7.1 平面向量高考常考基本知识-高考数学试题方法研究

7 平面向量 7.1 平面向量高考常考基本知识 知识点归纳 （1）向量的基本运算 ①已知两点坐标求向量 A点坐标(x1,y1)，B点坐标(x2,y2)，则有 ②向量加减法：(x1,y1)±(x2,y2)=(x1±x2,y1±y2) ③向量数乘：k(x,y)=(kx,ky) ④向量点乘：(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2 ⑤向量的模： 与向量同向的单位向量： （2）向量平行与垂直 ①平行或共线 设向量a=(x1,y1)（a≠0）与b=(x2,y2) 向量共线的充要条件：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 向量共线或平行的充要条件的坐标表示：x1y2-x2y1=0 ②向量垂直的充要条件 a=(x1,y1)与b=(x2,y2)垂直的充要条件：a·b=0或x1x2+y1y2=0 （3）向量的投影及夹角θ ①向量夹角θ及其余弦值 向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2) 或 ②投影 向量在向量的方向上的投影： 或 例1、向量＝(－1,1)，且与＋2方向相同，则的取值范围是 (　　) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，1) 【答案】B 【解析】因为与＋2方向相同，可设＋2(t>0),（向量的数乘运算性质2：当>0时，的方向与的方向相同）所以， 因此，选B. 例2、（理）在直角坐标系x、y中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上，且||＝2，求的坐标为_____________________． 【答案】 【解析▪法一】由题意可设 所以， 因为||＝2，所以,即的坐标为. 【法二】设C（x,y）,然后利用夹角公式，即cosθ相等。 解得：y=3x（后面步骤略） 例3、已知，=3，=5，=7． （1）求与的夹角； （2）是否存在实数k，使与垂直？ 【答案】（1）（2）k= 【解析】（1）由，得，所以，即，则，所以=， 则==，∴； （2）由于（）·（）===0， 所以k=时，与垂直． 例4、设a＝(－1,1)，b＝(4,3)，c＝(5，－2)， (1)求a与b的夹角的余弦值； (2)求c在a方向上的投影； 【答案】（1）（2） 【解析】(1)∵a＝(－1,1)，b＝(4,3)， a·b＝－1×4＋1×3＝－1，|a|＝，|b|＝5， (2)∵a·c＝－1×5＋1×(－2)＝－7，∴c在a方向上的投影为 例5、已知是夹角为的两个单位向量，，. （1）求； （2）求与的夹角. 【答案】（1）5.5（2）900 【解析】（1）向量点积的运算规律可得到再展开根据向量点积公式得最终结果；（2）同第一问，由向量点积公式展开=0. ∵是夹角为的两个单位向量，∴， (1) (2) , , ∴， ∴与的夹角为 例6、已知，，且，则向量在向量的方向上的投影为__________． 【答案】 【解析】，，且 设，的夹角为，则 向量在向量的方向上的投影 例7、已知两个单位向量和夹角为，则向量在向量方向上的投影为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知：， ， 据此可得向量在向量方向上的投影为. 故选D 跟踪练习 1、【2019·全国·高考真题】已知非零向量满足，且，则与的夹角为 A． B． C． D． 2、【2019·全国·高考真题】已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则= A．-3 B．-2 C．2 D．3 3、【共线】设e1，e2是两个不共线的向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则k＝________. 4、已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是(　　) ①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e； ②存在相异实数λ，μ，使＝0； ③＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)； ④已知梯形ABCD，其中 A．①②　　　　　　B．①③ C．② D．③④ 5、【夹角▪2022·天津·统考高考真题】在中，，D是AC中点，，试用表示为___________，若，则的最大值为____________ 6、【平行▪2020·山东·统考高考真题】已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示. （1）求抛物线的标准方程； （2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程 7.1 平面向量高考常考基本知识 1、【答案】B 【解析】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B． 2、【答案】C 【解析】由，，得，则，．故选C． 3、【答案】－4 【解析】∵ke1＋2e2与8e1＋ke2共线， ∴ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2. ∴解得或 ∵ke1＋2e2与8e1＋ke2反向，∴λ＝－，k＝－4. 4、【答案】A　 【解析】由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故①可以；λa－μb＝0，λa＝μb，故②可以；x＝y＝0，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故③不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故④不可以． 5、        【详解】方法一： ，， ，当且仅当时取等号，而，所以． 故答案为：；． 方法二：如图所示，建立坐标系： ，， ，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时． 故答案为：；． 6、（1）；（2）. 【解析】解：（1）由椭圆可知，， 所以，，则， 因为抛物线的焦点为，可设抛物线方程为， 所以，即. 所以抛物线的标准方程为. （2）由椭圆可知，， 若直线无斜率，则其方程为，经检验，不符合要求. 所以直线的斜率存在，设为，直线过点， 则直线的方程为， 设点，， 联立方程组， 消去，得.① 因为直线与抛物线有两个交点， 所以，即， 解得，且. 由①可知， 所以， 则， 因为，且， 所以， 解得或， 因为，且， 所以不符合题意，舍去， 所以直线的方程为， 即. 学科网（北京）股份有限公司 $$