3.3 抽象函数的来源及其解法-高考数学试题方法研究

3.3 抽象函数的来源及其解法 表现形式 所谓抽象函数是指没有给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数。常常还附有定义域、值域等，如： y=f(x), (x>0, y>0)。抽象函数一般来源于基本初等函数，其基本形式包括： 1、f(x+y) = f(x)+f(y) 或 f(x-y)=f(x)-f(y) 对应正比例函数：y = f(x) =kx (k≠0) 2、f(x+y)=f(x)f(y) 或 f(x-y)=f(x)/f(y) 对应指数函数：f(x) = ax(a>0且a≠1) 利用指数函数的运算性质：ax+y = ax ay 3、f(x)+f(y)=f(xy) 或 f(x/y) = f(x) - f(y) 对应对数函数：f(x) = logax(a>0且a≠1) 利用对数函数的运算性质： logaxy = logax + logay 4、f(xy)=f(x)f(y) f(x/y)=f(x)/f(y) 对应幂函数： f(x) = xn 利用幂函数的运算性质：(xy)n =xnyn 5、 对应周期为T的周期函数：比如f(x) = sinx 或 f(x) = cosx 6、f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) 对应三角函数：f(x) = cosx 对应三角函数公式：cos(x+y)+cos(x-y) = 2cosxcosy 方法归纳 抽象函数的两种解法： （1）一般解法：设特殊值，分析其奇偶性、单调性和周期性，然后利用函数的性质解题（适合大题）； （2）将其具体化为某种基本初等函数或其组合（适合选择填空）。 例题解析 例1、【正比例函数】已知函数f(x)对任意实数x、y，均有f(x+y) = f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)>0,f(-1)=-2，求f(x)在区间[-2,1]上的值域是（ ） 【答案】[-4,2] 【解析▪法一】由条件知函数f(x)对应正比例函数，可设f(x)=2x 则f(x)的值域为[-4,2] 【法二】设x1<x2，则x2-x1>0， ∵当x>0时，f(x)>0 ∴f(x2-x1)>0 ∵f（x2）=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1）+f(x1) ∴f(x2）-f(x1)=f(x2-x1)>0 ∴f(x)为增函数 在条件中，令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x) 令x=y=0，则f(0)=2f(0) ∴f(0)=0故f(x)=-f(-x) ∴f(x)为奇函数 ∴f(1)=-f(-1)=2 f(-2)=2f(-1)=-4 ∴f(x)的值域为[-4,2] 由解法一和二对比，我们发现，如果把抽象函数具体化，在解选择题和填空题时具有巨大的优势。 例2、【指数函数】已知f(x)的定义域为R，f(x)>0，且满足f(x+y)=f(x)f(y)，f(1)=，如果对任意的x，y，都有（x - y）[f(x)-f(y)] < 0，那么不等式的解集为（ ） 【答案】[1,2] 【解析】由已知条件可令代入得： 化简得： ∴ 解得：x∈[1,2] 例3、【对数函数】已知f(x)的定义域为（0，+∞），且满足f(2) = 1，f(x)+f(y)=f(xy)，又当x2 > x1时，f(x2)>f(x1)。 （1） 求f(1)、f(4)、f(8)的值； （2） 若有f(x)+f(x-2)≤3成立，求x的取值范围。 【答案】（1）f(1)=0，f(4)=2，f(8)=3（2）(2,4] 【解析】由条件f(2) = 1，f(x)+f(y)=f(xy)，当x2 > x1时，f(x2)>f(x1) 可设：f(x) = log2x 所以 （1）f(1)=log21=0； f(4)=log24=2；f(8)=log28=3 （2）由f(x)+f(x-2)≤3 可得：log2x+log2(x-2)≤3=log28 ∴log2[x(x-2)]≤log28 ∴x(x-2)≤8 且x>2 解得： x∈(2,4] 例4、【幂函数】已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(xy)=f(x)f(y)，且f(-1)=1，f(27)=9,当0≤x≤1时，f(x)∈[0,1),判断f(x)的奇偶性。 【答案】偶函数 【解析▪法一】由f(xy)=f(x)f(y)，且f(-1)=1，f(27)=9, 可知抽象函数对应的为幂函数。令 则f(x)为偶函数 【法二】令y= -1 ，则f(-x)=f(x)*f(-1), ∵f(-1)=1 ∴f(-x)=f(x) 知f(x)为偶函数 例5、【周期函数】已知f(x)是定义在R上的偶函数,对任意的x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立.若f(1)=2,则f(2007)等于多少? 【答案】0 【解析】令x=-3 则f(-3+6)=f(-3)+f(3) 已知f(x)是定义在R上的偶函数 ∴f(3)=2f(3) ∴f(3)=0 f(x+6)=f(x)+f(3)=f(x) ∴T=6 ∴f(2007)=f(3)=0 例6、【三角函数】已知f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) ，对一切x、y都成立，且f(0)≠0。判断f(x)为（ ）（填奇函数或偶函数） 【答案】偶函数 【解析▪法一】由f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) 可对应三角函数：f(x) = cosx 知f(x)为偶函数。 【法二】令x=0,则已知等式变为f(y)+f(-y)=2f(0)f(y) 再令y=0，则2f(0)=2f(0)f(0) ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 ∴ f(y)+f(-y)=2f(y) ∴f(-y)=f(y) 知f(x)为偶函数 解法一和二对比，我们可以发现，如果把抽象函数具体化，在解选择题和填空题时具有巨大的优势。 跟踪练习 1、【正比例函数】已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－. (1)求证：f(x)是R上的单调减函数． (2)求f(x)在[－3,3]上的最小值． 2、【正比例函数】已知定义在R上的函数f(x)满足:对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0. (1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明; (2)判断函数f(x)的单调性,并证明; (3)若f(k·2x)+f(4x+1-8x-2x)>0对任意x∈[-1,2]恒成立,求实数k的取值范围. 3、【三角函数▪2022·新高考全国Ⅱ卷▪8】 若函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则f(k)=( )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.-3 B.-2 C.0 D.1 4、【对数函数】【2023·新高考全国Ⅱ卷·11】 已知函数的定义域为，，则（ ）． A. B. C. 是偶函数 D. 为的极小值点 3.3 抽象函数 1、【答案】见解析 【解析】(1)证明：设x1，x2是任意的两个实数，且x1<x2， 则x2－x1>0，因为x>0时，f(x)<0， 所以f(x2－x1)<0， 又因为x2＝(x2－x1)＋x1， 所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1] ＝f(x2－x1)＋f(x1)， 所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0， 所以f(x2)<f(x1)． 所以f(x)是R上的单调减函数． 注：依题意可设y=kx。本题也可先证函数为奇函数，然后再证单调性f(x1)-f(x2)＝f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)<0 (2)由(1)可知f(x)在R上是减函数， 所以f(x)在[－3,3]上也是减函数， 所以f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)． 而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×＝－2. 所以函数f(x)在[－3,3]上的最小值是－2. 2、【答案】见解析 【解析】(1)令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0.令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),所以f(x)为R上的奇函数. (2)设x2>x1,则x2-x1>0,当x>0时,f(x)>0,所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)>0,即当x2>x1时,f(x2)>f(x1),所以f(x)是R上的增函数. (3)由题知,f(k·2x)+f(4x+1-8x-2x)>0 即f(k·2x) > f(8x+2x-4x+1) 又f(x)是R上的增函数, ∴k·2x > 8x+2x-4x+1 则有k>1+22x-2x+2对任意x∈[-1,2]恒成立. 令2x=t,t∈,则g(t)=t2-4t+1,t∈,则k>g(t)max, 易知g(t)max=g(4)=16-16+1=1,所以k>1, 故实数k的取值范围为(1,+∞). 3、【答案】A 【解法一】令x=1,y=0,得2f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2.令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1),所以f(x+1)+f(x-1)=f(x),即f(x+1)=f(x)-f(x-1),所以f(x+2)=f(x+1)-f(x),所以f(x+2)=-f(x-1),即f(x+3)=-f(x),所以f(x)=-f(x+3)=f(x+6),即f(x)是周期为6的周期函数.因为f(0)=2,f(1)=1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=-f(0)=-2,f(4)=-f(1)=-1,f(5)=-f(2)=1,f(6)=f(0)=2,所以f(k)=[f(1)+f(2)+…+f(18)]+[f(19)+f(20)+f(21)+f(22)]=f(19)+f(20)+f(21)+f(22) =f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-3. 【解法二】　取f(x)=2cosx符合条件,则T=6,计算可得f(2)=-1,f(3)=-2,f(4)=-1,f(5)=1,f(6)=2,所以f(k)=1-1-2-1+1+2=0,所以f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3. 4、【答案】ABC 【解析】 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，【解法一】 不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误 【解法二】对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减， 显然，此时是的极大值，故D错误. 故选：. 学科网（北京）股份有限公司 $$