4.1 指对数、幂函数比较大小-高考数学试题方法研究

4 指对数、幂函数 4.1 指对数、幂函数比较大小 方法归纳 （1）中间值法或1/0比较法 比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小． 因为指数函数过定点（0,1），对数函数过定点（1,0），幂函数过定点（1,1），所以在比较大小时常以0或1作为分界点进行比较。 指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0. （2）单调性法 当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较． （3）特殊值法 如果题目中给出了很多参数进行大小比较，我们也可以利用特殊值法来比较大小； （4）构造函数法 方法1、2、3是最基本的方法，然而近些年来有些高考题中指对数函数比较大小的难度明显加大，需要我们根据其特征通过两两做差等方法构造函数，然后求导，利用函数的单调性求解。 此外，我们还需用到不等式证明方法和技巧中的做差法、放缩法等。（注意：放缩法在对数运算中经常是将真数放缩为其底数的n次方） 例题解析 例1、【中间值法或1/0比较法】设a＝log2π，，c＝π－2，则(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>b>a 【答案】C 【解析】∵a＝log2π>log22＝1，<log21＝0，0<c＝π－2<1， ∴a>c>b 答案选C 例2、【中间值法或1/0比较法】,那么（ ） （A）a<b<c （B）a<c<b （C）b<a<c （D）C<a<b 【答案】C 【解析】c>1，b<0，0<a<1 故选C 例3、【单调性法】若0<x<y<1，则(　　) A．3y<3x B．logx3<logy3 C．log4x<log4y D． 【答案】C 【解析】　因为0<x<y<1，则 对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误． 对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0<a<1时，在x∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0<x<y<1，所以logx3>logy3，B错误． 对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x<log4y，C正确． 对于D，函数y＝在R上单调递减，故，D错误． 例4、【单调性法】已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意：， 且：，据此：， 结合函数的单调性有：， 即.本题选择C选项. 例5、【单调性法】设是定义在实数集 上的函数，满足条件 ，且当 时， ，则 ， 的大小关系是（   ） A. a>b>c  B.a>c>b   C. b>a>c   D. c>b>a 【答案】B 【解析】∵ ，∴函数的图象关于对称， 又∵当时，，函数在 时单调递减， ∴函数在 上单调递增， ∴ ， 又∵ 即 ， ∴ ，即 a>c>b 故答案为：B. 例6、【特殊值法】已知a>b>1，0<c<1，则 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】不妨令a=4,b=2,c=0.5 （注意：选特殊值时，以方便计算为原则） 选项A略； 选项B：有 选项C：有，正确 选项D：，错误。 故选C 例7、【特殊值法】设x，y，z为正数，且，则2x，3y，5z的大小关系是？ 【答案】3y<2x<5z 【解析】不妨设x=1，则； 由指数对数函数的关系可得： ∴ ∴3y<2x<5z 【构造函数法/导数法】 例8、【特殊值法▪2022全国新高考Ⅰ卷第7题】设 ，则 A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 【答案】C 【解析】令 （技巧：指数函数与分式比较大小，一般先转化为自然对数） ① ∴,∴lna-lnb≤0,∴b>a ②, 令 ∴a-c>0,∴a>c 例9、【2021全国高考数学I卷第7题】若过点(a,b)，可以作曲线的两条切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】切线斜率为，即曲线在R上为增函数，直接观察图像，只有点(a,b)在图像下方，且b大于0时,有两条切线，且切线斜率大于0。 跟踪练习 1、设，，，则（       ） A． B． C． D． 2、已知，则下列不等式不成立的是 ( ) A． B． C． D． 3、若，，，则a，b，c的大小关系为（       ） A． B． C． D． 4、【高考真题】已知，，,则 ( ) A.　　 B. C.　 　 D. 5、【高考真题】设，，，则 ( ) A. B. C. D. 6、已知幂函数的图象经过点与点，，，，则（       ） A． B． C． D． 7、【2017年新课标全国卷I11】设、、为正数，且，则 ( ) A. B. C. D. 8、【2016年新课标全国卷I8▪特殊值法】若，，则 ( ) A. B. C. D. 9、【高考真题▪特殊值法】已知，令，，，则 ( ) A. B. C. D. 10、【特殊值法或作商法】已知正实数x，y，z满足． （1）求证：； （2）比较的大小． 11、 已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值． 12、【2020年全国高考数学I卷第12题▪构造函数法▪函数单调性】若，则 A.a>2b B.a<2b C. a>b2 D. a<b2 13、【高考真题▪中间值法▪变换放缩对数】设a＝log32，b＝log53，c，则（　　） A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 14、【高考真题▪中间值法】已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 15、【放缩法】若，，则（ ） A． B． C． D． 4、指对数、幂函数比较大小 1、【解析】结合指数函数性质和对数函数性质可知，， ，∴，故选：A. 2、【解析】：取，，，选项A：，成立。选项B：，不成立。选项C：，，，成立。选项D：，，，成立，选B。 3、【解析】，，，所以，所以 故选：A 4、【解析】：，，，，选C。 5、【解析】：，，，选D。 6、【解析】设幂函数，因为点在的图象上， 所以，，即，又点在的图象上，所以，则， 所以，，，所以，故选：B 7、【解析】：设，则，，， ，同理：，转化为比较的大小，仿照上题的两种解法，选D。 8、【解析】：A选项：构造幂函数，为增函数; B选项：构造幂函数，为减函数，, ，即; D选项：构造函数，为减函数，即; C选项:, ，由乘法单调性可知，选C。 特殊值法：令，选C。 9、【解析】：，，选D。 特殊值法：令，，，，，选D。 10、【解析】（1）证明：令， 利用指数式和对数式的互化知，， 则，， ∴. （2），证明：因为正实数x，y，z，， 又，， 又，，，∴． 11、【解析】①若a>1，则f(x)是增函数， ∴f(x)在[1，2]上的最大值为f(2)，最小值为f(1)， ∴f(2)－f(1)＝， 即a2－a＝， 解得a＝. ②若0<a<1，则f(x)是减函数， ∴f(x)在[1，2]上的最大值为f(1)，最小值为f(2)， ∴f(1)－f(2)＝，即a－a2＝， 解得a＝. 综上所述，a＝或a＝. 12、 【答案】B 【解析】 而 设 在R内单调递增，在内单调递增 在内单调递增 即a<2b 故选B 13、【答案】A 【解析】此题为对数与常数大小的比较，解题方法是选择常数作为中间值，寻找对数与常数的关系； ∵a＝log32，（∵底数为3，平方得9；联想8是2的立方，8<9） b＝log53，（∵底数为5，平方得25；联想27是3的立方，27>25） c，∴a＜c＜b．故选：A． 14、【答案】A 【解析】由题意，可知：a＝log52＜1， b＝log0.50.2log25＞log24＝2．c＝0.50.2＜1， ∴b最大，a、c都小于1． ∵a＝log52，c＝0.50.2． 而log25＞log24＝2，∴．∴a＜c，∴a＜c＜b．故选：A． 法二： 15、【答案】ACD 【解析】由，，得，，则 ，， ， 故正确的有：故选：. 学科网（北京）股份有限公司 $$