直线的方程 专项训练——2025届高三数学一轮复习

直线的方程 一、单项选择题 1．过点(1，2)且直线的方向向量为(－1，2)的直线方程为(　　) A．2x＋y－4＝0 　 B．x＋y－3＝0 C．x－2y＋3＝0 　 D．2x－y＋4＝0 2．已知A(m，0)，B(0，1)，C(3，－1)，且A，B，C三点共线，则m＝(　　) A． 　 B． C．－ 　 D．－ 3．过点A(－1，1)的直线l的倾斜角是直线l1：x－y＋1＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程是(　　) A．x－y＋＋1＝0 B．x＋y＋－1＝0 C．x－3y＋＋3＝0 D．x＋3y＋－3＝0 4．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是(　　) A．x＋y－5＝0 　 B．2x－y－1＝0 C．2x－y－4＝0 　 D．2x＋y－7＝0 5．已知直线l1：x＋y＝0与直线l2：kx－y＋1＝0，若直线l1与直线l2的夹角为60°，则实数k的值为(　　) A． 　 B．－ C．或0 　 D．－或－ 6．如图，在矩形ABCD中，|BC|＝|AB|，直线AC的斜率为，则直线BC的斜率为(　　) A． 　 B． C． 　 D．2 7．已知点A(2，3)，B(－3，－2)，与直线l：kx－y－k＋1＝0，且直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为(　　) A．k≥2或k≤ 　 B．k≥或k≤－ C．－4≤k≤ 　 D．≤k≤2 8．若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则该直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为(　　) A．1 　 B．2 C．3 　 D．4 二、多项选择题 9．已知直线l：x＝my＋1，则(　　) A．直线l恒过定点(1，0) B．直线l的斜率必定存在 C．m＝时，直线l的倾斜角为60° D．m＝2时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为 10．若直线过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程为(　　) A．x－y＋1＝0 　 B．x＋y－3＝0 C．2x－y＝0 　 D．x－y－1＝0 三、填空题 11．对于任意实数λ，直线x＋y－3＋λ(x－2y)＝0恒过定点A，且点B(1，0)，则直线AB的一个方向向量为 ________． 12．已知点M是直线l：y＝x＋3与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，则所得到的直线l′的方程为________． 13．斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成．如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)约为4 m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为18 m．最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|＝84 m，|OA1|＝78 m，以B10A10所在直线为x轴，OP10所在直线为y轴，则最长拉索所在直线的斜率为(　　) A．± 　 B．± C．± 　 D．± 14．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＋1＝0和过定点B的动直线mx－y－2m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的最大值为(　　) A．2 　 B．3 C．3 　 D．6 15．已知直线l的倾斜角为α，sin α＝，且这条直线l经过点P(3，5)，则直线l的一般式方程为________． 16．直线l1：y＝2x和l2：y＝kx＋1与x轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的k的两个可能取值：________和 ________ 参考答案 1．A　[由题意可知直线的斜率k＝－2，由点斜式方程得，所求直线方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.故选A.] 2．A　[由A(m，0)，B(0，1)，C(3，－1)， 可得＝(－m，1)，＝(3，－2)， 因为A，B，C三点共线， 所以∥，即(－m)×(－2)－1×3＝0， 解得m＝.故选A.] 3．B　[因为k1＝tan α＝，所以α＝60°， 所以k＝tan 120°＝－， 所以直线l的方程是y－1＝－(x＋1)， 即x＋y＋－1＝0.故选B.] 4．A　[易知A(－1，0)． ∵|PA|＝|PB|， ∴点P在AB的垂直平分线，即x＝2上， ∴B(5，0)． ∵PA，PB关于直线x＝2对称， ∴kPB＝－1．∴lPB：y－0＝－(x－5)， 即x＋y－5＝0.故选A.] 5．C　[因为l1：x＋y＝0的斜率为k＝－， 所以其倾斜角为120°.直线l2：kx－y＋1＝0恒过点(0，1)， 如图，若直线l1与直线l2的夹角为60°， 则l2的倾斜角为60°或0°，所以k＝或k＝0.故选C.] 6．A　[由题意，在Rt△BCD中，∠BCD＝，|BC|＝|AB|＝|CD|， ∴tan ∠CBD＝，∴∠CBD＝，∴直线BC的倾斜角为，故kBC＝tan ＝.故选A.] 7．A　[已知点A(2，3)，B(－3，－2)与直线l：kx－y－k＋1＝0，且直线l与线段AB相交， 直线l：kx－y－k＋1＝0，即直线l：k(x－1)－y＋1＝0，它经过定点M(1，1)， 所以直线MA的斜率为＝2，直线MB的斜率为＝， 则直线l的斜率k的取值范围为k≥2或k≤.故选A.] 8．D　[因为直线ax＋by＝ab过点(1，1)，所以a＋b＝ab， 又因为a＞0，b＞0，所以＝1， 所以直线＝1在x轴与y轴上的截距之和为 b＋a＝(b＋a)＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”， 所以直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为4. 故选D.] 9．AD　[由直线方程知，直线恒过定点(1，0)，A正确； 当m＝0时，直线斜率不存在，B错误； m＝时，直线l：y＝(x－1)， 则直线l的斜率为，倾斜角为30°，C错误； m＝2时，直线l：x＝2y＋1，则直线l与x轴、y轴的交点分别为(1，0)，，所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，D正确． 故选AD.] 10．ABC　[当直线经过原点时，斜率为k＝＝2， 所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0； 当直线不过原点时， 设所求的直线方程为x±y＝a， 把点A(1，2)代入可得1－2＝a或1＋2＝a， 求得a＝－1或a＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0. 综上知，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0，x＋y－3＝0.故选ABC.] 11．(－1，－1)(答案不唯一)　[由x＋y－3＋λ(x－2y)＝0，得解得则A(2，1)． 又B(1，0)，则＝(－1，－1)． 即直线AB的一个方向向量为(－1，－1)．] 12．x＝－或y＝(x＋)　[在y＝x＋3中，令y＝0，得x＝－，即M(－，0)．因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为60°.若直线l绕点M逆时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为90°，此时直线l′的斜率不存在，故其方程为x＝－；若直线l绕点M顺时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为30°，此时直线l′的斜率为tan 30°＝，故其方程为y＝(x＋)．] 13．B　[由题意可知，{OPi}，{OBi}(i＝1，2，3，…，10)分别是公差为4和18的等差数列，则|OP10|＝|OP1|＋9×4＝84＋9×4＝120，|OB10|＝|OB1|＋9×18＝78＋9×18＝240， 故＝＝＝＝－， 所以最长拉索所在直线的斜率为±.故选B.] 14．D　[由题意知，动直线x＋my＋1＝0过定点A(－1，0)，动直线mx－y－2m＋3＝0可化为(x－2)m＋3－y＝0，令可得B(2，3)，又1×m＋m×(－1)＝0，所以两动直线互相垂直，且交点为P，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18，因为，所以|PA|＋|PB|≤＝＝6，当且仅当|PA|＝|PB|＝3时取等号．故选D.] 15．3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0　[因为sin α＝，所以cos α＝±＝±，所以直线l的斜率为k＝tanα＝±，又因为直线l经过点P(3，5)，所以直线l的方程为y－5＝(x－3)或y－5＝－(x－3)，所以直线l的一般式方程为3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0．] 16．或－2或－(任选2个即可)　[令直线l1，l2的倾斜角分别为α，θ，则tan α＝2，tan θ＝k， 当围成的等腰三角形底边在x轴上时，θ＝π－α，k＝tan (π－α)＝－tan α＝－2； 当围成的等腰三角形底边在直线l2上时，α＝2θ，θ∈，tan α＝tan 2θ＝＝2， 整理得k2＋k－1＝0，而k＞0，解得k＝； 当围成的等腰三角形底边在直线l2上，θ∈，可解得k＝－；当围成的等腰三角形底边在直线l1上时，可解得k＝－. 所以k的取值为或－2或－. 学科网（北京）股份有限公司 $$