精品解析：北京市房山区2023-2024学年高一下学期期末学业水平调研（二）数学试卷

房山区2023-2024学年度第二学期学业水平调研（二） 高一数学 本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. “点A在直线l上，l在平面内”用数学符号表示为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 一个球的表面积为，则该球的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 在中，，，，那么等于（ ） A. B. C. 2 D. 4. 在空间中，下列命题正确是（ ） A. 平行于同一条直线的两个平面平行 B. 平行于同一个平面的两条直线平行 C. 过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 D. 过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行 5. 已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，在正方形网格中位置如图所示，那么向量（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面，，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 如图，在三棱锥中，平面BCD，，E，F，G分别是AC，AD，BC的中点，则过E，F，G三点的平面截三棱锥所得截面的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 4 9. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即）．行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度（ ）. A. B. 100m C. D. 10. 如图，在正方体中，点P在面对角线上运动，下列四个命题中错误的是（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积不变 D. 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 已知长方体长、宽、高分别为1，2，2，则该长方体的对角线的长为______． 12. 如图，角的顶点在坐标原点O，始边为x轴的正半轴，角终边上一点P到O的距离为r，则点P的坐标为______．（用和r表示） 13. 已知向量，，且，则向量的坐标为______． 14. 已知m，n是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①；②；③．以其中两个论断作为条件，余下的论断作为结论，写出一个真命题：______． 15. 命题p：在中，若，则是直角三角形．能说明命题p为假命题的一组角为______，______． 16. 金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．金刚石经常呈现如图所示的“正八面体”外形，正八面体由八个全等的等边三角形围成，呈现了对称美．下面给出四个结论： ①平面ABE； ②平面平面BDE； ③过点E存在唯一一条直线与正八面体的各个面所成角均相等； ④以正八面体每个面的中心为顶点的正方体的棱长是该正八面体棱长的． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 如图，在正方体中，E为中点． （1）求证：； （2）求证：平面BDE． 18. 在中，． （1）求角A的大小； （2）若，，求角B的大小； （3）若，求面积的最大值． 19. 如图，在中，是上的点，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． （1）求证：是直角三角形； （2）求的周长． 条件①：；条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 20. 如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，点M为AC的中点． （1）求证：平面平面PAB； （2）线段PC上是否存在点N，使得平面BMN?若存在，求值；若不存在，请说明理由． 21. 如图，在四棱锥中， 为梯形，． （1）在侧面内是否存在直线与平行？如果存在，作出直线并给出证明；如果不存在，请说明理由； （2）在图中作出平面与平面的交线，并给出证明； （3）在侧面内是否存在直线与平行？说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 房山区2023-2024学年度第二学期学业水平调研（二） 高一数学 本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. “点A在直线l上，l在平面内”用数学符号表示为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由点线面的位置关系及其表示即可得解. 【详解】“点A在直线l上，l在平面内”用数学符号表示为，. 故选：D. 2. 一个球的表面积为，则该球的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】直接由球的表面积公式列方程即可求解. 【详解】设所求半径为，则，解得. 故选：B. 3. 在中，，，，那么等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中，由正弦定理求解即可. 【详解】在中，由正弦定理得， 所以，解得. 故选：. 4. 在空间中，下列命题正确的是（ ） A. 平行于同一条直线的两个平面平行 B. 平行于同一个平面的两条直线平行 C. 过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 D. 过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行 【答案】C 【解析】 【分析】在正方体中，通过举反例可判断，，；假设过直线外一点有两条直线与已知直线平行推出矛盾即可判断. 【详解】平行于同一条直线的两个平面不一定平行，如在正方体中， 平面，平面，平面平面， 故错误； 平行于同一个平面的两条直线不一定平行，如在正方体， 平面，平面，， 故错误； 根据空间平行直线的传递性，如果过直线外一点有两条直线与已知直线平行，那么这两条直线平行，与过一点矛盾，故正确； 如在正方体，平面，平面， 过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行错误，故错误. 故选：. 5. 已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出正四棱锥的底面积，然后利用锥体的体积公式可求出该正四棱锥的体积． 【详解】正四棱锥的底面积为，正四棱锥的高为 因此，该正四棱锥的体积为． 故选：A． 6. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，那么向量（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图建立平面直角坐标系，表示出向量，，，然后根据平面向量基本定理求解即可. 【详解】如图建立平面直角坐标系，则， ， 因为，不共线， 所以由平面向量基本定理可知存在一对有序实数，使， 所以， 所以，得， 所以. 故选：A 7. 已知平面，，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若且得不到，此时与可能相交，故充分性不成立， 若又，则，故必要性成立， 所以“”是“”必要而不充分条件. 故选：B 8. 如图，在三棱锥中，平面BCD，，E，F，G分别是AC，AD，BC的中点，则过E，F，G三点的平面截三棱锥所得截面的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，连接，，可得截面，由三角形的中位线定理，以及线面垂直的性质定理，可得截面为边长为2的正方形，可得截面的面积. 【详解】如图所示，可取的中点，连接，， 由为的中位线，可得，， 又，，所以，且， 可得四边形为平行四边形，截面为所求截面. 因为平面，平面， 所以，又，，可得， 则截面为矩形；又，可得截面为边长为2的正方形，其面积为4. 故选：D. 9. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即）．行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度（ ）. A. B. 100m C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由正弦定理解得，再解直角三角形即可得解. 【详解】由题意， 而，由正弦定理可得，即，解得， 注意到， 从而. 故选：C. 10. 如图，在正方体中，点P在面对角线上运动，下列四个命题中错误的是（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积不变 D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明平面平面后可判断A，证明平面后可判断B，由平面可判断C，取是与交点时可判断D． 【详解】A．连接，如图，正方体中由与平行且相等得平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面，同理平面， ，平面，所以平面平面， 平面，所以平面，A正确； B．连接，正方体中平面，平面，所以， 又正方形中，，，平面， 所以平面，而平面，所以，同理，，平面，所以平面， 而平面，所以平面平面，B正确； C．由A的证明知平面，，到平面的距离不变，因此三棱锥体积不变，即三棱锥的体积不变，C正确； D．当是与交点时，矩形中，和显然不垂直，D错． 故选：D． 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 已知长方体的长、宽、高分别为1，2，2，则该长方体的对角线的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据长方体的对角线长公式计算． 【详解】长方体的对角线长为 故答案为：3 12. 如图，角的顶点在坐标原点O，始边为x轴的正半轴，角终边上一点P到O的距离为r，则点P的坐标为______．（用和r表示） 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的定义列方程即可求解. 【详解】由题意点在第二象限，设它的坐标为，那么由三角函数定义有：， 解得，即点的坐标为. 故答案为：. 13. 已知向量，，且，则向量的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】设向量的坐标为，由向量数量积的坐标公式、模的计算公式列式即可求解. 【详解】设向量的坐标为，由题意，解得或者， 所以向量的坐标为或者. 故答案为：或. 14. 已知m，n是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①；②；③．以其中两个论断作为条件，余下的论断作为结论，写出一个真命题：______． 【答案】若，,则（答案不唯一．若，，则也可以） 【解析】 【分析】用其中两个为条件，推出第三个为结论.根据线面关系的定理证明即可. 【详解】若②；③,则①. 证明：若,则面内存在直线，使得. 由于，且，则，又，则. 若③，①．则②. 证明：若，，则内必存在一条直线与外直线平行，即. 若①；②；则③.（不成立） 举反例说明：如图下底面的长方体模型，，，但是. 故答案为：若，,则（答案不唯一.若，．则也可以）. 15. 命题p：在中，若，则是直角三角形．能说明命题p为假命题的一组角为______，______． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】首先假设，得出的可能值，只需满足不是直角三角形即可. 【详解】设，因为，所以，或， 若，，显然， 所以能说明命题p为假命题的一组角为，； 若，则，故也满足题意； 故答案为：，（答案不唯一）. 16. 金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．金刚石经常呈现如图所示的“正八面体”外形，正八面体由八个全等的等边三角形围成，呈现了对称美．下面给出四个结论： ①平面ABE； ②平面平面BDE； ③过点E存在唯一一条直线与正八面体的各个面所成角均相等； ④以正八面体每个面的中心为顶点的正方体的棱长是该正八面体棱长的． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理判断①；根据二面角相关知识判断②；根据线面角相关知识并结合图形特点进而判断③；根据题意找出正方体的棱长，结合相似三角形从而判断④. 【详解】对于①，根据正八面体性质可知，，又平面，平面，所以平面，故①正确. 对于②，如下图所示，设平面的中心为， 由对称性可知平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故②正确； 对于③，直线与正八面体的各个面所成角均相等，将其平移后使其过点， 则过点至少存在两条直线与正八面体的各个面所成角均相等，故③错误. 对于④，如下图所示，取中点，的中心， 连接，则即正方体的一条棱， 设该正八面体棱长为，则，， 根据，，得，所以， 即以正八面体每个面的中心为顶点的正方体的棱长是该正八面体棱长的，故④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】关键点点睛：关键是找出正方体的棱长，结合相似三角形的相关知识即可顺利得解. 三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 如图，在正方体中，E为的中点． （1）求证：； （2）求证：平面BDE． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，结合线面垂直的性质即可得解； （2）由中位线定理得出，结合线面平行的判定定理即可得证. 【小问1详解】 如图所示，连接，交于点， 在正方体中，平面，而平面， 所以， 又因为在正方形中，，且注意到，平面， 所以平面， 而平面， 所以； 【小问2详解】 如图所示，连接， 因为分别为的中点，所以， 而平面，平面， 从而平面. 18. 在中，． （1）求角A的大小； （2）若，，求角B的大小； （3）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接由余弦定理即可求解； （2）由正弦定理结合大边对大角即可求解； （3）由余弦定理确定的最大值，结合三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 因为，所以； 【小问2详解】 若，且由（1）可知， 即，解得， 因为，所以； 【小问3详解】 若，注意到， 所以由余弦定理有， 即，等号成立当且仅当， 所以面积，等号成立当且仅当， 所以面积的最大值为. 19. 如图，在中，是上的点，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． （1）求证：是直角三角形； （2）求的周长． 条件①：；条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）选①由余弦定理可求，即可证明；选②由正弦定理可求，即可证明； （2）选①中求得，再求即可求解；选②在中求，在中，由余弦定理可求，即可求解. 【小问1详解】 选①：在中，由余弦定理得 ， 所以，所以， 所以是直角三角形； 选②：在中，由正弦定理得， 所以，所以， 因，所以， 所以， 所以是直角三角形； 【小问2详解】 选①：在中，， 所以，所以， 所以， 所以的周长为. 选②：中，， 所以， 在中，由余弦定理， 所以， 所以的周长为. 20. 如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，点M为AC的中点． （1）求证：平面平面PAB； （2）线段PC上是否存在点N，使得平面BMN?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理可得证； （2）过点M作垂足为F，根据线面垂直的判定可证平面BMN，然后根据平面几何知识求出，进而求出即可得. 【小问1详解】 因平面平面ABC，平面，，平面平面ABC， 所以平面ABC，平面ABC，所以， 又，，所以, 又，所以， 所以，又，是平面内的两条相交直线， 所以平面，又平面， 所以平面平面PAB 【小问2详解】 存在，当时，平面BMN， 过点M作垂足为F， 由（1）知平面ABC，平面ABC，所以， 又点M为AC的中点，， 所以，，是平面内的两条相交直线， 所以平面，又平面， 所以，，是平面BMN内的两条相交直线， 所以平面BMN， 由已知得，又， 即，又， 所以，所以， 故当时，平面BMN， 21. 如图，在四棱锥中， 为梯形，． （1）在侧面内是否存在直线与平行？如果存在，作出直线并给出证明；如果不存在，请说明理由； （2）在图中作出平面与平面的交线，并给出证明； （3）在侧面内是否存在直线与平行？说明理由． 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）取中点分别为，连接，结合中位线定理以及平行线的传递性即可得证； （2）由点线面的位置关系作出图形，并直接证明即可； （3）由直线与平面的位置关系直接证明即可. 【小问1详解】 如图所示：取中点分别为，连接，则在侧面内存在直线与平行， 证明如下：因为中点分别为，所以平面， 又因为，所以， 所以在侧面内存在直线与平行； 【小问2详解】 如图所示：过点作直线平行于，则平面与平面的交线即为， 证明如下：因为，，平面，所以平面， 而，所以， 且注意到，平面，所以平面， 所以平面平面； 【小问3详解】 在侧面内不存在直线与平行 证明如下：如图所示：过点作，交于点， 因为平面，， 所以直线与平面也相交， 即与平面内的任何一条直线都不可能平行. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$