3.6 中值模型：巧用奇偶性解决复杂函数问题-高考数学试题方法研究

3.6 中值模型：巧用奇偶性解决复杂函数问题 方法归纳 所谓复杂函数是由一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数或者三角函数等其中两个或数个构成。解题时我们可以将其拆分为若干部分，然后再研究每一部分的奇偶性、对称性和单调性，问题便迎刃而解。对于这种函数我们有以下结论： （1） 原理 若f(x) 为奇函数，则有f(x0) + f(-x0) = 0，特别地有f(x)max + f(-x)min =0； （2） 奇函数+常数 对于函数f(x)，如果我们可以拆成f(x) = 奇函数+a(a为常数)的形式，则必有f(x0) + f(-x0) = 2a，特别地有f(x)max + f(-x)min = 2a； （3）中心对称函数+常数 一般地，若g(x)=f(x-a)+b，则有gmax+gmin=2b，也就是说函数g(x)是由奇函数f(x)平移得来。 （4）牢记高考中常见的奇函数 ，，，，。 例题解析 例1、【奇函数+常数】若关于x的函数的最大值为M，最小值为N，且M+N=4，则实数t的值为（ ）。 【答案】2 【解析】 即有 令，容易看出g(x)为奇函数 设g(x)最大值为S，最小值为s，有S+s=0； ∴M+N =（S+t）+(s+t)=4 即有2t = 4，解得t=2。 例2、【奇函数+常数】函数的最大值为M，最小值为N，则M+N=（ ） 【答案】2 【解析】 设，易证g(x)为奇函数 有 ∴M+N=1+1+0=2 例3、【中心对称函数+常数】已知函数在[-1,3]上的最大值M，最小值m，则M+m的值为多少？ 【答案】4 【解析】 令 易知g(x)为奇函数，关于原点对称 那么f(x)为g(x)向右平移1个单位，向上平移2个单位得到的函数 ∴f(x)关于点(1,2)对称 ∴M+m=4 跟踪练习 1、已知函数为一次函数，若，有，当时，函数的最大值与最小值之和是（ ） A．10 B．8 C．7 D．6 2、已知函数，，则________． 3、已知函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）。 4、已知函数，若对任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）。 5、已知函数在[0,2]上的最大值M，最小值m，则M+m值为多少？ 6、已知函数在[-1,3]上的最大值M，最小值m，则M+m的值为多少？ 7、【2018全国新课标III文】已知函数，若f(a)=4，则f(-a)=______ 3.6 中值模型：巧用奇偶性解决复杂函数问题 1、【答案】D 【解析】 由题意，设一次函数， 因为，可得，解得， 所以，故的图象关于对称， 又设，可得函数为单调递增函数， 且， 即，所以是奇函数，则， 则，， 所以 即为的最大值与最小值之和6. 故选：D. 2、【答案】 【解析】 因为 ∴，且，则 故答案为-2 3、【答案】a∈[0,4) 【解析】∵ ∴f(x)为奇函数，定义域为R，且在R单调递增。 若不等式恒成立 则不等式恒成立 当a=0时，1>0恒成立， 当a≠0时，只需a>0且 解得0<a<4 即a∈[0,4) 4、【答案】a∈(0,1) 【解析】设，则 ∴ ∴为奇函数 ∴，有 由得， 得 又 ∴g(x)在R上为增函数，∴f(x)在R上也为增函数 ∴由，得恒成立，即恒成立， 即，解得0<a<1，即a∈(0,1) 5、【答案】2 【解析】 可知函数f(x)关于点（1，-1）对称 ∴M+m=-2 6、【答案】4 【解析】 ∴f(x)关于点(1,2)对称 ∴M+m=4 7、【答案】-2 【解析】设，则 即g(x)为奇函数 而f(a)=4 解得f(-a)=-2 学科网（北京）股份有限公司 $$