7.4 平面向量解题技巧——等和线-高考数学试题方法研究

7.4 平面向量解题技巧——等和线 方法归纳 平面向量解题技巧——等和线，三点共线问题的延伸。 如图直线a和b平行，则有△PAB∽ 设 根据三点共线原理有： ∴ 所以，若有，对于上的任意一点，它们对于基底OA，OB的系数和为k,其中k为三角形的相似比。 等和线解题方法图解： 若0<k<1,，则有λ+μ<1； 若k=1,，则有λ+μ=1； 若k=2,，则有； 若k=3,，则有； 例题详解 例1、两个单位平面向量的夹角为120º，如图，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若，（λ、μ∈R），则λ+μ的最大值是多少？ 【答案】2 【解析】连接AB，做AB的平行线，并与圆O相切，当C正好在切点时，λ+μ取最大值，因为此时点O到点C的距离正好是点O到线段AB距离的2倍，由等和线原理易知λ+μ的最大值是2。 例2、如图，在正六边形ABCDEF中，点P是△CDE内（包括边界）的一个动点，设（λ、μ∈R），则λ+μ的取值范围是（ ） 【答案】[3,4] 【解析】如图所示，连接BF，将直线平移至△CDE相交的最近点和最远点就是λ+μ的取值范围，∴≤λ+μ≤，易得λ+μ∈[3,4] 例3、如图，在边长为1的正方形ABCD中，延长CD至E，使得DE=2CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，，则λ-μ的取值范围是_________。 【答案】[0,2] 【解析】如图，作点E关于点A的对称点F，所以 当点P在点A时取最小值0；过点C作BF的平行线，交AB的延长线于点Q， 由DE=2CD，易证△DEA≌△QAF 可知当点P在点C时，λ-μ的取最大值=2 λ-μ的取值范围是[0,2]。 说明：当系数出现负数时，应该作反方向向量；如果该题不使用等和线，可建系设点求最值。 跟踪练习 1、如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2、在 中，点P 满足 ，过点P 的直线与AB，AC 所在直线分别交于点M ，N，若，则m+2n 的最小值为( ) A.3 B.4 C. D. 3、已知点P为 所在平面内一点，且 ，若点P落在的内部，则实数t的取值范围为( ) A. B. C. D. 4、 在扇形OAB 中， ，C为弧AB上的一个动点。若 ,则3x+y的取值范围是 。 5、如图，在直角梯形中，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6、如图所示，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为______． 7、如图所示，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且，则的取值范围是______；当时，的取值范围是______． 7.4 平面向量解题技巧——等和线 1、【答案】C 【解析】∵三点共线，可知，且， 由可得，∴， 由 可得：，∴ 2、【答案】A 【解析】如图，易知 。 ∵M、P、N三点共线， ∴ ， ， 当且仅当 ,即m=n=1 时等号成立。 3、【答案】D 【解析】因为点P 落在的内部，所以A、P 两点在直线BC的同一侧，可知， ,所以 。故选D。 4、【答案】[1,3] 【解析】如图，取点D 使得 ,作一系列与BD平行的直线与圆弧相交，易知：当点C与点A重合时，3x+y 取得最大值3，当点C位于直线BD上时（即点C与点B重合时），3x+y 取得最小值1，故3x+y 的取值范围是[1,3]。 5、【答案】C 【解析】由直角梯形可知依直角建立坐标系，则A(0,0),，直线，圆的半径 点A到直线BD的距离为 当点P位于BD上（即圆与BD的切点）时，取最小值 由等和线的结论可知，最大值为（平移直线BD，与圆C相切于上方时） 所以 6、【答案】6 【解析】如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE， 则． 在直角△OCD中，因为，∠COD=30°，∠OCD=90°， 所以，， 故，， 即， 所以. 法二：本题也可利用等和线的方法求解，连接AB,交AC于F点，利用平面几何的知识，可计算出OF=， 7、【答案】； 【解析】由题意得： 设 ＝. 由得 因为，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，知当时，有， 解得 学科网（北京）股份有限公司 $$