排列与组合课件-2025届高三数学一轮复习

必备知识·逐点夯实 第一节　排列与组合 第十一章　计数原理、概率、随机变量及其分布 核心考点·分类突破 必备知识·逐点夯实 知识梳理·归纳 1.计数原理 (1)完成一件事,如果有n类方案,且第1类方案中有m1种不同的方法,第2类方案中 有m2种不同的方法……第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N=__________________种不同的方法.  (2)完成一件事,如果需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有 m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N=___________________种不同的方法.  　m1+m2+…+mn　 　m1×m2×…×mn　 2.排列与组合的概念 微思考 排列与组合的区别是什么? 提示:排列与顺序有关,而组合与顺序无关. 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照________________排成一列  组合 作为一组 　一定的顺序　 3.排列数与组合数 (1)排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有______________的个数, 用符号_______表示.  (2)组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有______________的个数, 用符号_______表示.  微思考 排列数与组合数有什么联系? 提示:=·. 　不同排列　  　 　不同组合　  　 4.排列数、组合数的公式及性质 常用结论 若=,则x=y或x+y=n. 公式 =________________________=  ==______________________= 性质 0!=_______,=_______  _____________, =___________ 　n(n-1)(n-2)…(n-m+1)　 　1　 　n!　  =　  +  基础诊断·自测 1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.(　 　) (2)在分步乘法计数原理中,只有各步骤都完成后,这件事情才算完成.(　 　) (3)=n(n-1)(n-2)…(n-m).(　 　) (4)=n(n-1)(n-2)…(n-m).(　 　) 类型 辨析 改编 易错 高考 题号 1 2 3 4 √ √ × × 2.(选修第三册P27T13改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男、女同学都有的选法种数是(　　) A.18 B.24 C.30 D.36 【解析】选C.选出的3人中有2名男同学1名女同学的选法有=18(种),选出的3人中有1名男同学2名女同学的选法有=12(种),故3名学生中男、女同学都有的选法有+=30(种). 3.(忽视隐含条件)随着经济的发展,私家车成为居民的标配.某小区为了适应这一变化,在小区建设过程中预留了7个排成一排的备用车位.现有3位私家车车主要使用这些备用车位.现规定3位私家车车主随机停车,任意两辆车都不相邻,则共有不同停车种数为(　　) A.144 B.24 C.72 D.60 【解析】选D.由题可知7个车位停3辆车,则会产生4个空位,故可先摆好4个空车位,4个空车位会产生5个空隙可供3辆车选择停车. 因此,任意两辆车都不相邻的停车种数共有=5×4×3=60. 4.某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有(　　) A.·种 B.·种 C.·种 D.·种 【解析】选D.根据分层抽样的定义知初中部共抽取60×=40人,高中部共抽取60×=20人,根据组合数公式和分步乘法计数原理,则不同的抽样结果共有·种. 核心考点·分类突破 考点一　两个计数原理的应用 [例1](1)某省新高考采用“3+1+2”模式:“3”为全国统考科目语文、数学、外语,所有学生必考;“1”为首选科目,考生须在物理、历史科目中选择1个科目;“2”为再选科目,考生可在思想政治、地理、化学、生物4个科目中选择2个科目.已知小明同学必选化学,那么他可选择的方案共有(　　) A.4种 B.6种 C.8种 D.12种 【解析】选B.根据题意得,分两步进行分析: ①小明必选化学,则必须在思想政治、地理、生物中再选出1个科目,选法有3种; ②小明在物理、历史科目中选出1个,选法有2种.由分步乘法计数原理知,小明可选择的方案共有3×2=6(种). (2)如图所示,在由正八边形的三个顶点构成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有　　　　个(用数字作答).  【解析】把与正八边形有公共边的三角形分为两类: 第一类,有一条公共边的三角形,共有8×4=32(个); 第二类,有两条公共边的三角形,共有8个. 由分类加法计数原理可知,共有32+8=40(个). 40 对点训练 1.由于用具简单、趣味性强,象棋成为流行极为广泛的棋艺活动.某棋局的一部分如图所示,若不考虑这部分以外棋子的影响,且“马”和“炮”不动,“兵”只能往前走或左右走,每次只能走一格,从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线,其中也能把“炮”吃掉的可能路线有(　　) A.10条 B.8条 C.6条 D.4条 【解析】选C.由题意可知,“兵”吃掉“马”的最短路线需横走三步,竖走两步;其中也能把“炮”吃掉的路线可分为两步:第一步,横走两步,竖走一步,有3种走法;第二步,横走一步,竖走一步,有2种走法.所以所求路线共有3×2=6(条). 2.甲与其他四位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是9,0,2,1,5, 为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数 日车牌尾数为偶数的车通行),五人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但 甲的车最多只能用一天,则不同的用车方案种数为　　　　.  【解析】5日至9日,日期分别为5,6,7,8,9,有3天是奇数日,2天是偶数日.第一步,安 排偶数日出行,每天都有2种选择,共有2×2=4(种)用车方案;第二步,安排奇数日出 行,分两类,第一类,选1天安排甲的车,另外2天安排其他车,有3×2×2=12(种)用车 方案,第二类,不安排甲的车,每天都有2种选择,共有23=8(种)用车方案,共计 12+8=20(种)用车方案.根据分步乘法计数原理可知,不同的用车方案种数为 4×20=80. 80 【加练备选】 1.有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球,若从中取出2个几何体,使多面体和旋转体各一个,则不同的取法种数是(　　) A.14 B.23 C.48 D.120 【解析】选C.分两步:第1步,取多面体,有5+3=8(种)不同的取法;第2步,取旋转体,有4+2=6(种)不同的取法.所以不同的取法种数是8×6=48. 2.如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数为(　　) A.12 B.24 C.36 D.48 【解析】选C.第1类,对于每一条棱,都可以与两个侧面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有2×12=24(个);第2类,对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有12个.所以正方体中“正交线面对”共有24+12=36(个). 考点二 排列与组合的简单应用 角度1 排列问题 [例2]将0,1,2,3,10任意排成一行,可以组成　　　　　个不同的 6位数.(用数字作答)  【解析】将0,1,2,3,10任意排成一行,且数字0不在首位,则有4=96种, 数字1和0相邻且1在0之前的排法有=24种, 故所求满足题意的6位数有96-=84个. 84 解题技法 对于有限制条件排列问题的解题策略 (1)分析问题时,有位置分析法、元素分析法; (2)在实际进行排列时,先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法. 对点训练 8人站成前后两排,每排4人,其中甲、乙两人必须在前排,丙在后排,则共有 　　　　种排法.  【解析】先排甲、乙,有种排法,再排丙,有种排法,其余5人有种排法,故不同的排法共有=5 760(种). 5 760 【加练备选】现有0,1,2,3,4,5六个数字,可组成多少个没有重复数字的偶数? 【解析】当组成的数是一位数时,一位偶数有=3个; 当组成的数是两位数时,可分两类:末位是0时,有=5个,末位是2或4时, 有=8个,两位偶数共有13个; 当组成的数是三位数时,可分两类:末位是0时,有=20个,末位是2或4时, 有=32个,三位偶数共有52个; 当组成的数是四位数时,可分两类:末位是0时,有=60个,末位是2或4时, 有=96个,四位偶数共有156个; 当组成的数是五位数时,可分两类:末位是0时,有=120个,末位是2或4时, 有=192个,五位偶数共有312个; 当组成的数是六位数时,可分两类:末位是0时,有=120个,末位是2或4时, 有=192个,六位偶数共有312个; 综上,组成的没有重复数字的偶数的个数为3+13+52+156+312+312=848. 角度2 组合问题 [例3] (2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修 1 门,则不同的选课方案共有　　　　种(用数字作答).  【解析】若选修 2 门课,则需要从体育类和艺术类中各选择 1 门,共有=16 种;若选修 3 门课,则分为两种情况,2门体育类1门艺术类或2门艺术类1门体育类,共有2 = 48种.故选课方案一共有48+16 = 64种. 64 解题技法 组合问题两类题型的解题策略 (1)“含有”或“不含有”问题:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取. (2)“至少”或“最多”问题:用直接法和间接法都可以求解;通常用直接法,分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理. 对点训练 1.将4个6和2个8随机排成一行,则2个8不相邻的情况有(　　) A.480种 B.240种 C.15种 D.10种 【解析】选D.将2个8插空放入不相邻的5个空位(4个6之间及首尾有5个空位)中有=10种方法,故2个8不相邻的情况有10种. 2.(2024·广州模拟)某校拟从2名教师和4名学生共6名党史知识学习优秀者中随机选取3名,组成代表队,参加市党史知识竞赛,则代表队中既有教师又有学生的选法共有　　　　　种.  【解析】由题意得从6名党史知识学习优秀者中随机选取3名,其中有1名教师和 2名学生的选法有=12种,有2名教师和1名学生的选法有=4种, 故代表队中既有教师又有学生的选法共有12+4=16(种). 16 【加练备选】如图是由6个正方形拼成的矩形图案,从图中的12个顶点中任取3个点作为一组.其中可以构成三角形的组数为(　　) A.208 B.204 C.200 D.196 【解析】选C.任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种:一是3条横线上的4个点,其组数为3;二是4条竖线上的3个点,其组数为4;三是4条对角线上的3个点,其组数为4,所以可以构成三角形的组数为-3-8=200. 考点三 排列与组合的综合问题 角度1 相邻与不相邻问题 [例4](多选题)有3名男生,4名女生,在下列不同条件下,正确的是(　　) A.全体站成一排,女生必须站在一起有144种排法 B.全体站成一排,男生互不相邻有1 440种排法 C.任选其中3人相互调整座位,其余4人座位不变,则不同的调整方案有70种 D.全体站成一排,甲不站排头,乙不站排尾有3 720种排法 【解析】选BCD.对于A,将女生看成一个整体,考虑女生之间的顺序,有种排法,再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列,有种排法,故共有·=576(种)排法,故A错误; 对于B,先排女生,将4名女生全排列,有种排法,再排男生,由于男生互不相邻,可以在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生,有种排法,故共有·=1 440(种)排法,故B正确; 对于C,任选其中3人相互调整座位,其余4人座位不变,则不同的调整方案有×2×1=70(种),故C正确; 对于D,若甲站在排尾,则有种排法,若甲不站在排尾,则有种排法,故共有+=3 720(种)排法,故D正确. 解题技法 1.相邻问题的求解策略 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列(捆绑法). 2.不相邻问题的求解策略 对于不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面已经排列元素的空档中(插空法). 对点训练 1.六名同学暑期相约去都江堰采风观景,结束后六名同学排成一排照相留念,若甲与乙相邻,丙与丁不相邻,则不同的排法共有(　　) A.48种 B.72种 C.120种 D.144种 【解析】选D.甲和乙相邻,捆绑在一起有种,再与丙和丁外的两人排列有种,再排丙和丁有种,故共有=144种排法. 2.将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,若A,B,C均互不相邻,则不同的排法有 　　　种.(用数字作答)  【解析】先排除A,B,C外的三个字母,再将A,B,C排在形成的4个空档中,则不同的排法共有=144种. 144 【加练备选】 某次联欢会要安排3个歌舞节目,2个小品节目和1个相声节目的演出顺序,同类节目不相邻的排法种数是(　　) A.72 B.120 C.144 D.168 【解析】选B.先安排小品节目和相声节目,然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种:“小品,小品,相声”“小品,相声,小品”和“相声,小品,小品”.对于第一种情况,形式为“□ 、小品、歌舞、小品、□ 、相声、□ ”,有=36(种)安排方法;同理,第三种情况也有36种安排方法;对于第二种情况,三个节目形成4个空,其形式为“□ 、小品、□ 、相声、□ 、小品、□ ”,有=48(种)安排方法,故共有36+36+48=120(种)安排方法. 角度2 定序问题 [例5]有4名男生,3名女生,其中3名女生高矮各不相同,将7名学生排成一行,要求从左到右,女生从矮到高排列(不一定相邻),不同的排法共有　　　　种.  【解析】7名学生的排列共有种,其中女生的排列共有种,按照从左到右,女生从矮到高的排列只是其中的一种,故有==840(种)不同的排法. 解题技法 定序问题的求解策略 对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列. 840 对点训练 某学校举行校庆文艺晚会,已知节目单中共有七个节目,为了活跃现场气氛,主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲,并要将这三个不同节目添入节目单,且不改变原来的节目顺序,则不同的安排方式有　　　　种.  【解析】原先七个节目的不同安排方法共有种,添加三个节目后,节目单中共有十个节目,先将这十个节目进行全排列,不同的排列方法有种,而原先七个节目的顺序一定,故不同的安排方式共有=720(种). 720 【加练备选】 身高互不相同的七名学生排成一排,从中间往两边越来越矮,不同的排法有(　　) A.5 040种 B.720种 C.240种 D.20种 【解析】选D.最高的学生站在中间,只需排好左右两边.第一步:排左边,因顺序固定,有=20种排法,第二步:排右边,因顺序固定,有1种排法,根据分步乘法计数原理,共有20×1=20种. 谢谢观赏！！ $$