3.5 函数的对称性与周期性常用结论-高考数学试题方法研究

3.5 函数的对称性与周期性常用结论 方法归纳 （1）函数的对称性，根据曲线在直角坐标系的平移规律：左加右减，下加上减。 ① 若为奇函数，那么关于(t,0)对称； ② 若为偶函数，那么关于x=t对称； 若为偶函数，那么关于x=-t对称 即为向左平移t个单位 ③ 若是偶函数，那么关于对称，关于x=t对称； （2）函数周期性常用结论或方法 ①利用周期性定义解题 若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期，如例2 ②利用轮换代换求出函数周期 对于一些抽象函数我们要根据条件，通过轮换代换求出其周期，如例3 例题解析 例1、已知定义域为的函数在单调递增，且为偶函数，若，则不等式的解集为（ ） 【答案】： A 【解析】由题意，关于对称，又在单调递增，，若，则，即. 例2、（2020·江苏海安高级中学高二期末）关于函数，如下结论中正确的是（ ）． A．函数的周期是 B．函数的值域是 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上递增 【答案】ACD 【解析】A．∵， ， ∴是周期为的周期函数，A正确， B．当时，，此时，，∴，又的周期是，∴时，值域是，B错； C．∵ ， ∴函数的图象关于直线对称，C正确； D． 由B知时，，当时，，单调递增，而是周期为的周期函数，因此在上的图象可以看作是在上的图象向右平移单位得到的，因此仍然递增．D正确．故选：ACD． 例3、【2022年辽宁高考数学第8题】若函数f(x)的定义域为R，且，则 A. -3 B. -2 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】令y=1得 故 消去和得到，故周期为6 令得 故 故选A 跟踪练习 1、（2022·吉林省长春市高三质量监测）设函数f(x)的定义域为R，且f(2x－1)是偶函数，f(x＋1)是奇函数，则下列说法一定正确的有(　　) ①f(x－8)＝f(x)；②f(1＋x)＝－f(1－x)；③f(－3)＝0；④f(2＋x)＝f(2－x) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2、已知是定义域为的偶函数，且，若时，，则（ ） 3、【2021·新高考全国Ⅱ卷·8】已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)是偶函数,f(2x+1)是奇函数,则 (　 ) A.f=0 B.f(-1)=0 C.f(2)=0 D.f(4)=0 4、（2020·山东文登 高一期末）已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，若，则( ) A． B． C． D． 3.5 函数对称性与周期性常用结论 1、【答案】B 【解析】由f(x＋1)是奇函数可知，f(x)的图像关于点(1,0)对称， ∴f(1＋x)+f(1－x) = 0 ∴②正确，令x=0，则有f(1) = 0 ∵f(2x－1)是偶函数 ∴f(2x)的图像关于对称， ∴f(x)的图像关于对称，则有f(-1-x) = f(-1+x) 令x=2，则有f(－3)＝f(1)=0∴③正确 由f(-1-x) = f(-1+x)，将x用x-7替换，得f(6-x) = f(x-8) 由f(1＋x)＝－f(1－x)，将x用x-5替换，得f(6-x) =- f(x-4) ∴f(x-8) = - f(x-4)，将x用x+4替换，得f(x-4) = - f(x) ∴f(x-8) =f(x) ∴①正确 （事实上，如果直接利用函数f(x)关于某点（a,m）成中心对称,关于直线x=b成轴对称，那么f(x)是周期函数，周期是4|a-b|的结论，可知函数的周期为8，①正确） 对于④f(2＋x)＝f(2－x)无法判断其正确性。 2、【答案】： A 【解析】由题意，， 令t=x-1,则x=t+1,f(x-1)=f(t)=-f(t+2) ① 那么f(t+2)=-f(t+2+2)=-f(t+4)② 把②代入①得，f(t)=f(t+4)，所以 则，，. （事实上，由知，关于点(1,0)对称，又是定义域为的偶函数，所以周期为T = 4|1-0|=4） 3、【答案】B　 【解析】 【解法一】常规方法推导.∵f(x+2)是偶函数,∴f(-x+2)=f(x+2). 即f(x)关于x=2对称,∵f(2x+1)是奇函数,∴f(-2x+1)=-f(2x+1)，所以 f(-x+1)=-f(x+1)，即函数 f(x)关于点(1,0)对称，即f(1)=0 ∴f(x)是周期为4的函数 由F(x)=f(2x+1)是奇函数,可得F(0)=f(1)=0,∴f(-1)=f(3)=f(1)=0, 其他几个选项不一定成立,故选B. 【解法二】特殊函数秒杀.由f(x+2)是偶函数,f(2x+1)是奇函数,可取f(x)=cos,可得f(-1)=0,其他几个选项均不成立,故选B. 4、【答案】AD 【解析】∵是定义在上的奇函数，且为偶函数， 故可得， 则 故选项正确； （此处也可利用双对称结论推出周期为4） 由上述推导可知，故错误； 又∵，故选项正确. 又∵，故错误. 故选：AD. 学科网（北京）股份有限公司 $$