7.3 平面向量三点共线的证明及其结论的巧妙应用-高考数学试题方法研究

7.3 平面向量三点共线的证明及其结论的巧妙应用 向量共线定理 向量（≠）与共线，当且仅当有唯一一个实数，使=。设，，其中≠，则当且仅当时，向量、（≠）共线。 平面向量三点共线结论及其证明 如图，A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得；反过来，若，则A、B、C三点共线。 利用分析法：欲证，只需证 【证明】先证明充分性 ∵向量与向量共线，（很容易想到向量共线定理） ∴ 再证必要性： （平面向量共线定理） 当点C在线段AB上时，则与同向，有0≤λ≤1；当点C在线段AB延长线上时，则与反向，有λ<0；当点C在线段BA延长线上时，则与同向，有λ＞1．此例题逆命题亦成立，即反命题也成立。 备注：也可以写作 例题解析 例1、如图，直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且与对角线AC交于点K，其中，＝，＝，＝λ，则λ的值为______． 【答案】　 【解析】∵＝，＝， ∴＝，＝2. 由向量加法的平行四边形法则可知，＝＋， ∴＝λ＝λ(＋)＝ ＝λ＋2λ， ∵E，F，K三点共线，∴λ＋2λ＝1，∴λ＝. 例2、在△ABC中，∠BAC=60º，AB=3, AC=4，点M满足，则等于（ ）。 【答案】7 【解析】∵ 可推得 例3、点G是△OAB的重心，P、Q分别是OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线，设，证明：是定值。 【证明】∵点G是△OAB的重心 ∴ 由题 ∴ ∴ ∵P、G、Q三点共线 ∴即=3 【例4】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O。若，则的值是（ ） 【答案】 【解析】 设 ∵OCE三点共线 解得： ∴ 跟踪练习 1、已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1＝an+a（n∈N*，a为常数），若平面内的三个不共线的非零向量满足，A，B，C三点共线且该直线不过O点，则S2010等于（　　） A．1005 B．1006 C．2010 D．2012 2、（2020·自贡市田家炳中学高二开学考试）P是所在平面内一点，若，其中，则P点一定在（ ） A．内部 B．边所在直线上 C．边所在直线上 D．边所在直线上 3、设a，b，c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则b与a＋c是否共线？请证明你的结论. 4、如图，在△ABC中，D是AB的中点， 在边AC上，AE=3EC，CD与BE交于点O，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5、【2020·江苏·统考高考真题】在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________． 7.3 平面向量三点共线的证明及其结论的巧妙应用 1、【答案】A 【解析】由an+1＝an+a得，an+1﹣an＝a； ∴{an}为等差数列； 由，所以A，B，C三点共线； ∴a1005+a1006＝a1+a2010＝1， ∴S20102010＝1005． 故选：A． 2、【答案】B 【解析】根据题意，，点P在边所在直线上，故选B. 3、【解析】b与a＋c共线.证明如下： ∵a＋b与c共线， ∴存在唯一实数λ，使得a＋b＝λc.① ∵b＋c与a共线， ∴存在唯一实数μ，使得b＋c＝μa.② 由①－②得，a－c＝λc－μa. ∴(1＋μ)a＝(1＋λ)c. 又∵a与c不共线，∴1＋μ＝0,1＋λ＝0， ∴μ＝－1，λ＝－1，∴a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0. ∴a＋c＝－b. 故a＋c与b共线. 4、 【解析】 ∵O,B,E三点共线，∴ 解得 即 5、或0 【解析】∵三点共线， ∴可设， ∵， ∴，即， 若且，则三点共线， ∴，即， ∵，∴， ∵,,， ∴， 设，，则，. ∴根据余弦定理可得，， ∵， ∴，解得， ∴的长度为. 当时， ，重合，此时的长度为， 当时，，重合，此时，不合题意，舍去. 故答案为：0或. 学科网（北京）股份有限公司 $$