5.2 常数代换法证明不等式和求（最）值-高考数学试题方法研究

5.2 常数代换法证明不等式和求（最）值 表现形式 题目中已知，求的形式或已知，求的形式； 此外高中常用但题目中不会告知的常数表现形式，还有 三角函数：； 平面向量三点共线：（A、B、C三点共线，P为直线外一点）。 方法归纳 常数代换 顾名思义，就是将与常数等价的表达式代入到不等式或所求表达式中，然后化简证明或求解不等式。解题步骤一般如下： ①观察是否满足已知条件是“和式”，所求表达式也是“和式”，两和式满足一整式，一分式（或可化为分式），两“和式”均为齐次式或可转为齐次式； ②将条件式“=”右边转化为常数“1”，“=”左边转化后留用； ③利用原理任何数乘以1还等于其本身及基本不等式证明或求解不等式。 注意：非齐次式使用部分代换或者不能使用常数代换，见例题或跟踪练习。 例题解析 （1）直接“1”代换：条件为整式，所求式为分式，条件表达式一边已经是“1”的形式 例1、若两个正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C． D． 【答案】D 【解析】正实数，满足， ， 当且仅当即且时取最小值8， 恒成立，， 解关于的不等式可得，故选：． （2）变式代换：条件为整式，所求式为分式，需要将条件等式的一边化为“1”的形式 例2、已知正实数x，y满足． （1）求xy的最大值； （2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）10（2） （1），解得， 当且仅当，取等号， ∴最大值为10． （2）， 当且仅当，取等号， ∴，解得． （3）拼凑代换：条件为整式，所求式为分式，以分式分母为标准变换条件表达式 例3、已知正实数，满足，求的最小值. 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以， ， 所以， 当且仅当且即时，等号成立，所以的最小值为. （4）隐式代换：常数“1”在解题过程中转化才能得到 例4、在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若，（λ＞0，μ＞0），则λ+μ的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵△ABC中，， 点P满足， ∵（λ＞0，μ＞0）， 因为B，P，C三点共线，所以，λ＞0，μ＞0 ∴λ+μ＝（λ+μ）＝1+≥ 当且仅当μ=λ时取“＝”，则λ+μ的最小值为 故选：B． （5）部分代换 :非齐次式使用部分代换 例5、【2020天津高考真题】已知a>0,b>0，且ab=1,则的最小值为————。 【答案】4 【解析】（a>0,b>0，知a+b>0） 当且仅当时取等号 跟踪练习 1、正实数a,b满足a+2b=2，则的最小值为（ ） 2、已知正数满足，则的最小值为（ ） A．5 B． C． D．2 3、已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 4、 【非齐次不能代换▪2019天津高考真题（文）】设x>0,y>0.x+2y=4，则的最小值为_______。 5、【部分代换▪2013天津高考真题（文）】设a+b=2,b>0，则的最小值为________。 6、若 tan α＝3，则 sin2 α－2 sin αcos α＋3 cos2 α＝______. 5.2 常数代换法证明不等式和求（最）值 1、【答案】 【解析】由a+2b=2可得 ∴ 当且仅当取等号。 2、【答案】C 【解析∵正数满足， ∴，（以所求表达式分母为标准进行拆分） ∴ 当且仅当即，时，等号成立， 即的最小值为，故选C. 3、 【答案】C 【解析】由已知可得， 当且仅当＝时等号成立，所以9m≤54，即m≤6，故选C. 4、 【答案】 【解析】化简，发现所求表达式不是齐次式，因而不能用常数代换法， 故 当且仅当x=2y=2时取等号，故答案为 5、 【答案】0.75 【解析】 （由题可知|a|>0,b>0） 当a为负数时，取得最小值 6、【答案】 【解析】sin2 α－2 sin αcos α＋3 cos2 α ＝ ＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$