8.1 复数运算-高考数学试题方法研究

8 复数 8.1 复数运算 方法归纳 （1）复数简化运算常用结论 ① 若； 若； ②， ③复数乘除法运算的三角表示 两复数相乘： 两复数相除： （2）代数法（化虚为实） 当式子所表达的几何意义不明显时，我们常常直接利用代数方法，常设复数z＝a+bi 然后利用复数的模化复数问题为实数问题，把较陌生问题转化为我们最熟悉的问题，求解更方便。 （3）几何法：利用复数的三角形式或几何意义，数形结合 由于复数表示复平面上的一点，可以用三角形式表示，因此它具有鲜明的几何意义，比如复数所描述的轨迹是一个圆、一条曲线等，我们在做题有时如果充分利用其几何意义，有时会使问题得到快速的解决。 【说明】由于复数不仅可以用代数和三角两种形式来表达，还可以结合向量来展示，因此有关复数的考点出题方式灵活多变。我们在解题时，不要只会盲目地设出其代数式，而要认真分析其结构特征，然后据此找到一条有效的解题途径，否则会使解题过程异常繁琐。 不过在近年的全国统考试题中，复数出题较为简单，多以选择化简为主。 例题解析 例1、【直接利用结论】（2011 江苏泰州市高二检测）若，则等于（ ） 【答案】0 【解析】由，可得 ∴= 故答案为0 例2、【代数法】已知复数，则的最大值是（ ） 【答案】1 【解析▪代数法】设z=x+yi (x,y∈R) 时，取最大值为1。 【几何法】提示：表示以原点为圆心，半径为的圆上的点，而则表示点Z到定点（，0）距离的平方。 注：例3例4是我们常见的一动一定的问题，定是定点，而动即动点轨迹是一个圆。 例3、【几何法】（2020•浙江模拟）若复数z1＝2+i，z2＝cosα+isinα（α∈R），其中i是虚数单位，则|z1﹣z2|的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵z1＝2+i，z2＝cosα+isinα（α∈R）， ∴z2对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上，z1＝2+i对应的点为Z1 （2，1）． 如图： 则|z1﹣z2|的最大值为．故选：C． 跟踪练习 1、【代数法】是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A．若复数满足，则 B．若复数，满足，则 C．若复数，则可能是纯虚数 D．若复数满足，则对应的点在第一象限或第三象限 2、【代数法】（2019春•平遥县校级期中）设z1是虚数，是实数，且﹣1≤z2≤1． （1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围． （2）若，求证：ω为纯虚数． 3、【代数法】（2020春•开封期中）若|z1﹣z2|＝1，则称z1与z2互为“邻位复数”．已知复数与z2＝2+bi互为“邻位复数”，a，b∈R，则a2+b2的最大值为　 　． 4、【几何法】如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求： (1) 所表示的复数； (2)对角线所表示的复数； (3)B点对应的复数． 5、【几何法】如图，复平面内的是△ABC等边三角形，它的两个顶点A，B的坐标分别为，求点C的坐标. 6、【2023全国新高考I卷2】已知，则= A. -i B. i C. 0 D. 1 7、【利用结论】已知复数m满足，则（ ） 8.1 复数运算 1、【答案】AD 【解析】A选项，设，则其共轭复数为， 则，所以，即；A正确； B选项，若，，满足，但不为；B错； C选项，若复数表示纯虚数，需要实部为，即，但此时复数表示实数，故C错； D选项，设，则， 所以，解得或，则或， 所以其对应的点分别为或，所以对应点的在第一象限或第三象限；D正确.故选：AD. 2、【解答】解：（1）设z1＝a+bi（a，b∈R且b≠0）， 则 ∵z2是实数，b≠0，∴．b≠0， 于是有a2+b2＝1，即|z1|＝1， 还可得z2＝2a．由﹣1≤z2≤1，得﹣1≤2a≤1，解得，即z1的实部的取值范围． （2） 证明： ∵，b≠0， ∴ω为纯虚数． 3、解：由题意，，故， ∴点（a，b）在圆上， 而表示点（a，b）到原点的距离， 故a2+b2的最大值为． 4、【答案】(1) －3－2i (2) 5－2i (3) 1＋6i 【解析】(1) ，所以所表示的复数为－3－2i. 因为，所以所表示的复数为－3－2i. (2) ，所以所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3) ，所以所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， 即B点对应的复数为1＋6i. 5、【答案】C坐标为 【解析】将原点0平移至A点，建立平面直角坐标系，则 ， 将绕点A顺时针方向旋转得 ， ∴在原平面直角坐标系xOy中， 点C坐标为，即. 6、【答案】A 【解析】 故选A 7、【答案】0 【解析】由，即 可得： 且或 学科网（北京）股份有限公司 $$