指数与指数函数 专项训练——2025届高三数学一轮复习

指数与指数函数 一、单项选择题 1．已知指数函数f (x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递减，则实数a的值为(　　) A．　　 B．1　 C．　　 D．2 2．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c 　 B．a<c<b C．b<a<c 　 D．b<c<a 3．若函数f (x)＝ax－b的图象如图所示，则(　　) A．a>1，b>1 　 B．a>1，0<b<1 C．0<a<1，b>1 　 D．0<a<1，0<b<1 4．若2x2＋1≤，则函数y＝2x的值域是(　　) A． 　 B． C． 　 D．[2，＋∞) 5．已知函数f (x)＝.记a＝f ，b＝f ，c＝f ，则(　　) A．b>c>a 　 B．b>a>c C．c>b>a 　 D．c>a>b 6．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－2，1) 　 B．(－4，3) C．(－3，4) 　 D．(－1，2) 二、多项选择题 7．已知函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是(　　) A　　　　B　　　　C　　　D 8．若f (x)＝，其中e为自然对数的底数，则下列命题正确的是(　　) A．f (x)在(0，＋∞)上单调递增 B．f (x)在(0，＋∞)上单调递减 C．f (x)的图象关于直线x＝0对称 D．f (x)的图象关于点(0，0)中心对称 三、填空题 9．已知函数f (x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________． 10．若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[0，1]上的最大值与最小值的和为，则函数y＝3a2x-1在[0，1]上的最大值为________． 四、解答题 11．已知函数f (x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)． (1)求f (x)的解析式； (2)若不等式＋－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围． 12．已知定义域为R的函数f (x)＝是奇函数． (1)求a，b的值； (2)若对任意的t∈R，不等式f (t2－2t)＋f (2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围． 13．定义在D上的函数f (x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f (x)|≤M成立，则称f (x)是D上的有界函数，其中M称为函数f (x)的上界，已知函数f (x)＝＋1. (1)当a＝－1时，求函数f (x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f (x)在(－∞，0)上是不是有界函数，请说明理由； (2)若函数f (x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围 参考答案 1．A　[由题意得2a2－5a＋3＝1，∴2a2－5a＋2＝0，∴a＝2或a＝. 当a＝2时，f (x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意； 当a＝时，f (x)＝在(0，＋∞)上单调递减， 符合题意，∴a＝.] 2．C　[由指数函数y＝0.6x在(0，＋∞)上单调递减，可知0<0.61.5<0.60.6<1，又1.50.6>1，所以b<a<c.] 3．D　[根据题图知，函数f (x)＝ax－b是减函数， 所以a∈(0，1)，根据图象的纵截距，令x＝0，y＝1－b∈(0，1)，解得b∈(0，1)，即a∈(0，1)，b∈(0，1)．] 4．B　[因为2x2＋1≤＝24-2x，所以x2＋1≤4－2x，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，所以函数y＝2x的值域是.故选B.] 5．A　[函数f (x)＝是由函数y＝eu和u＝－(x－1)2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f (x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．易知f (x)的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f ＝f ，又<2－<<1，所以f <f <f ，所以b>c>a.故选A.] 6．D　[原不等式变形为m2－m<， 因为函数y＝在(－∞，－1]上单调递减， 所以＝2， 当x∈(－∞，－1]时，m2－m<恒成立等价于m2－m<2，解得－1<m<2．] 7．ABD　[由题图知，函数y＝ax为增函数，即a>1，且当x＝1时，y＝2，即a＝2. 则A项，y＝的图象，满足条件， B项，y＝x-2＝的图象，满足条件， C项，y＝2|x|，当x>0时，函数y＝2x单调递增，不满足条件， D项，y＝|log2x|的图象，满足条件．故选ABD.] 8．BC　[因为y＝1－x2在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，y＝ex在定义域R上单调递增， 所以f (x)＝在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，故A错误，B正确； 又f (－x)＝＝＝f (x)，所以f (x)＝(x∈R)为偶函数，函数图象关于y轴对称，即关于直线x＝0对称，故C正确，D错误．故选BC.] 9．1　[法一(定义法)：因为f (x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数， 所以f (－x)＝f (x)对任意的x∈R恒成立， 所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1. 法二(取特殊值检验法)：因为f (x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以－＝2a－，解得a＝1，经检验，f (x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1. 法三(转化法)：由题意知f (x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数．设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，所以h(0)＝a·20－2-0＝0，解得a＝1，经检验，f (x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1．] 10．12　[因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在定义域上是单调函数，又y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为，所以a0＋a1＝1＋a＝，解得a＝，所以y＝3a2x-1＝3×＝12×.因为函数y＝在定义域上为减函数，所以y＝12×在[0，1]上单调递减，所以f (x)＝12×在[0，1]上的最大值为f (0)＝12．] 11．解：(1)因为f (x)的图象过点A(1，6)，B(3，24)， 所以 所以a2＝4. 又a>0，所以a＝2，b＝3．所以f (x)＝3·2x. (2)由(1)知a＝2，b＝3， 则当x∈(－∞，1]时，＋－m≥0恒成立， 即m≤＋在(－∞，1]上恒成立． 又因为y＝与y＝在(－∞，1]上均单调递减，所以y＝＋在(－∞，1]上也单调递减，所以当x＝1时，y＝＋有最小值，所以m≤，即m的取值范围是. 12．解：(1)因为f (x)是R上的奇函数， 所以f (0)＝0，即＝0，解得b＝1. 从而f (x)＝. 又由f (1)＝－f (－1)知＝－，解得a＝2. 所以a＝2，b＝1．经验证满足f (x)是奇函数． (2)由(1)知f (x)＝＝－， 由上式易知f (x)在R上为减函数，又因为f (x)是奇函数，从而不等式f (t2－2t)＋f (2t2－k)<0等价于f (t2－2t)<－f (2t2－k)＝f (－2t2＋k)． 因为f (x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k，即对一切t∈R有3t2－2t－k>0， 从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－. 故实数k的取值范围为. 13．解：(1)设y＝f (x)＝＋1. 当a＝－1时，y＝f (x)＝－＋1(x＜0)， 令t＝，x＜0，则t＞1， 则y＝t2－t＋1＝＋， ∴y＞1，即函数f (x)在(－∞，0)上的值域为(1，＋∞)， ∴不存在常数M＞0，使得|f (x)|≤M成立． ∴函数f (x)在(－∞，0)上不是有界函数． (2)由题意知，|f (x)|≤3对x∈[0，＋∞)恒成立， 即－3≤f (x)≤3对x∈[0，＋∞)恒成立， 令t＝，x≥0，则t∈(0，1]. ∴－≤a≤－t对t∈(0，1]恒成立， ∴≤a≤. 设h(t)＝－，p(t)＝－t，t∈(0，1]， ∵h(t)在(0，1]上单调递增，p(t)在(0，1]上单调递减， ∴h(t)在(0，1]上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在(0，1]上的最小值为p(1)＝1. ∴实数a的取值范围为[－5，1] 学科网（北京）股份有限公司 $$