13.3 导数双变量不等式解题策略-高考数学试题方法研究

13.3 导数双变量不等式解题策略 方法归纳 证明双变量不等式是高考的热点问题，也是难点，具有较强的区分度。通常方法是利用消元法、主元法、换元法、分离变量法等将多元不等式转化为我们所熟悉的一元不等式来求解。 （1）消元法 利用条件代入消元 ；如果 之间存在某种关系，那么就可以利用这些关系把双变量化为单变量来处理。 （2）主元法 将其中一个变量看为主要变量，另外一个变量看做常数； （3）更改主元 改变“自变量”的思想，已知谁的范围把谁作为主元； （4）换元法 一般分两步①将不等式变形 ②整体换元； 而需要整体换元的双变量表现形式通常包括两种情形： ①比值形式 ，通常不等式中含有lnx，例如： ②差值形式，通常不等式中含有，比如： （5）分离变量法 若将变量分离到不等式两边后结构相同，则可将相同的结构构造一个函数，然后通过函数的单调性来证明不等式。 例如，分离后不等式变形为，那么我们可以构造函数 导数双变量不等式的一般解题步骤 ①确定变量取值范围：首先利用条件或表达式等粗略确定变量的取值范围 ②构造函数：通过消元法、主元法、换元法、分离参数法等将不等式变形后，构造新的函数； ③确定构造函数变量的取值范围； ④分析构造函数的单调性：利用导数分析新函数的单调性，有时还要分析函数的奇偶性； ⑤求解：利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，即证明与原不等式等价的不等式成立，从而证明原不等式也成立。 例题解析 例1、【消元法】已知函数，其中t是实数，设A、B为该函数图像上的两点，横坐标分别为，且，若，函数f(x)的图像在点A、B处的切线相互垂直，求的最大值。 分析：利用切线相互垂直可以得到双变量的一个关系，利用这个关系把双变量化为单边量进行求解。 【答案】 【解析】 此时 解得 构造函数 的最大值为 例2、【主元法】已知函数g(x)=xlnx，设0<a<b 求证： 【证明】g(x)=xlnx，则 构造函数 则 即 设 则 ∴上为减函数，G(b)<G(a)=0 例3、【更改主元】已知f(x)=x2+mx-1≥m，在|m|≤2时恒成立，求实数x的取值范围。 【答案】（-∞，-3]∪[1,+∞） 【解析】∵f(x)=x2+mx-1≥m在|m|≤2时恒成立 ∴关于m为自变量的一次函数在时的函数值恒 为非负值 即 例4、【换元法】已知函数有两个不同的零点，求证： 【证明】由题意知， 两式相加减再相比可得 设，记，则t>0， 因此只需证明： 再令>1，t=lnx，即证 x∈(1,+∞) 构造新函数F(x)= 那么 得F(x)在(1,+∞)递增， ∴F(x)>0,因此得证。 例5、【换元法】已知函数f(x)=lnx-ax，a为常数，若函数f(x)有两个零点，试证明：。 参考《导数解题技巧必备不等式》 【证明】不妨设, 欲证明 即证 ∴即证 ∴即证 构造函数 ∴g(t)在t∈(1,+∞)上单调递增，而g(1)=0 ∴g(t)>0 例6、【分离变量法】设函数，若对任意，恒有，求实数k的取值范围。 【解析】对任意，恒有 即对于任意的恒成立， 构造新函数在x∈(0,+∞)上单调递减 ，解得 跟踪练习 1、 设函数，若函数f(x)存在两个极值点, （1） 求实数a的取值范围 （2） 证明 2、已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数根和，则的取值范围是______，的最大值为_____. 3、已知函数. （1）函数的最大值等于________； （2）若对任意，都有成立，则实数a的最小值是________. 4、已知函数，，其中. （1）求函数的极值； （2）若的图像在，处的切线互相垂直，求的最小值. 5、【分离变量法】已知锐角，满足，则下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 6、【2021全国高考数学I卷第22题】已知函数 （1） 讨论f(x)的单调性； （2）设a,b为两个不相等的正数，blna - alnb = a - b，证明： 7、【消元法▪2018全国卷I卷21题】已知函数 （1） 讨论f(x)的单调性； （2） 若f(x)存在两个极值点，证明 8、【2019年深圳一模21题】 已知函数，其定义域为（0，+∞） （1） 求其递增区间； （2） 若函数在定义域是增函数，且，证明：≥2 9、【换元法▪差值形式】 已知函数 （1） 讨论函数f(x)的零点个数； （2） 若（m,n为给定的常数，且m<n）记f(x)在区间（m,n）上的最小值为g(m,n)， 求证： 10、 【消元法▪2013湖南卷21题】已知函数 （1）求函数的单调区间 （2）证明：当时， 13.3 导数双变量不等式解题策略 1、解析： ∵函数f(x)存在两个极值点且 ∴有两个不等正实数根 ∴△=4-8a>0 ， （2）（由韦达定理，我们可以轻易知道两个变量之间的关系，通过这个关系可以把双变量化为单变量。） 根据根与系数的关系，及求根公式易知 构造函数 <0 ∴在上单调递减 ∴ 即得证。 2、【答案】 【解析】作出函数的图像如下图所示，要使关于的方程恰有两个不同的实数根和，则需，解得， 不妨设，则，令，则，所以， 令，则， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，所以的最大值为， 故答案为：；. 3、【答案】 1 【解析】 （1）函数定义域是，， 时，，递增，时，，递减， ∴时，取得极大值也是最大值； （2）若对任意，都有成立， 等价于当时，， 由（1）当时，，且，满足题意； 当，在上递增，，在递减，， 只要即可，∴， 综上，的最小值是1.． 故答案为：；1． 4、【答案】（1）答案见解析；（2）1. 【解析】（1）函数的定义或为， ， 若，恒成立，此时在上单调递增，无极值； 若时，，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 当时，有极小值，无极大值. （2），则，其中，， ，且，， ， 当且仅当时取等号， 当，时，取最小值1. 5、【答案】D 【解析】结合已知条件，构造函数，得：，根据选项，逐一验证即可. 由， 即， 设，则， 所以在上是减函数，所以， 由在上是增函数，得，即， 同理可得，所以 故选：D 6、【解析】根据结论做差构造函数 若，则构造函数；，然后利用函数的单调性（常用导数）来证明。 解：（1）首先x>0, 当时，递增；当时，递减 （2）blna - alnb = a - b 令，不妨设 则由（1）知： 待证结论： 先证明： 令 ∴g(x)在（0,1）上递增。 即 又f(x)在上递减，即 再证明 当结论显然成立 当时， 令 ，而，则k(x)递减 则h(x)在（e-1,e）上先减后增，故 显然成立 故 则 故，结合f(x)在（0,1）上递增， 即证毕。 我们在利用导数证明或求函数的极值点、最值、单调性，或者与零比较大小的过程中，经常要取一些特殊值代入到函数、构造函数或他们的导数中，那么这些特殊值怎么选择呢？ （1）代入0，1，-1； （2）表达式含有参数时，代入参数的正负值； （3）表达式中含有lnx，形如lnx-b 选择特殊值； 7、 【解析】（1）的定义域为（0，+∞）， ①若a≤2，则当且仅当a=2,x=1时所以在（0，+∞）单调递减 ②若a>2，若得 当时， 当时， 所以在单调递减，在单调递增。 （2）证明：由（1）知，存在两个极值点当且仅当a>2 ∵的两个极值点，满足 ∴，不妨设，则 由于 ∴ 构造函数 由（1）知，在（0，+∞）单调递减， 又g(1)=0，从而当x∈（1，+∞）时，g(x)<0 即成立。 8、 【解析】（1） ①当a≤0时，由 ②当a>0时， ∴ 若0<a<1，则，此时的单调增区间是； 若a>1，则，此时的单调增区间是； 若a=1,则单调增区间是； （2）由（1）知，若函数在上是增函数，则a=1,所以 故，欲证：≥2即证 （利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系） 即证： 构造函数 只需证明 因为 ，在(0,1)上单调递增， 从而≥2得证。 9、 【解析】（1） 由得，；由得，； ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴ 由于当时，，当时，， ①当，即0<a<2e时，无零点 ②当，即a=2e时，有一个零点 ③当，即a>2e时，有两个零点 （2）证明： ∴ ∴由（1）可知，在上的最小值 ∴原不等式 令于是原不等式 令 则 在上单调递减， 即原不等式成立 10、 （1）由题意 当时，；当时，。故在单调递增，在单调递减 （2）当时，不妨设 对任意，即证 化简得 令，则 当单调递减，从而 即 ∴对任意，,而 由于 在上单调递增， 学科网（北京）股份有限公司 $$