7.5 解三角形（正余弦定理）-高考数学试题方法研究

7.5 解三角形（正余弦定理） 方法归纳 设△ABC的∠A，∠B ，∠C的对边分别为a，b，c，内切圆半径为r，外接圆半径为R 高中数学中求解三角形，通常是已知△ABC的∠A，∠B ，∠C或其对边a，b，c，其中的三个量，利用正弦余弦定理求解其他未知量。常用到或涉及到的知识包括： （1）三角形或平面角基本知识 ①三角形内角和A+B+C=π，A，B，C∈（0，π）（使用频率最高） ②任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 ③大角对大边，小角对小边，等角对等边。 ④ 若，则边c所对的角为直角； 若，则边c所对的角为钝角； 若，则边c所对的角为锐角； ⑤平角和180º，即若（常用） （2）三角形面积公式及其重要推论（常用同一三角形面积相等即等积法解题） ① ② ③ ④ ⑤ ⑥重要推论：若AD为的角平分线，则有 【证明提示】 （3）常用三角变换公式 诱导公式、倍角公式、和差公式 （4）三角形有解情况 已知两边与其中一边所对的角，有一解、两解、无解三种情况。 如图，在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。 【法一▪数形结合】a绕C点旋转，看所得轨迹与AB有无交点： 若无交点则B无解、 有一个交点则B有一解、 有两个交点则B有两解。 【法二▪代数法】∵AB边上的高为bsinA，（注意A为锐角） 当a<bsinA，则B无解、当bsinA<a≤b,则B有两解、 当a=bsinA或a>b时，B有一解 （5）求周长、面积等的最值或取值范围，常用方法：①转化为基本不等式；②通过三角变换将其转换为的形式，利用三角函数性质求解。 例题解析 例1、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，若，且该三角形有两解，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】∵三角形有两解， ∴由正弦定理得， 解得3<a<6 故选AB （若C大于A将只有一解，因为要保证C为锐角） 例2、在△ABC中，已知，求证： 【证明】由已知可得sin(B+C)sin(B-C)=sin(A+B)sin(A-B)① ∴①式可化简得 再化简得 由正弦定理得2b2=a2+c2 例3、【2005年普通高等学校招生考试数学（理）试题（天津卷）】在中，内角、、所对的边分别为、、，设、、满足条件和，求角和的值. 【答案】； 【解析】由余弦定理得， 由已知条件，应用正弦定理 . 跟踪练习 1、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b=2,A=30º，且该三角形有唯一解，则a的取值范围为（ ） 2、【2021全国高考数学I卷第19题▪利用平角和等于1800】记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知,点D在边AC上， （1） 证明：BD=b; （2） 若AD=2DC，求cos∠ABC 3、设的内角A，B，C的对边分别为，，且，，，则 __________. 4、设的内角A，B，C所对的边分别为，且. （1）求角A的大小； （2）若，求的周长的取值范围 5、【2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，bsinC＝csin，则角C＝　 　． 6、【2020年高考模拟试卷广东省实验中学高考（理科）数学模拟试卷】已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则△ABC面积的最大值为　　． 7、【2022新高考I卷第18题】记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知。 （1） 若，求B； （2） 求的最小值。 8、【2022年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷,文)第16题】已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当取得最小值时,BD=（ ）  7.5 解三角形（正余弦定理） 1、【答案】{1}∪[2,+∞) 【解析】∵b=2,A=30º，且该三角形有唯一解 ∴a=bsin30º或a>b 解得a=1或a>2 故答案为：{1}∪[2,+∞) 2、【答案】 【解析】（1）由条件知 又，则 （2）若AD=2DC，则 则 即① ② ①+②×2又（若α+β=180º，那么cosα+ cosβ=0） 则有 当t=3时，c=3a, 此时（舍） （三角形两边之和大于第三边） 3、【答案】1 【解析】∵， ∴由正弦定理可得. 又∵， ∴由余弦定理，可得， 解得或， 因，故. 故答案为：. 注：也可利用三角形角的关系，将化为，然后利用和差公式求解。 4、【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由及正弦定理，得. 又∵，∴， ∴. ∵，∴，∴.又∵，∴. （2）由正弦定理，得， . ∵，∴， ∴， ∴的周长的取值范围为 解法2：利用余弦定理及条件 变形 5、【答案】 【解析】由题意S， 所以即tanA＝1， 因为A为三角形性内角，故A， 又bsinC＝csincsin（）＝ccos 由正弦定理可得，sinBsinC＝sinCcos， 因为sinC≠0，所以sinB＝cos2sin， 所以sin，即B，C． 故答案为：． 6、【解析▪法一】由r＝1，利用正弦定理可得：c＝2rsinC＝2sinC，b＝2rsinB＝2sinB， 由得 ∴sinAcosB＝cosA（2sinC﹣sinB）＝2sinCcosA﹣sinBcosA， 即sinAcosB+cosAsinB＝sin（A+B）＝sinC＝2sinCcosA， ∵sinC≠0，∴cosA＝，即A＝， ∴， ∴bc＝b2+c2﹣a2＝b2+c2﹣（2rsinA）2＝b2+c2﹣3≥2bc﹣3， ∴bc≤3（当且仅当b＝c时，取等号）， ∴△ABC面积为S＝bcsinA， 则△ABC面积的最大值为：． 故答案为：． 【法二】提示：利用三角变换，由正弦定理，则 当取最大值。 7、【答案】（1）60º（2） 【解析】（1）由可得 即 亦即 ∴ 可得B为60º （2）由（1）知sinB = -cosC>0 ，则有 由正弦定理（化异角为同角） （化异名为同名） 当且仅当时等号成立，所以的最小值为 8、【答案】BD=-1 【解析】【法一】令BD=t,则t>0.如图,以D为坐标原点,DC所在直线为x轴建立平面直角坐标系.则C(2t,0),A(1,),B(-t,0),==4-≥4-2,当且仅当t+1=, 即BD=-1时,等号成立.此时,=-1. 【法二】设BD=t,则CD=2t,由余弦定理得===4-≥4-2,当且仅当t+1=,即BD=-1时,等号成立,此时,=-1. 学科网（北京）股份有限公司 $$