5.1 换元法-高考数学试题方法研究

5 专题方法 5.1 换元法 方法归纳 换元法就是将复杂的多项式中某些部分看为一个整体，并用一个新字母代替，使其变为易解的新多项式。换元的目的是：利用换元法，将复杂函数转化成我们所熟悉的一次函数、一元二次函数、对勾函数、指对数函数、幂函数等函数形式，然后利用这些函数的图像、单调性、增减性、周期性、对称性等解题。其中转化成一元二次函数的形式最为常见。 具体方法与例题解析 （1）根式代换：一般是指将根式部分通过换元，使原函数表达式转化为我们所熟悉的一元二次方程形式。 例1、已知函数f（x）的值域为，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则f（x）， f（x）∈， ∴2≥t． 则， 函数g（t）的对称轴t＝1， 当t＝1时，g（t）取得最大值为1， 当t＝2时，g（t）取得最小值为， ∴函数的值域是[，1] 故选：B． （2）三角代换：三角代换分为两种情况：①用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，转化的过程要注意定义域的取值问题；②逆向三角代换：是指将三角问题，通过换元法转化成我们所熟悉的一元二次方程的问题。 例2、已知x,y∈,且 求证：xy≧64 【证明】由条件设， 则， （3）均值代换 例3、若x+y+z=a,且x,y,z∈R 求证： 【证明】设 则有= = （4）部分代换：将函数或不等式的一部分经过代换变成容易求解或画图的二次函数或不等式 例4、不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】令，则， 所以不等式对于任意恒成立， 即，设，显然在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增，又，而当，，所以. （5）整体代换：将所求表达式整体换元 例5、设实数对（x,y）,满足，求的最大值 【答案】 【解析】令=k，则 y=k(x-4)+1 将上式代入中，整理可得 因为x∈R,所以 解得： （6）和差代换 例6、求的值 【答案】 【解析】设=a+b,=a-b，则 == == 故原式= = == （7）增量代换 例7、已知a>2,b>2,求证：a+b<ab 【证明】设a=2+t,b=2+m,(m,t∈) 那么a+b-ab = 2+t+2+m-(2+t)(2+m) = 4+t+m-4 -2t-2m-mt = -(m+t+mt)<0 方法2：（a-2）*（b-2）>0 （8）拼凑代换 例8、设f(cosx) = cos2005x 求证：f(sinx)=sin2005x 【证明】f(sinx)=f(cos(-x)) =cos2005(-x) =cos[1002+(-2005x)] =cos(-2005x)=sin2005x （9）常数代换 例9、若两个正实数x,y满足，且 恒成立，则实数m的最大值是 ______. 【答案】8 【解析】由题意可得： 当且仅当时等号成立。 要使恒成立,则，解得−2⩽m⩽8， 则实数m的最大值是8. （10）指数、对数代换 一般将指数、对数函数通过换元法转换成我们说熟悉的一元二次方程。 例10、设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)的定义域为[，4]． 求y＝f(x)的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x的值． 【答案】见解析 【解析】设t＝log2x ∵≤x≤4，∴－2≤log2x≤2， ∴－2≤t≤2. ∴t的取值范围是[－2,2]． 则有y＝f(x)＝log2(4x)·log2(2x)＝(2＋log2x)(1＋log2x)， 由(1)知t＝log2x，t∈[－2,2]， ∴y＝(t＋2)(t＋1)＝t2＋3t＋2＝(t＋)2－. 当t＝－，即log2x＝－，x＝时，ymin＝－， 当t＝2，即log2x＝2，x＝4时，ymax＝12. （11）换元法解复合函数（可归类到部分代换） 例11、已知函数，则函数的所有零点所构成的集合为________. 【答案】 【解析】 令，由，即或，解得或， 当时，解得或；当由，解得， 即函数的所有零点所构成的集合为. 故答案为：. 跟踪练习 1、已知函数则（ ） A．对任意实数，方程无解 B．存在实数，方程有2个根 C．存在实数，方程有3个根 D．对任意实数，方程有1个根 2、已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数解，且最小实数解为，则的值为______． 3、若函数f(x)满足f(logax)＝·(x－)(其中a＞0且a≠1). (1)求函数f(x)的解析式，并判断其奇偶性和单调性； (2)当x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值恒为负数，求a的取值范围． 4、【对数代换】已知m，n∈(1，＋∞)，且m>n，若logmn2＋lognm6＝13，则函数f(x)＝的大致图象为(　　) 5、已知关于的方程有实数解，求实数的取值范围． 6、【三角代换】（高考真题▪2019•新课标Ⅰ）函数f（x）＝sin（2x）﹣3cosx的最小值为　 　． 7、已知函数，存在实数，使得，则实数的取值范围是 . 5.1 换元法 1、【答案】B 【解析】 由题意，函数，作出函数的图象，如图所示: 设，则方程，即为， 结合图象，可得 ①当时，此时方程有两个根，其中， 此时方程有1个根或2个根； ②当时，此时方程有两个根， 此时方程没有实数根； ③当时，此时方程只有一个根，其中， 此时方程没有实数根； ④当时，此时方程没有实数根，此时方程没有实数根. 综合可得，存在实数，方程有2个根. 故选：B. 2、【答案】 【解析】 由题意，作出函数图象，如图所示： 令，根据图象可知， 关于x的方程有6个不同的实数解， 可转化为关于t的方程有2个不同的实数解， 且必有一个解为0，另一个解大于0，所以． 则，解为，． 所以，即． 所以． 故答案为：． 3、【答案】（1）见解析．（2）[2－，1)∪(1,2＋]． 【解析】 (1)令logax＝t(t∈R)，则x＝at， ∴f(t)＝ (at－a－t)． ∴f(x)＝ (ax－a－x)(x∈R)． ∵f(－x)＝ (a－x－ax)＝－ (ax－a－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数． 当a＞1时，y＝ax为增函数，y＝－a－x为增函数，且＞0， ∴f(x)为增函数． 当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，y＝－a－x为减函数，且＜0， ∴f(x)为增函数．∴f(x)在R上为增函数． (2)∵f(x)是R上的增函数，∴y＝f(x)－4也是R上的增函数． 由x＜2，得f(x)＜f(2)，要使f(x)－4在(－∞，2)上恒为负数， 只需f(2)－4≤0，即 (a2－a－2)≤4. ∴∴a2＋1≤4a，∴a2－4a＋1≤0， ∴2－≤a≤2＋.又a≠1， ∴a的取值范围为[2－，1)∪(1,2＋]． 4、【答案】A 【解析】由题意，令t＝logmn，则2t＋＝13，解得t＝或t＝6(舍去)， 所以n＝，即＝1，所以f(x)＝的大致图象为A中的图象． 5、【答案】 【解析】由，得，即． 令（），则关于的方程在区间上有实数解． 则，因为 故实数的取值范围是． 6、【答案】﹣4 【解析】∵f（x）＝sin（2x）﹣3cosx，＝﹣cos2x﹣3cosx＝﹣2cos2x﹣3cosx+1， 令t＝cosx，则﹣1≤t≤1，令g（t）＝﹣2t2﹣3t+1的开口向下，对称轴t，在[﹣1，1]上先增后减，故当t＝1即cosx＝1时，函数有最小值﹣4．故答案为：﹣4 7、【答案】：. 【解析】：由 ，可得有解，即 令，则原式可化为在有解。即，函数在单调递增，可得。 学科网（北京）股份有限公司 $$