6.1 五种必须掌握的三角变换方法-高考数学试题方法研究

6 三角函数 6.1 五种必须掌握的三角变换方法 方法归纳 记忆口诀：“角名形幂常”。“角”角的变换，“名”函数名称变换，“形”公式及其变形，“幂”幂的变换，“常”常数代换。 （1）公式及其变形：三角公式是变换的依据，切记熟练掌握。我们高中阶段学到和必须掌握的三角公式有：三角函数的基本关系，诱导公式，两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角的正弦、余弦和正切公式，万能公式，半角公式，积化和差，和差化积。做题时，我们必须灵活变通对这些公式的顺用和逆用。 比如： ； 等等。 （2）角的变换 我们知道角与角之间的关系包括：和差，倍半，互补，互余，巧妙的运用这些关系，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解： ①普通角的和与差：计算求值时观察各具体角之间的关系 ②特殊角和差：15º=45º-30º=60º-45º =30º/2 ③倍半：2α是α的二倍；4α是2α的二倍；α是α/2的二倍； α/2是α/4的二倍； ④利用诱导公式（互余、互补） 互余：; 互补：； ⑤拼凑变换： ， （3）函数名称变换：三角变换时，常常需要化异名函数为同名函数。正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。 （4）常数代换：在三角变换时，有时如果我们把常数转化为三角函数值，代入到原式中，会达到意想不到的简化效果。 常用的常数“1”的代换变形有： （5）幂的变换：对次数较高的三角函数式，一般要降幂处理，以达到化简的目的。常用降幂公式有：2sinαcosα=sin2α ；。当然，降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：；；； .... 由以上可见，升幂降幂公式主要是倍角公式的正用和反用。 例1、【公式及其变形】tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35° 【答案】 【解析】由tan(25°＋35°)＝＝， 可得tan 25°＋tan 35°＝(1－tan 25°tan 35°)， 即tan 25°＋tan 35°＋tan 25°·tan 35°＝. 例2、【公式及其变形】已知，且为第二象限角. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）∵sinα=，且α为第二象限角，∴cos， ∴sin2α=2sinαcosα=； （2）由（1）知tan，∴tan（α+）=． 例3、【角的变换】已知，则sin 2x等于(　　) A. B. C．－ D．－ 【答案】C 【解析】因为 （互余变换或诱导公式） ＝ （倍半变换） 所以sin 2x＝2×－1＝－1＝－. 例4、【角的变换】已知 求：(1)cos ；(2)tan(α＋β)． 【答案】（1）－（2） 【解析】(1)∵<α<π，0<β<，∴<α－<π，－<－β<， ∴ ∴cos ＝ （拼凑变换） ＝ ＝×＋×＝－. (2)∵<<π， ∴sin ＝＝. ∴tan ＝＝－， ∴tan(α＋β)＝＝. 例5、【函数名称变换】 设且则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知得，，（化切为弦） 去分母得，，所以 ，（变异名为同名） 又因为， ，所以， 即，选 例6、【常数代换】求函数的最小正周期，最大值和最小值。 【答案】最大值是3/4，最小值1/4 【解析】 （常数变换） 所以函数f(x)的最小正周期是π，最大值是3/4，最小值1/4 例7、【幂的变换】已知函数f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x(x∈R)． (1)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)若关于x的方程f(x)－t＝1在内有两个不相等实数解，求实数t的取值范围． 【答案】（1）[0，π]（2）[1,2) 【解析】(1)f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x ＝cos 2x＋sin 2x＋1＝ （利用降幂公式降幂） ＝ 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)． 因为x∈[0，π]， 所以f(x)的单调递增区间为 (2)依题意，得 所以，即函数y＝t与的图象在内有两个交点． 因为x∈，所以2x＋∈. 当2x＋∈时， 当2x＋∈时， 由函数y＝t与的图象(图略)， 得1≤t<2，所以实数t的取值范围是[1,2)． 跟踪练习 1、【公式法及化切为弦】已知，，则（ ） A． B． C． D． 2、【角的变换】（高考真题▪2020•新课标Ⅲ）已知sinθ+sin（θ）＝1，则sin（θ）＝（　　） A． B． C． D． 3、【换元法或函数名称变换】已知，求．结合题目的解答过程总结三角函数求值（化简）最应该注意什么问题？ 4、已知，并且，，求的值. 5、【角的变换▪倍半】（2020·广东省高一月考）已知函数. （1）求的最小正周期； （2）若，求的值. 6、【常数代换法】（高考真题▪2020•浙江）已知tanθ＝2，则cos2θ＝　 　，tan（θ）＝　 　． 7、【幂的变换▪分离变量法】（2020·安徽省六安一中高一期末（理））已知函数，其中. （1）求使得的的取值范围； （2）若函数，且对任意的，当时，均有成立，求正实数的最大值. （说明：分离变量法，在导数双变量问题中有重要应用，即将变量分离到不等式两边后结构相同，则可将相同的结构构造一个函数，然后通过函数的单调性来证明不等式。） 8、 【2023新高考I卷第8题】已知,则 A. B. C. D. 6 三角函数 6.1 五种必须掌握的三角变换方法 1、【答案】C 【解析】因为，即，所以， 因为，即，解得，因为， 所以.故选：C 2、【答案】B 【解析】法一： 令 即 法二：∵sinθ+sin（）＝1，∴sinθsinθcosθ＝1， 即sinθcosθ＝1，得（cosθsinθ）＝1， 即sin（）＝1，得sin（）故选：B． 3、 【答案】 【解析】令，则 .解题中应注意角与角之间的关系. 或由可知 得： 4、【答案】，或， 【解析】 平方相加得 因为，所以 当时， 当时， 因此，或， 5、【答案】（1）（2） 【解析】（1） ， ∴. （2）∵，，， ∴. 6、【答案】； 【解析】tanθ＝2， 则cos2θ． tan（θ）．故答案为：；． 7、【答案】见解析 【解析】（1）由题意得， 令，得 即，故的取值范围为 （2）由题意得， 令 即故在区间上为增函数 由，得出，， 则函数包含原点的单调递增区间为即 故正实数的最大值为. 8、【答案】B 【解析】 ∵ 故选B 学科网（北京）股份有限公司 $$