被开方数中含有，能开得尽方，不是最简二次根式，本选项错误； C、被开方数中含有8，而，不是最简二次根式，本选项错误； D、是最简二次根式，本选项正确． 故选D． 3.（23-24八年级下·山东烟台·期中）在根式①；②；③；④，最简二次根式是（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：①是最简二次根式； ②，被开方数含分母，不是最简二次根式； ③是最简二次根式； ④，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． ①③是最简二次根式． 故选C． 【考点五 化为最简二次根式】 例5.（23-24八年级下·山东烟台·期中）将 化为最简二次根式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查最简二次根式，正确理解概念是解题的关键． 最简二次根式的概念：“（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”，依据概念化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）将化为最简二次根式是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了化简二次根式．根据二次根式的化简方法，被开方数中的分子分母同时乘以3求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2.（23-24八年级上·陕西西安·期末）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查的是化为最简二次根式，把被开方数的分子分母都乘以5，再化简即可． 【详解】解： ， 故答案为： 3.（23-24八年级上·四川成都·期末）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的化简方法是解题的关键．根据二次根式的性质解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【考点六 已知最简二次根式求参数】 例6. （23-24八年级下·山东日照·期中）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念解答即可． 【详解】解：当时，，是最简二次根式， 故答案为：2（答案不唯一）． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·吉林·阶段练习）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： ． 【答案】10（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的特点：被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，被开方数不含分母，进行求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴不能开方，不含分母， ∴的值可以为2，此时； 故答案为：10（答案不唯一）． 2.（2023八年级上·全国·专题练习）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】当时，， 是最简二次根式， 故答案为：1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．掌握最简二次根式需满足1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式是解题关键． 3.若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为 ． 【答案】2 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：当时，，不是最简二次根式， 当时，，是最简二次根式， ∴二次根式是最简二次根式，最小的正整数a为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【过关检测】 一、单选题 1．（2024·湖南·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C．14 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键． 直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 故选：D 2．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含开方开的尽的因式或因数，被开方数不含分母，进行判断即可． 【详解】解：在二次根式，，，，中，只有的被开方数不含分母，且不含能开方开的尽的因式或因数，是最简二次根式； 故选A． 3．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）下列运算结果正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的乘除运算以及二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．直接利用二次根式的乘除运算法则以及二次根式的性质分别化简，进而得出答案． 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项不合题意； D．，故此选项符合题意； 故选：D 4．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）若（为整数），则等于（    ） A．7 B．9 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的运算，掌握完全平方公式的计算方法是解题的关键． 根据完全平方公式展开，即可得出答案 【详解】解：， 等式左边：， ∴， ∴， 故选：C ． 5．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）观察下列各式：应用运算规律化简的结果为（   ） A．2023 B．2024 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式规律问题，二次根式的乘法，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． 探究出规律，然后利用规律即可解决问题． 【详解】∵ ∴用含的等式表示为 ∴． 故选C． 二、填空题 6．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法：，利用此法则直接求解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 7．（23-24八年级下·重庆秀山·阶段练习）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用、二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先利用提取公因式法分解因式，再代入计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式， . 【答案】 【分析】题考查了最简二次根式的概念，根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值． 【详解】解：∵与是被开方数相同的最简二次根式， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据长方形面积公式可得． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积．这个公式称为海伦-秦九韶公式，在中，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，练掌握二次根式的性质是解题的关键．代入公式，进行二次根式的化简即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算： （1）根据二次根式的乘法运算法则计算，即可求解； （2）根据二次根式的除法运算法则计算，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 12．（23-24八年级下·河南安阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先化简二次根式，再进行乘除运算，最后分母有理化； （2）利用完全平方公式和平方差公式化简，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 13．（23-24八年级下·河南漯河·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，能准确理解运算顺序 ，并能进行正确地化简各数是解题的关键． （1）先计算二次根式和完全平方公式，再计算加减； （2）先计算二次根式、立方根和平方差公式再去括号，最后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2） ． 14．（23-24八年级下·江苏南京·期末）（1）填空：______，______（填“”、“”或“=”）； （2）若，，求证． 【答案】（1）=，=；（2）见解析 【分析】（1）利用二次根式的性质证明解答即可； （2）利用二次根式的性质证明解答即可． 本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故． 同理可证，． 故答案为：=，=． （2）∵，， ∴． ∵，， ∴． 15．（2024八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算， （1）根据二次根式的乘法运算即可求出答案． （2）根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． （3）根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． （3） ． 16．（23-24八年级下·河南许昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________； (2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的计算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定义是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）根据题意列出式子，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 所以 解得 即m的值为． 17．（23-24八年级下·山东济南·期中）对于，同学们都会化简，如果分母是的形式，该怎么办呢？我们可以利用平方差公式，将分子、分母同乘以，从而化去分母中的根号，如． 根据以上介绍，请你解答下面的问题： (1)直接写出化简结果①______，②______； (2)化简：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，解题的关键是确定分子和分母乘以什么数． （1）将的分子和分母都乘以，的分子和分母都乘以，计算即可； （2）将的分子和分母都乘以，计算即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，． （2）． 18．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． (1)①请你写一个有“穿墙”现象的数； ②按此规律，若（a，b为正整数），则的值为______； (2)你能只用一个正整数n（）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律． 【答案】(1)①（答案不唯一）；② (2)，见解析 【分析】本题主要考查的是探索规律题，找到规律并归纳公式、掌握二次根式的乘法法则是解决此题的关键． （1）①根据已知等式的规律写出一个符合题意的数即可； ②通过发现规律确定a，b的值，从而代入求值； （2）根据已知等式找出规律，总结归纳得到公式即可． 【详解】（1）解：①根据已知等式的规律可写出：，…（答案不唯一，符合规律即可）． ②∵（a，b为正整数）， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：第一个等式为，即； 第二个等式为，即； 第三个等式为，即． ∴用含正整数的式子表示为：， 验证如下： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$