7.2 平面向量的五种解题策略-高考数学试题方法研究

7.2 平面向量的五种解题策略 方法归纳与例题解析 向量集数形于一体，是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，因此关于向量问题的解题方法自然也就多彩多样，解决向量问题时我们应该从多个维度去思考，哪种方法简单，就选择哪种方法。 （1）利用基本定义求解 平面向量数量积的定义：。由定义可知“模”和“夹角”是其中的关键因素。 例1、【利用基本定义求解】在中，，，.D是BC边上的动点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，∴ 又，可知 ∴ 化简可得 又，， ∴ 则即， 又在递增 所以 故故选：A 方法2：可设坐标 （2）利用基底求解 基底法就是指利用平面向量基本定理，将所求向量转化为已知的两个不共线向量来求解问题。注意：如果图形中有向量垂直或特殊角时，我们就以互相垂直的向量或特殊角的两边作为基底。利用基底求解需要应用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，向量减法的三角形法则。 例2、如图，在等腰直角△ABC中，斜边，且，点P是线段AD上任一点，则的取值范围是（　　） A．[0，4] B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意AB＝AC＝，， 设 = ∵0≤t≤1， ∴当时，取得最小值，当t＝1时，取得最大值4． 故选：B． 例3、如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，． （1）求CD的长；（2）求的值． 【解答】解：（1）∵ ∴， ∴ ∴（2）， ∴= （3）利用坐标或建立坐标系求解 利用坐标或建立坐标系求解就是建立适当的直角坐标系，将向量用坐标的形式表示出来，用函数与方程的思想求解。实际上，坐标法具有天然的优势，有时能轻松解决较为复杂的问题，特别是后面我们要学习的向量在立体几何中的应用。此方法需要选择恰当的原点、x轴、y轴建立适当的坐标系，因此一般用于比较规则的几何图形中，比如等腰三角形、梯形、正多边形等。 例4、已知向量，则当取最小值时，实数t＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设P（x，y）； 因为向量 可得（x，y﹣2）＝t（1，﹣2）； 故； ∴； 当t时取最小值．故选：C． 例5、在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________． 图1 图2 【答案】 【解析】【法1】如图1，因为＝，＝， ＝－＝－＝＝， ＝＋＝＋λ， ＝＋＋＝＋＋＝＋， ·＝(＋λ)· ＝2＋λ2＋ ＝×4＋λ＋×2×1×cos120°＝＋λ＋≥2＋＝. 当且仅当＝λ即λ＝时，·的最小值为. 【法2】如图2建立坐标系，则 由＝λ，＝DC，可得 所以 则·＝＋λ＋≥2＋＝，当且仅当λ＝时等号成立． （4）利用几何法求解 几何法就是把向量问题利用平面几何的思想和方法，转化为几何问题。这就需要我们对所学习的平面几何基本图形性质十分清楚。我们学习到的基本平面图形主要有三角形、四边形、圆、椭圆、双曲线、抛物线等。每种图形的基本定义、定理、性质甚至推论我们都要了如指掌，转化使用时才会得心应手。 例6、【2020·海南·统考高考真题】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 的模为2，根据正六边形的特征， 可以得到在方向上的投影的取值范围是， 结合向量数量积的定义式， 可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 所以的取值范围是， 故选：A. 例7、已知平面向量，满足，，若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 因为，所以，即，由余弦定理可得，如图，建立平面直角坐标系，则，由题设点在以为圆心，半径为的圆上运动，结合图形可知：点运动到点时，，应选答案D。 （5）利用代数法求解 所谓代数法就是将题目中的已知条件和所求结论，利用代数的方法，通过代数运算解决问题。比如我们学过的完全平方、基本不等式、函数解析式等，通过转化，，在这里都会有很巧妙的应用。 例8、设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a，b的夹角为(　　) A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】　B 【解析】　设向量a，b的夹角为θ，则|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cosθ，则cosθ＝－. 又θ∈[0°，180°]，所以θ＝120°. 例9、已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2，则|a+b|+|a-b|的最小值是（ ），最大值是（ ）。 【答案】4， 【解析▪法一】 而 即|a+b|+|a-b|≥4 最小值为4 又 ∴|a+b|+|a-b|的最大值是 【法二】由向量不等式得：|a+b|+|a-b|≥|(a+b)-(a-b)|=|2b|=4 又 ∴|a+b|+|a-b|的最大值是 跟踪练习 1、【利用代数法求解】（2022·全国·统考高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 2、 【2021全国高考数学I卷第10题】已知O为坐标原点，点 ，则 A. B. C. D. 3、【基本定义法】（2022·全国·统考高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 4、【建立坐标系】（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5、【基本定义法】（2020·全国·统考高考真题）已知向量 ，满足， ，，则（ ） A． B． C． D． 6、（2018·天津·高考真题）如图，在平面四边形ABCD中， 若点E为边CD上的动点，则的最小值为 A． B． C． D． 7、【利用基底和几何法求解】 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则等于(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 8、【利用基本定义求解▪多选】（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 9、【利用坐标求解▪多选】（2021·全国·统考高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 10、【2021·浙江·统考高考真题▪利用代数法求解】已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________. 7.2 平面向量五种解题策略 1、【答案】C 【解析】解：∵， 又∵ ∴9， ∴ 故选：C. 2、【答案】AC 【解析】A. B.故B错 C. 故正确 D.错误 故选AC 3、【答案】C 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：,,即,解得, 故选：C 4、【答案】D 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D 5、【答案】D 【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值. 【详解】，，，. ， 因此，. 故选：D. 6、【答案】A 【解析】连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设 = 所以当时，上式取最小值 ，选A. 7、【答案】B 【解析】如图所示，∵E是OD的中点，∴＝＝b. 又∵△ABE∽△FDE，∴＝＝. ∴＝3，∴＝， 在△AOE中，＝＋＝a＋b， ∴＝＝a＋b.故选B. 8、 【答案】ACD 【解析】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为， 代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确； 对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得， 设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误； 对于C，由抛物线定义知：，C正确； 对于D，，则为钝角， 又，则为钝角， 又，则，D正确. 故选：ACD. 9、【答案】AC 【解析】A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， 10、【答案】 【解析】由题意，设， 则，即， 又向量在方向上的投影分别为x，y，所以， 所以在方向上的投影， 即, 当且仅当，即时，等号成立 的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$