3.4 函数（单双）对称性-高考数学试题方法研究

3.4 函数（单/双）对称性 方法归纳 （1）单对称 ①函数关于某点对称（单对称） 牢记：f(x)关于点（a，b）对称,则有y=f(x)=2b-f（2a-x）或者f(a+x)=2b-f(a-x) （特别的，奇函数关于原点（0,0）对称） 【证明】∵f(x)上关于点（a，b）对称 设P(x0,y0)为函数f(x)上任意一点，即y0 = f(x0) 关于点（a，b）对称的点为Q（x,y） 则有x0+x=2a,y0+y=2b 亦即 x0=2a-x,y0=2b-y ∴有2b-y=f(2a-x), ∴f(x)关于点（a，b）对称的表达式是y=f(x)=2b-f（2a-x）， 也可表示为f(a+x)=2b-f(a-x)。 ②函数关于某一条直线对称（单对称） f(x)关于直线x=a对称,则有f(a+x)=f(a-x),或者f(x)=f(2a-x). （特别的，偶函数关于x=0对称） 【证明】因为f(x)关于直线x=a对称, 设 (m,n)为f(x)上任一点,即n=f(m) 则(m,n)关于x=a的对称点(2a-m,n)也在y=f(x)上, 即 n=f(2a-m) ∴ f(m)=f(2a-m) ∴f(x)=f(2a-x). （2）双对称情形 ①函数f(x)关于某点（a,m）成中心对称,关于直线x=b成轴对称，那么f(x)是周期函数，周期是4|a-b| 【证明】∵f(x)关于某点（a,m）成中心对称,关于直线x=b成轴对称 ∴f(x)+f(2a-x)=2m①, f(2b-x)=f(x)②, 用2b-x代替x，代入①得 f(2b-x)+f(2a-2b+x)=2m，再代入②得 f(x)=2m-f(2a-2b+x)，用2（a-b）+x代替x，得 f[2(a-b)+x)]=2m- f[4(a-b)+x)]，代入f(x)=2m-f(2a-2b+x)得 f(x)=f[4(a-b)+x)] ∴f(x)是周期函数，周期是4|a-b| ②函数有两个对称轴 f(x)的2个对称轴x=a,x=b.则T=2|a-b|（证明略） ③函数有两个对称中心 有f(X）的2个对称中心（a,k）(b,k)则T=2|a-b| 【证明】∵f(x)关于某点（a,k）(b,k)成中心对称 ∴f(x)+f(2a-x)=2k①, f(x)+f(2b-x)=2k②, 用2b-x代替x，代入①得 f(2b-x)+f(2a-2b+x)=2k，再代入f(2b-x)=2k-f(x)得 2k-f(x)+f(2a-2b+x)=2k 解得：f(x)=f(2a-2b+x) ∴f(x)为周期函数，且周期为T=2|a-b| 例题解析 例1、已知函数y=f(x)的定义域是R，函数g(x)=f(x+5)+f(1-x)，若g(x)=0方程有且仅有7个不同的实数解，则这7个实数解之和为_________. 【答案】21 【解析】∵g(x)=f(x+5)+f(1-x)，令t=2+x， ∴g(t)=f(3+t)+f(3-t)=0 ∴f(3+t)=-f(3-t)关于点(3,0)对称， 又方程g(x)=0有且仅有7个不同的实数解， ∴方程有一个根为3，其余六个根关于(3,0)对称。 ∴这7个实数解之和为3+3×6=21 例2、已知函数y＝f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称，且当x∈（0，+∞）时，有f（x），当x∈（﹣∞，﹣2）时，f（x）的解析式为（　　） A．f（x） B．f（x） C．f（x） D．f（x） 【答案】D 【解析】如图示： ， 因为f（x），关于x＝﹣1对称，代入公式得，当x∈（﹣∞，﹣2）时的解析式 f（x）， 故选：D． 例3、已知函数（其中，，）的部分图像如图所示，则使成立的的最小正值为_____. 【答案】 【解析】由函数图象可知A=1，又， 所以，因为函数图象过点，代入解析式可知， 因为， 所以， ， 所以函数解析式为，其对称轴由 可得 因为，即 所以是函数的一条对称轴，当时，的最小正值为， 提示：本题可直接用 例4、已知f(x)是定义域为R的偶函数，且f(1-x)=-f(1+x)，若x∈[0,1]时， f(x)=(x-1)²，则f(2018)=（ ） 【答案】-1 【解析】方法一、由题意，f(x)是定义域为R的偶函数 ∴f(1-x)=-f(1+x)=f(x-1)， 令t=x-1，则x=t+1代入得 则f(t)=-f(t+2) ∴f(t+2)=-f(t+4) ∴f(t)=f(t+4)，即T=4， ∴f(2018)=f(2)=-f(0)=-1. 方法二、利用点线双对称结论 ∵f(1-x)=-f(1+x) ∴函数关于（1,0）对称 又f(x)是定义域为R的偶函数 f(x)是周期函数，且周期为T=4 ∴f(2018)=f(2)=-f(0)=-1. 跟踪练习 1、 【2022全国高考数学乙卷第12题】已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5，g(x)-f(x-4)=7。若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则 A. -21 B.-22 C.-23 D.-24 2、（2018•新课标Ⅱ▪高考真题）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（　　） A．﹣50 B．0 C．2 D．50 3、（2020•安庆模拟）已知奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）为偶函数，且f（1）＝2，则f（2019）+f（2020）＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 4、定义在R上的奇函数f（x）满足f（2+x）＝﹣f（x），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x（1﹣x），则f（）＝（　　） A． B． C． D． 5、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4等于(　C　) A．－6　 B．6　　 C．－8　 D．8 6、函数为定义在上的奇函数，且满足，若，则__________． 7、已知定义在上的奇函数，对任意实数，恒有，且当时，，则（ ） A．6 B．3 C．0 D． 8、已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A． B． C． D． 9、[2021·全国甲卷] 设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f= (　 ) A.- B.- C. D. 10、【中心对称 2024年全国高考I卷第18题】已知函数. （1）若，且，求a的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若，当且仅当，求b的取值范围. 3.4 函数（单/双）对称性 1、【答案】D 【解析】若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，则g(2-x) = g(2+x)， ∵f(x)+g(2-x) = 5, ∴f(-x)+g(2+x) = 5,故f(-x) = f(x)，f(x)为偶函数。 由g(2) = 4，f(0)+g(2) = 5 ，得f(0)=1。 由g(x)-f(x-4)=7，得g(2-x)=f(-x-2)+7, 代入f(x)+g(2-x)=5，得f(x)+f(-x-2)=-2， f(x)关于点（-1,-1）中心对称，所以f(1)=f(-1)=-1.由f(x)+f(-x-2)=-2，f(-x)=f(x） 得f(x)+f(x+2)=-2，所以f(x+2)+f(x+4)=-2，故f(x+4) = f(x)，f(x)的周期为4。 由f(0)+f(2)=-2，得f(2)=-3，又f(3)=f(-1)=f(1)=-1 所以 本题也可以用用点线双对称公式求周期为4|a-b|=4|-1-0|=4 2、【答案】C 【解析】∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x）， ∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0， 则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）， 即函数f（x）是周期为4的周期函数（也可直接利用双对称的结论，周期为4）， ∵f（1）＝2， ∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2， f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0， 则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50） ＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，故选：C． 3、【答案】A 【解析】根据题意，函数f（x）为奇函数，则﹣f（x）＝f（﹣x）， 又由f（x+1）为偶函数，则函数f（x）的图象关于x＝1对称，则有f（﹣x）＝f（2+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x+4）＝f（x）即函数的周期为4（也可直接利用双对称的结论，周期为4），且f（1）＝2， 则f（2019）＝f（﹣1+2020）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（2020）＝f（0）＝0， 则f（2019）+f（2020）＝﹣2故选：A． 4、【答案】A 【解析】由f（2+x）＝﹣f（x）可知f（x）关于-1对称，又f（x）为奇函数，可知其周期为4，或者由由f（2+x）＝﹣f（x） 可得f（4+x）＝f（x），所以函数的周期T＝4， 当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x（1﹣x），则f（）， 则f（）＝f（　）＝f（）＝﹣f（）．故选：A． 5、 【答案】C 【解析】f(x)在R上是奇函数，所以－f(x－4)＝f(x)，即f(4-x)＝f(x)故f(x)关于x＝2对称，且周期为8，画出大致图像如图： 由图可知，两个根关于x = -6对称，两个根关于x =2对称，设，则有，故x1＋x2＋x3＋x4 =-8 6、【答案】3 【解析】 ，，又为奇函数， 是周期为的周期函数， 是定义在上的奇函数，， ， . 故答案为：3． 7、【答案】B 【解析】 由题得，所以函数的周期为. 由题得 ， ， ， 所以， 所以 故选：B. 8、【答案】C 【解析】 由题意，函数是定义在上的奇函数，且， 可得，所以， 所以函数是周期为4的周期函数， 又由当时，， 则. 故选：C. 9、【答案】D　　 【解析】由f(x+1)是奇函数,知函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,则f(1)=a+b=0,f(0)=-f(2).由f(x+2)是偶函数,知函数f(x)的图象关于直线x=2对称,则f(3)=f(1),所以f(x)是以4为周期的周期函数.由f(0)+f(3)=-f(2)+f(1)=-4a-b+a+b=6,解得a=-2,所以b=2,f(x)=-2x2+2,故f=f=-f=-=. 10、【答案】（1）-2 （2）证明见解析 （3） 【解析】（1）时，，对恒成立 而， 当且仅当时取“=”， 故只需，即a的最小值为-2. （2）， 关于中心对称. （3）当且仅当， 由(2)知是关于对称的中心对称图形，且易知在0<x<2连续. 可知在x=1附近有个小区间单调递增 ∴且 对恒成立 令，必有（必要性） 当时，对， 对恒成立，符合条件， 综上：. 学科网（北京）股份有限公司 $$