直线与椭圆(一) 专项训练——2025届高三数学一轮复习

直线与椭圆(一) 一、单项选择题 1．椭圆＝1与直线y＝k(x－1)的位置关系是(　　) A．相离　 B．相交 C．相切 　 D．无法确定 2．在椭圆＝1上求一点M，使点M到直线x＋2y－10＝0的距离最大，点M的坐标为(　　) A．(－3，0) 　 B． C． 　 D．(－2，0) 3．已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(4，0)，过点F且斜率为1的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(3，－1)，则E的方程为(　　) A．＝1 　 B．＝1 C．＝1 　 D．＝1 4．椭圆C：＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA1的斜率的取值范围是，那么直线PA2斜率的取值范围是(　　) A． 　 B．　 C． 　 D． 5．已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝(　　) A． 　 B． C．－ 　 D．－ 6．直线x－2y＋2＝0经过椭圆＝1(a＞b＞0)的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于M点，若＝3，则该椭圆的离心率为(　　) A． 　 B． C． 　 D． 7．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内、外两圈的钢骨架是由两个离心率相同的椭圆组成的对称结构．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”类似，其平面图如图2所示，已知外层椭圆的长轴长为200 m，且内、外椭圆的离心率均为，由外层椭圆长轴的一个端点A向内层椭圆引切线AC，若AC的斜率为－，则内层椭圆的短轴长为(　　) A．75 m 　 B．50 m C．50 m 　 D．25 m 8．已知过椭圆C：x2＋＝1的上焦点F且斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB分别与直线y＝2相交于M，N两点．若∠MON为锐角，则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B． C． D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 二、多项选择题 9．已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则(　　) A．直线AB的方程为y＝(x－3) B．a2＝2b2 C．椭圆的标准方程为＝1 D．椭圆的离心率为 10．在平面直角坐标系Oxy中，已知直线l：kx－y－k＝0，椭圆C：＝1(a＞b＞0)，则下列说法正确的有(　　) A．l恒过点(1，0) B．若l恒过C的焦点，则a2＋b2＝1 C．若对任意实数k，l与C总有两个互异公共点，则a≥1 D．若a＜1，则一定存在实数k，使得l与C有且只有一个公共点 三、填空题 11．过椭圆C：＝1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A，B两点，则＝________． 12．已知椭圆＋y2＝1，若此椭圆上存在不同的两点A，B关于直线y＝2x＋m对称，则实数m的取值范围是________． 四、解答题 13．已知动圆与圆C1：(x＋4)2＋y2＝1外切，同时与圆C2：(x－4)2＋y2＝81内切． (1)求动圆圆心M的轨迹Γ的方程，并说明它是什么曲线； (2)若直线l：4x－5y＋40＝0，求曲线Γ上的点到直线l的最大距离． 14．已知椭圆C：＝1，左、右焦点分别为F1，F2，直线l与椭圆交于A，B两点，弦AB被点平分．求： (1)直线l的方程； (2)△F1AB的面积． 参考答案 1．B　[直线过定点M(1，0)且该定点在椭圆＝1内，故直线与椭圆相交．故选B.] 2．B　[如图所示：根据题意可知，当点M在第三象限且椭圆在点M处的切线与直线x＋2y－10＝0平行时， 点M到直线x＋2y－10＝0的距离取得最大值，可设切线方程为x＋2y＋m＝0(m＞0)，联立 消去x整理可得25y2＋16my＋4m2－36＝0， Δ＝162m2－100(4m2－36)＝0，因为m＞0，解得m＝5， 所以椭圆＝1在点M处的切线方程为x＋2y＋5＝0， 因此，点M到直线x＋2y－10＝0的距离的最大值为＝3， 联立 可得点M的坐标为.故选B.] 3．D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2， 由已知有＝＝1， 作差得＝， 则＝＝－＝－， 所以a2＝3b2，又c＝4，a2＝b2＋c2＝3b2，解得b2＝8，a2＝24， 则E的方程为＝1. 故选D.] 4．A　[由题意，椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1(－2，0)，A2(2，0)，设P(x0，y0)，则＝，又由＝＝＝－，可得＝，因为∈，即≤－1，可得，所以直线PA2斜率的取值范围是.故选A.] 5．C　[将直线方程y＝x＋m与椭圆方程联立消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，因为直线与椭圆相交于A，B点，则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)＞0，解得－2＜m＜2，设F1到AB的距离为d1，F2到AB距离为d2，易知F1(－，0)，F2(，0)，则d1＝，d2＝，＝＝＝2， 解得m＝－或－3(舍去)．故选C.] 6．C　[对直线x－2y＋2＝0，令y＝0，解得x＝－2，令x＝0，解得y＝1, 故F(－2，0)，M(0，1)，则＝(2，1)，设A(x0，y0)，则＝(－x0，1－y0)， 而＝3， 则 解得 则A， 又点A在椭圆上，左焦点F(－2，0)，右焦点F′(2，0)， 由2a＝|AF|＋|AF′|＝＝， 则a＝，椭圆的离心率e＝＝＝.故选C.] 7．B　[内、外椭圆的离心率均为，设内层椭圆的短半轴长为b，e＝＝＝，所以a＝2b，则内层椭圆方程为＝1，由外层椭圆长轴的一个端点A向内层椭圆引切线AC，AC的方程为y＝－(x＋100)， 代入内层椭圆方程可得：x2＋100x＋5 000－2b2＝0， 可得Δ＝10 000－4×(5 000－2b2)＝0，解得b2＝1 250. 所以b＝25.即内层椭圆的短轴长2b＝50 m．故选B.] 8．D　[由题意可知，a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝1， 所以椭圆C：x2＋＝1的上焦点为F(0，1)， 则直线l的方程为y＝kx＋1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立消去y，得(2＋k2)x2＋2kx－1＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝. 由题设知，OA所在的直线方程为y＝x. 因为直线OA与直线y＝2相交于点M， 所以M； 同理可得N. 所以＝＝. 因为∠MON为锐角， 所以＞0， 所以＝＋4＝＋4 ＝＋4 ＝＋4， ＝＋4＝. 即＞0，解得k2＜或k2＞1， 所以－＜k＜，或k＞1，或k＜－1. 故直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．故选D.] 9．ABD　[因为直线AB过点F(3，0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＝1，消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0， 所以AB中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2. 又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝3，离心率为， 所以椭圆E的方程为＝1.故选ABD.] 10．ACD　[方程kx－y－k＝0可化为y＝k(x－1)， 所以直线l恒过点(1，0)，A正确； 设椭圆的半焦距为c(c＞0)，则焦点F的坐标可能为(c，0)或(－c，0)， 若直线恒过点(－c，0)，则0＝k(－c－1)， 故c＝－1，矛盾， 若直线恒过点(c，0)，则0＝k(c－1)，故c＝1，所以a2－b2＝1，B错误； 联立消y可得，(a2k2＋b2)x2－2a2k2x＋a2k2－a2b2＝0， 由对任意实数k，l与C总有两个互异公共点， 可得方程(a2k2＋b2)x2－2a2k2x＋a2k2－a2b2＝0有2个不相等的实数解， 所以Δ＝(－2a2k2)2－4(a2k2＋b2)(a2k2－a2b2)＞0， 所以k2(a2－1)＋b2＞0， 所以a≥1，C正确； 因为Δ＝(－2a2k2)2－4(a2k2＋b2)(a2k2－a2b2)＝4a2b2[k2(a2－1)＋b2]， 所以a＜1时，则k2＝，即k＝±时， 可得Δ＝0，此时方程组有且只有一组解， 故l与C有且只有一个公共点，D正确． 故选ACD.] 11．　[由题意可知F(－1，0)，故l的方程为y＝(x＋1)． 由得5x2＋8x＝0，∴x＝0或－. 设A(0，)，B. 又F(－1，0)，∴|AF|＝2，|BF|＝， ∴＝.] 12．　[∵椭圆＋y2＝1，∴x2＋2y2－2＝0， 设椭圆上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝2x＋m对称，AB中点为M(x0，y0)， 则＝2，① ＝2，② ①－②得：(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 即2x0·(x1－x2)＋2×2y0·(y1－y2)＝0， ∴kAB＝＝－＝－. ∴y0＝x0，代入直线方程y＝2x＋m得x0＝－m，y0＝－m. ∵(x0，y0)在椭圆内部， ∴m2＋2(－m)2＜2， 解得－＜m＜， 即实数m的取值范围是.] 13．解：(1)设动圆M的半径为r. 由动圆M与圆C1外切可知：|MC1|＝r＋1，① 由动圆M与圆C2内切可知：|MC2|＝9－r，② 则①＋②可得：|MC1|＋|MC2|＝10＞|C1C2|＝8. 所以动圆M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为10，焦距为8的椭圆(不含顶点(－5，0))． 动圆M圆心的轨迹Γ的方程为＝1(x≠－5)． (2)设与直线l平行的直线l0：4x－5y＋m＝0(m≠40)． 由得25x2＋8mx＋m2－225＝0. Δ＝(8m)2－4×25×(m2－225)＝0. 当Δ＝0，即m＝±25时，直线与椭圆相切． 由图形(图略)可知，当m＝－25时，切点P到直线l的距离最大． 设最大距离为d，则d＝＝. 所以曲线Γ上的点到直线l的最大距离为. 14．解：(1)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)(y1－y2)， 因为弦AB被点平分， 所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝， 所以直线l的斜率k＝＝－＝－， 故直线l的方程为x＋2y－2＝0. (2)法一(常规方法)：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得x2－2x－2＝0， 所以x1＋x2＝2，x1x2＝－2， 所以|AB|＝＝＝5， 由椭圆的方程可得，c2＝a2－b2＝16－4＝12， 所以c＝2，所以F1(－2，0)， 所以点F1(－2，0)到直线l：x＋2y－2＝0的距离d＝＝， 所以S△F1AB＝|AB|d＝×5×＝2. 法二(面积拆分法)：联立 得2y2－2y－1＝0， 所以y1＋y2＝，y1y2＝－， 所以|y1－y2|＝， 又因为直线l过点F2(2，0)， 所以S△F1AB＝|F1F2||y1－y2|＝×4＝2 学科网（北京）股份有限公司 $$