专题21.1 二次根式（8考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（华东师大版）

专题21.1 二次根式 目录 【典型例题】 1 【考点一 判断是否为二次根式】 1 【考点二 根据二次根式的定义求字母的值】 3 【考点三 求二次根式的值】 4 【考点四 根据二次根式有意义条件求范围】 5 【考点五 根据二次根式有意义求值】 7 【考点六 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】 8 【考点七 含隐含条件的参数范围化简二次根式】 10 【考点八 复杂的复合二次根式化简】 11 【过关检测】 16 【典型例题】 【考点一 判断是否为二次根式】 例1．（23-24八年级下·山东泰安·期中）下列各式中，属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，理解定义是解题的关键． 根据二次根式的定义逐项分析判断即可， 【详解】A． 是分式，不是二次根式，故该选项不符合题意； B． ，是整式，不是二次根式，故该选项不符合题意； C． 是二次根式，故该选项符合题意； D． 是三次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）下列各式中，是二次根式的有（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义，解答的关键是熟知形如的式子叫做二次根式． 【详解】解：A. 中被开方数小于，不是二次根式； B. 5是整数，不是二次根式； C. 是二次根式； D. 是三次根式，不是二次根式； 故选C． 2.（22-23八年级下·广西南宁·期中）下列式子不属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义进行判断即可． 【详解】一般的，形如（）的式子叫做二次根式，因此不是二次根式． 故选：B 【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握知识点是解题关键． 3.（22-23八年级下·河南驻马店·阶段练习）下列式子，一定是二次根式的共有（    ） ，1，，，， A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义进行解答即可． 【详解】解：，1，，，，中一定是二次根式的有、，共2个，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式． 【考点二 根据二次根式的定义求字母的值】 例2.（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：， ， ∵是整数，是正整数， ∴或7或8， ， 故选：D． 【变式训练】 1.（22-23七年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．11 【答案】B 【分析】先根据二次根式求出m的取值范围，再根据是整数对m的值进行分析讨论． 【详解】解：由题意得：，解得， 又因为是整数， ∴是完全平方数， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，自然数m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3， 故答案选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0的整数是解答本题的关键． 2.（22-23八年级上·福建福州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合正整数与最简二次根式的性质即可求出m的值． 【详解】∵是一个整数,且m是正整数，, ∴m的最小值为3，此时的值是整数3. 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 3.（22-23八年级下·福建福州·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（    ） A．0 B．4 C．5 D．20 【答案】C 【分析】首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， ∵是整数，n是一个正整数， ∴n的最小值是5． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键． 【考点三 求二次根式的值】 例3. （23-24八年级下·浙江衢州·期中）当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，先将代入，再利用二次根式的性质化简求解即可． 【详解】当时， ． 故选：C． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·浙江杭州·期中）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式求值，将代入二次根式，直接求解即可． 【详解】解：当时， 故选：B． 2.（23-24九年级上·海南儋州·期末）当时，二次根式的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简，二次根式的定义，把代入原式化简即可． 【详解】解：当时，原式， 故选：B． 3.当时，二次根式的值是（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】将代入计算即可得． 【详解】解：当时，， 故选：A 【点睛】本题考查了求二次根式的值，熟练掌握二次根式的运算是解题关键． 【考点四 根据二次根式有意义条件求范围】 例4. （23-24八年级下·广东江门·期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件：被开方数非负；根据被开方数非负得，解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故答案为：B． 【变式训练】 1.（2024·广西·三模）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】∵二次根式在实数范围内有意义， ∴ ∴． 故选：C． 2.（23-24八年级下·陕西安康·期中）若二次根式有意义，则的值可以是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟悉掌握二次根式的概念是解题的关键． 利用二次根式有意义的性质得到，运算后判断即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：，C符合 故选：C． 3.（23-24八年级下·新疆和田·期中）使有意义的字母的取值范围（    ） A．全体实数 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：； 故选C． 【考点五 根据二次根式有意义求值】 例5. （23-24八年级下·吉林松原·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值等知识点，根据二次根式的非负性求得x、y的值成为解题的关键． 先根据二次根式的非负性求得x，进而求得y，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知为实数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件得出的值，进而得出的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 故答案为：． 2.（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）已知实数x，y满足，则的小数部分是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式有意义的条件及无理数的估算，结合已知条件求得的值是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件求得的值，然后求出，利用无理数的估算求得小数部分． 【详解】解：由题意可得：， 则， 则， ， ， 则的小整数部分是2，小数部分是， 故答案为：． 3.（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，求出x的值是解题关键；利用二次根式有意义的条件进行求解即可； 【详解】解：由题意知：， 解得：， ， ， 故答案为：25； 【考点六 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】 例6. （23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵被开方数恒为非负数，即中，， ∴中，， ∴， 故答案为： ． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知，化简的结果是 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是二次根式以及绝对值的化简，根绝未知数的值化简是解决本题的关键. 根据，判断，的正负，进行化简，合并同类项，得出结果. 【详解】解：∵ ∴. 故答案为：5 2.（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据题意先得到，再由进行化解求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3.（23-24七年级下·河南许昌·阶段练习）如果实数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简代数式 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质，立方根的定义，掌握二次根式的性质，立方根的定义，是解题的关键． 根据数轴的特点确定的符号和大小，再根据二次根式的性质，立方根的定义化简，即可求解． 【详解】解：根据数轴上点的位置可得，，，， ∴ ， 故答案为： ． 【考点七 含隐含条件的参数范围化简二次根式】 例7.（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）二次根式化简结果正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，先根据，得出，二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质与化简． 【详解】∵，， ∴原式， ， 故选：． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·河南安阳·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键． 由的积小于0得到与异号，再根据负数没有平方根得到大于0，进而确定出小于0，所求式子利用二次根式的化简公式即可得到结果． 【详解】 解：，与异号， ，， ， 则． 故选：C． 2.（23-24八年级下·天津·期中）已知，，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的化简，根据二次根式的被开方数必须为非负数，及二次根式性质原式化简得到答案． 【详解】解：∵， ∴，故， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 3.（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简等知识，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】根据题意有：，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【考点八 复杂的复合二次根式化简】 例8. （23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）有这样一类题目，例如： ． 请仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解； （2）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解； 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则，二次根式的性质，完全平方公式是解题的关键． 【变式训练】 1.（22-23九年级上·湖南衡阳·阶段练习）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】此题考查化简二次根式，活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解． 【详解】（1）解：； （2）； （3）∵， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴a的值为：或． 2.（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考 ①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ① ② 【答案】(1)④， (2)①；② 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据（1）中的材料化简即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 ④步出现了错误， 故答案为：④，； （2）解：①原式 ； ②原式 ． 3.（23-24七年级下·上海浦东新·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于， 即， (1)填空：______，______； (2)化简求值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方式的运用以及二次根式性质的运用． （1）由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为3和2后，即可得出结论；由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为8和9后，即可得出结论 （2）由条件对进行变形利用完全平方公式的形式化简，求解．即可． 【详解】（1） ， ， 故答案为：，； （2）． 【过关检测】 一、单选题 1．下列式子一定是二次根式的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；形如是二次根式，注意二次根式的被开方数是非负数． 【详解】解：A、的被开方数是非负数，是二次根式，故A正确； B、时，不是二次根式，故B错误； C、是三次根式，故C错误； D、时，不是二次根式，故D错误； 故选：A． 2．（23-24八年级下·广东云浮·期末）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式，熟练二次根式的性质列出不等式是解决本题的关键．根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式，即可求解出答案． 【详解】解：依题意有， 解得． 故选：C． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）当x取以下哪个值时，的值最小（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的的非负性．根据题意可得，从而得到当时，的值最小，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 当时，的值最小， 即时，的值最小． 故选：C 4．（24-25九年级上·全国·假期作业）下列各式中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次根式的性质，正确化简各数是解题关键． 直接利用二次根式的性质化简，进而判断得出答案． 【详解】解：，故A选项不正确，符合题意； ，故B选项正确，不符合题意； ，故C选项正确，不符合题意； ，故D选项正确，不符合题意； 故选：A． 5．（23-24八年级下·河北保定·期末）化简二次根式 ，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质，先判断a的正负，再根据二次根式的性化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 二、填空题 6．（24-25九年级上·全国·假期作业）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了根据二次根式的性质进行化简，根据算术平方根的非负性可求得结果，正确求解是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的性质可知：， ∵， ∴原式， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）使式子有意义，则x的值为 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是零次幂的含义，二次根式，分式有意义的条件，根据代数式的特点可得且，再进一步可得答案． 【详解】解：∵式子有意义， ∴且， 解得：且； 故答案为：且 8．（22-23八年级下·四川绵阳·期中）若是整数，则正整数的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据，且是整数，是整数，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数，，且是整数， ∴的最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 9．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）已知 , 则 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式的化简求值、化简二次根式，将代入，再利用二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解：将代入，得： ， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）已知x、y是实数，且满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式计算等．根据题意可得，再代入中，利用二次根式计算即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24八年级下·全国·课后作业）当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)x取任意实数 (3)且 【分析】本题考查二次根式的意义，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键； （1）由二次根式中被开方数是非负数，列出不等式解答即可求得对应的取值范围； （2）由二次根式中被开方数是非负数，列出不等式解答即可求得对应的取值范围； （3）由二次根式中被开方数是非负数，结合分母不能为0，列出不等式解答即可求得对应的取值范围． 【详解】（1）有意义 ， 解得：， 当时，在实数范围内有意义． （2）有意义， 无论x为何值，则， 当x取任意实数时，在实数范围内有意义． （3）有意义， ，且， 解得：且， 当且时，在实数范围内有意义． 12．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）若求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， 解得， ． 13．（24-25八年级上·上海·假期作业）若实数a，b，c满足． (1)求a，b，c； (2)若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及等腰三角形的定义． （1）利用二次根式的性质进而得出c的值，再利用绝对值以及二次根式的性质得出a，b的值； （2）利用等腰三角形的定义和三角形三边长关系分析得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，， 解得：， ∴， 则，； （2）解：当a是腰长，c是底边时，等腰三角形的腰长之和：，不能构成三角形，舍去； 当c是腰长，a是底边时，任意两边之和大于第三边，能构成三角形， 则等腰三角形的周长为：， 综上，这个等腰三角形的周长为： 14．（23-24八年级下·广西崇左·期中）已知a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)_______，_______； (2)_______； (3)化简：． 【答案】(1)，c (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，运用数轴判定式子的正负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据数轴信息得出，再结合二次根式的性质进行化简，即可作答． （2）同理，得出，即，再结合二次根式的性质进行化简，即可作答． （3）同理得，再结合二次根式的性质、绝对值进行化简，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴， 故答案为：，c； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：∵ ∴ ． 15．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，解决下列问题： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：…… (1)第四个等式为： ； (2)请用正整数来表示含有上述规律的第n个等式，并证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】本题考查了二次根式的化简及应用，实数的规律探索； （1）根据题目规律直接得出答案即可； （2）由题意得第n个等式为：，然后根据二次根式的性质化简证明即可； 准确找出运算规律及熟练二次根式的化简是关键． 【详解】（1）解：由题意得第四个等式为： 故答案为： （2）第n个等式： 16．（23-24八年级下·江西赣州·期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答后面的问题： 化简：． 解：隐含条件，解得：， ． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】 （2）实数在数轴上的位置如图所示，化简：． （3）已知为的三边长．化简：． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，利用数轴判断式子的正负，绝对值的性质，熟练掌握相关法则是解题关键． （1）仿照例题，利用隐含条件得到，再根据二次根式的性质化简即可； （2）由数轴可知，，，进而得到，，再根据二次根式的性质和绝对值的意义化简即可； （3）由三角形的三边关系可知，，，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：（1）， 隐含条件，解得：， ， 原式； （2）由数轴可知，，， ， ； （3）解：由三角形的三边关系可知，，， ，， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.1 二次根式 目录 【典型例题】 1 【考点一 判断是否为二次根式】 1 【考点二 根据二次根式的定义求字母的值】 3 【考点三 求二次根式的值】 4 【考点四 根据二次根式有意义条件求范围】 5 【考点五 根据二次根式有意义求值】 7 【考点六 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】 8 【考点七 含隐含条件的参数范围化简二次根式】 10 【考点八 复杂的复合二次根式化简】 11 【过关检测】 16 【典型例题】 【考点一 判断是否为二次根式】 例1．（23-24八年级下·山东泰安·期中）下列各式中，属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）下列各式中，是二次根式的有（    ） A． B．5 C． D． 2.（22-23八年级下·广西南宁·期中）下列式子不属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3.（22-23八年级下·河南驻马店·阶段练习）下列式子，一定是二次根式的共有（    ） ，1，，，， A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【考点二 根据二次根式的定义求字母的值】 例2.（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【变式训练】 1.（22-23七年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．11 2.（22-23八年级上·福建福州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.（22-23八年级下·福建福州·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（    ） A．0 B．4 C．5 D．20 【考点三 求二次根式的值】 例3. （23-24八年级下·浙江衢州·期中）当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·浙江杭州·期中）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.（23-24九年级上·海南儋州·期末）当时，二次根式的值为（   ） A． B．2 C． D． 3.当时，二次根式的值是（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【考点四 根据二次根式有意义条件求范围】 例4. （23-24八年级下·广东江门·期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（2024·广西·三模）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24八年级下·陕西安康·期中）若二次根式有意义，则的值可以是（    ） A． B． C．0 D． 3.（23-24八年级下·新疆和田·期中）使有意义的字母的取值范围（    ） A．全体实数 B． C． D． 【考点五 根据二次根式有意义求值】 例5. （23-24八年级下·吉林松原·期中）若，则 ． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知为实数，且，则的值为 ． 2.（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）已知实数x，y满足，则的小数部分是 ． 3.（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，则 ． 【考点六 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】 例6. （23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）化简： ． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知，化简的结果是 ． 2.（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若，则的值为 ． 3.（23-24七年级下·河南许昌·阶段练习）如果实数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简代数式 ． 【考点七 含隐含条件的参数范围化简二次根式】 例7.（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）二次根式化简结果正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·河南安阳·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24八年级下·天津·期中）已知，，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 3.（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）化简： ． 【考点八 复杂的复合二次根式化简】 例8. （23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）有这样一类题目，例如： ． 请仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 【变式训练】 1.（22-23九年级上·湖南衡阳·阶段练习）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 2.（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考 ①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ① ② 3.（23-24七年级下·上海浦东新·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于， 即， (1)填空：______，______； (2)化简求值． 【过关检测】 一、单选题 1．下列式子一定是二次根式的是（　　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东云浮·期末）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）当x取以下哪个值时，的值最小（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25九年级上·全国·假期作业）下列各式中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·河北保定·期末）化简二次根式 ，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·全国·假期作业）化简： ． 7．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）使式子有意义，则x的值为 ． 8．（22-23八年级下·四川绵阳·期中）若是整数，则正整数的最小值是 ． 9．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）已知 , 则 10．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）已知x、y是实数，且满足，则的值为 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·全国·课后作业）当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2)； (3)． 12．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）若求的值． 13．（24-25八年级上·上海·假期作业）若实数a，b，c满足． (1)求a，b，c； (2)若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长． 14．（23-24八年级下·广西崇左·期中）已知a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)_______，_______； (2)_______； (3)化简：． 15．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，解决下列问题： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：…… (1)第四个等式为： ； (2)请用正整数来表示含有上述规律的第n个等式，并证明． 16．（23-24八年级下·江西赣州·期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答后面的问题： 化简：． 解：隐含条件，解得：， ． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】 （2）实数在数轴上的位置如图所示，化简：． （3）已知为的三边长．化简：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$