圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题专项训练——2025届高三数学一轮复习

圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 1．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)，渐近线方程为y±＝0，点A(2，0)在C上． (1)求双曲线C的方程； (2)过点A的两条直线AP，AQ分别与双曲线C交于P，Q两点(不与A点重合)，且两条直线的斜率k1，k2满足k1＋k2＝1，直线PQ与直线x＝2，y轴分别交于M，N两点，求证：△AMN的面积为定值． 2．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，点A(－2，0)在C上． (1)求C的方程； (2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点． 3．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，M，N分别为左、右顶点，直线l：x＝ty＋1与椭圆C交于A，B两点，当t＝－时，A是椭圆的上顶点，且△AF1F2的周长为6. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线AM，BN交于点Q，证明：点Q在定直线上； (3)设直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值． 4．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2，1)． (1)求C的方程； (2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． 参考答案 1．解：(1)∵a＞0，b＞0，依题意，⇒b＝1， 所以双曲线C的方程为－y2＝1. (2)依题意可知，直线PQ的斜率存在，设方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， ⇒(1－4k2)x2－8kmx－4m2－4＝0⇒ 所以Δ＝64k2m2＋4(1－4k2)(4m2＋4)＞0，m2＋1－4k2＞0①， k1＋k2＝＝＝＝1， 整理得(m＋2k)(m＋2k－1)＝0. ①m＋2k＝0⇒PQ：y＝kx－2k，过A(2，0)，舍去， ②m＋2k－1＝0⇒PQ：y＝kx－2k＋1，过点(2，1)， 此时，将m＝1－2k代入①得 (1－2k)2＋1－4k2＝2－4k＞0，k＜， ∴PQ与x＝2交于点M(2，1)， 故S△AMN＝×2×1＝1为定值． 2．解：(1)因为点A(－2，0)在C上，所以＝1，得b2＝4. 因为椭圆的离心率e＝＝，所以c2＝a2，又a2＝b2＋c2＝4＋a2，所以a2＝9，c2＝5， 故椭圆C的方程为＝1. (2)证明：由题意知，直线PQ的斜率存在且不为0，设lPQ：y－3＝k(x＋2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由得(4k2＋9)x2＋(16k2＋24k)x＋16k2＋48k＝0， 则Δ＝(16k2＋24k)2－4(4k2＋9)(16k2＋48k)＝－36×48k>0， 故x1＋x2＝－，x1x2＝. 直线AP：y＝(x＋2)，令x＝0，解得yM＝，同理得yN＝， 则yM＋yN＝2× ＝2× ＝2× ＝2× ＝2× ＝6. 所以MN的中点的纵坐标为＝3，所以MN的中点为定点(0，3)． 3．解：(1)当t＝－时，直线l：x＝－y＋1，令x＝0，得y＝，即椭圆的上顶点为(0，)，则b＝， 又△AF1F2的周长为6，即2a＋2c＝6，a＋c＝3，又a2－c2＝b2＝3，解得a＝2，c＝1， 所以椭圆C的方程为＝1. (2)证明：由(1)知，M(－2，0)，N(2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意，点A，B不在x轴上， 由消去x并整理得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0，Δ＞0，由根与系数的关系得，y1＋y2＝－，y1y2＝， 直线AM的方程为y＝(x＋2)， 直线BN的方程为y＝(x－2)， 联立直线AM，BN的方程得 ＝＝＝， 由y1＋y2＝－得y1＝－－y2，代入上式，得 ＝＝ ＝＝3， 于是得x＝4，所以直线AM，BN的交点Q在定直线x＝4上． (3)证明：由(2)知，＝＝＝， 由y1＋y2＝－，y1y2＝得，ty1y2＝(y1＋y2)， 所以＝＝＝为定值． 4．解：(1)由题设得＝1，＝，解得a2＝6，b2＝3．所以C的方程为＝1. (2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y＝kx＋m，代入＝1，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0. 于是x1＋x2＝－，x1x2＝.① 由AM⊥AN知＝0，故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，可得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0. 将①代入上式，可得(k2＋1)－(km－k－2)·＋(m－1)2＋4＝0. 整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0. 因为A(2，1)不在直线MN上， 所以2k＋m－1≠0，故2k＋3m＋1＝0，k≠1，m＝－k－. 于是MN的方程为y＝k(k≠1)． 所以直线MN过点P. 若直线MN与x轴垂直，可得N(x1，－y1)． 由＝0，得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0. 又＝1，所以－8x1＋4＝0，解得x1＝2(舍去)，x1＝. 此时直线MN过点P. 令Q为AP的中点，即Q. 若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，故|DQ|＝|AP|＝. 若D与P重合，则|DQ|＝|AP|. 综上，存在点Q，使得|DQ|为定值 学科网（北京）股份有限公司 $$